[PDF] I Propriétés fondamentales Dérivées : cos(x) = ?

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Université du Québec à Montréal Session d"automne 2011

Groupe-cours 51 MAT1112 - Calcul I

VivienRipoll

Rappels de trigonométrieI Propriétés fondamentales On considère un triangle rectangle, et un de ses angles non droits. cos=côté adjacenthypothénuse ; sin=côté opposéhypothénuse ; tan=sincos=côté opposécôté adjacent Sur lecercle trigonométrique(cercle de centre(0;0)et de rayon1), on définit la mesure d"un angle (en radians) comme la longueur de l"arc de cercle décrivant cet angle.(cos;sin) sont alors les coordonnées du pointMcorrespondant à l"angle. Ettanest l"ordonnée du point d"intersection de la droite(OM)avec la droite d"équationx= 1(tangente au cercle). Visualiser ou dessiner le cercle est un très bon moyen pour se souvenir des propriétés des fonctions trigonométriques.

I.1 Valeurs particulières0

6 4 3 2 sin01 2p2 2p3 21
cos1p3 2p2 21
20 tan01p31p3non défini

Moyen mnémotechnique : la ligne dessinse litp0

2 ;p1 2 ;p2 2 ;p3 2 ;p4 2 ; la ligne descosest dans l"autre sens. Application pratique :couper un gâteau en 6 parts égales en utilisantcos3 =12

I.2 Propriétés analytiques

cosetsinsont définies surR,2-périodiques, et bornées (entre1et1). cosest paire,sinest impaire. tanest définie surRnf2 +k;k2Zg, elle est impaire et-périodique.

Limites : à droite :limx!(2

+k)+tanx=1;à gauche :limx!(2 +k)tanx= +1. Dérivées :cos(x)0=sinx; sin(x)0= cosx; tan(x)0= 1 + tan2x=1cos 2x.

Tracé des courbes.(à connaître)

1

II Formules de trigonométrie

II.1 Formules basiques :

La série de formules suivante est à savoir absolument, et se retrouve facilement en visualisant

le cercle trigonométrique : cos(x) = cosxcos(x) =cosxcos(+x) =cosx sin(x) =sinxsin(x) = sinxsin(+x) =sinx tan(x) =tanxtan(x) =tanxtan(+x) = tanx cos( 2 x) = sinxsin(2 x) = cosxtan(2 x) =1tanx= cotanx

Rappelons également :cos

2x+ sin2x= 1II.2cosetsind"une somme

Les formules suivantes sont très utiles; il faut connaître au moins celles marquées (*), et savoir retrouver les autres rapidement à partir de celles-ci. cos(a+b) = cosacosbsinasinb() cos(ab) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa() sin(ab) = sinacosbsinbcosa cos2x= cos2xsin2xsin2x= 2sinxcosx = 2cos 2x1 = 12sin2x cos

2x=1 + cos2x2

sin2x=1cos2x2 Les formules pour la fonctiontanse retrouvent à partir de celles pour lescosetsin: tan(a+b) =tana+ tanb1tanatanbtan(ab) =tanatanb1 + tanatanb

II.3 Linéarisation et factorisation

On déduit de la série précédente les formules de linéarisation d"un produit decosousin.

cosacosb=12 (cos(ab) + cos(a+b)) sinasinb=12 (cos(ab)cos(a+b)) sinacosb=12 (sin(ab) + sin(a+b)) En posantp=abetq=a+bdans les formules précédentes, on obtient les formules de factorisation de sommes decosousin: cosp+ cosq= 2cosp+q2 cospq2 cospcosq=2sinp+q2 sinpq2 sinp+ sinq= 2sinp+q2 cospq2 2

III Fonctions trigonométriques réciproques

III.1 Rappels sur les fonctions réciproques

SoientI,Jdeux intervalles, etf:I!June fonction d"une variable. On suppose quefest bijective(c"est-à-dire : pour touty2J, il existe un uniquex2Itel quef(x) =y). Alorsfadmet unefonction réciproque, notéef1. C"est l"unique fonctiongtelle que :

8x2I; g(f(x)) =xet8y2J; f(g(y)) =y :

On a, pourx2Iety2J:y=f(x),x=f1(y).

On peut montrer que, sifest une fonction dérivable sur[a;b]telle quef0(x)>0pour tout x2]a;b[, alorsfinduit une bijection de[a;b]vers[f(a);f(b)]. De même, sif0(x)<0pour tout x2]a;b[, alorsfinduit une bijection de[a;b]vers[f(b);f(a)]. Dérivée de la fonction réciproque.Sif:I!Jest bijective, et sif0(x)6= 0pour toutx2I, alorsf1est dérivable surJet f

1(x)0=1f

0(f1(x)):

Démonstration :Il suffit d"écriref(f1(x)) =xet de dérivée terme à terme en utilisant la

dérivation d"une fonction composée; on obtientf0(f1(x))f1(x)0= 1. Ex. : ln : ]0;+1[!Rest la réciproque deexp :R!]0;+1[. La fonctionx7!px, deR+dansR+, est la réciproque de larestrictionàR+de la fonction x7!x2(et elle n"est dérivable que surR+). La fonctionx7!3px, deRdansR, est la réciproque de la fonctionx7!x3(elle n"est dérivable que surR). Propriété des courbes.Le graphe def1est lesymétriquedu graphe defpar rapport à la droitey=x.

III.2 Les fonctionsarccos,arcsin,arctan

(a) La fonctionx7!cosxinduit une bijection de[0;]vers[1;1]. Sa réciproque est appelée la fonctionarccosinus:arccos : [1;1]![0;]. Pourx2[1;1],arccosxest égal à l"unique angledans[0;]tel quecos=x.

On a donc :8x2[1;1];cos(arccosx) =x.

Attention :par contrearccos(cos)n"est pas forcément égal à(c"est égal àseulement quand2[0;]). Dérivée :la fonctionarccosest dérivable sur]1;1[, et

8x2]1;1[;arccos(x)0=1p1x2:

(Ceci est utile pour calculer des primitives de fonctions faisant intervenir des racines.) Démonstration :pour2]0;[,cos()0=sin6= 0donc pourx2]1;1[(d"après la formule générale de la dérivée de la réciproque) :arccos(x)0=1sin(arccosx). Soit= arccosx:

2]0;[doncsin >0etsin=p1cos2=p1cos2(arccosx) =p1x2, et on peut

conclure. 3 (b) La fonctionx7!sinxinduit une bijection de[2 ;2 ]vers[1;1]. Sa réciproque est appelée la fonctionarcsinus:arcsin : [1;1]!h 2 ;2 i. Pourx2[1;1],arcsinxest égal à l"unique angledans[2 ;2 ]tel quesin=x.

On a donc :8x2[1;1];sin(arcsinx) =x.

Attention :par contrearcsin(sin)n"est pas forcément égal à(c"est égal àseulement quand2[2 ;2 Dérivée :la fonctionarcsinest dérivable sur]1;1[, et

8x2]1;1[;arcsin(x)0=1p1x2:

Démonstration :pour2]2

;2 [,sin()0=cos6= 0, donc pourx2]1;1[, arcsin(x)0=1cos(arcsinx). Soit= arcsinx:2]2 ;2 [donccos >0etcos= p1sin2=p1sin2(arcsinx) =p1x2, et on peut conclure. Remarque :on note quearcsin(x)0+arccos(x)0= 0, donc que la somme de ces deux fonctions est constante sur l"intervalle]1;1[. En fait on a :8x2[1;1];arcsinx+ arccosx=2 (c) La fonctionx7!tanxinduit une bijection de]2 ;2 [versR. Sa réciproque est appelée la fonctionarctangente:arctan :R!i 2 ;2 h. Pourx2R,arctanxest égal à l"unique angledans]2 ;2 [tel quetan=x.

On a donc :8x2R;tan(arctanx) =x.

Attention :par contrearctan(tan)n"est pas forcément égal à(c"est égal àseulement quand2]2 ;2 Dérivée :la fonctionarctanest dérivable surR, et

8x2R;arctan(x)0=11 +x2:

(Ceci est très utile pour calculer des primitives de fractions rationnelles.)

Démonstration :pour2]2

;2 [,tan()0= 1 + tan26= 0donc pourx2R, arctan(x)0=11 + tan

2(arctanx)) =11 +x2.

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