[PDF] UPMC Corrigé de lexamen partiel du 9 juin 2017 1M001 Université

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UPMC Corrige de l'examen partiel du 9 juin 2017 1M001

Universit

e Pierre et Marie Curie

1M001 { Analyse et algebre pour les sciences

Examen du 9 juin 2017

Duree : 2 heures

Exercice 1.Soientuetvdeux fonctions derivables, et soitn?N?. On noteu?etv?les derivees deu

etv. Donnez les derivees des fonctions suivantes (on ne demande pas de preciser sous quelles conditions les

fonctions sont denies, ni de justier les reponses) : =...Solution: (v◦u)?=u?×(v?◦u) (lnu)?=u?u (eu)?=u?eu(tanu)?=u?×?1 + (tanu)2?=u?(cosu)2 (un)?=nu?un-1(2u)?= (ln2)u?2u(⎷u)?=u?2 ⎷u =12 u?u-12 ?1⎷u =-u?2u⎷u =-12 u?u-32

Exercice 2.

1. D onnezl ad enitiond el afon ctionarctan(x). Quels sont ses domaines de denition, de continuite et de derivabilite?Solution: la fonctiontan(x)est une bijection entre? -π2 ,π2 etR. Sa fonction reciproque est la fonction

arctan(x). Elle est denie, continue et derivable surR.2.D onnezl ad eriveede arctan(x). (On ne demande pas de justier.)Solution:arctan?(x) =11 +x23.E ectuezu nd eveloppementl imite al 'ordre6de11 +x2enx= 0.

Deduisez-en un developpement limite a l'ordre7dearctan(x)enx= 0.Solution:

11-u= 1 +u+u2+u3+o(u3)donc11 +x2= 1-x2+x4-x6+o(x6).

arctan(x)a pour derivee11 +x2etarctan(0) = 0d'ouarctan(x) =x-x33 +x55 -x77 +o(x7).4.O nap pelleCle graphe de la fonctionarctan(x)etΔla tangente aCenx= 0.

D onnezl 'equationde Δ.

Q uellees tla p ositionde Cpar rapport aΔau voisinage dex= 0? T racezCetΔdans un m^eme repere orthonorme (unite env. 1cm).Solution: L' equationd eΔesty= arctan?(0)×(x-0) + arctan(0)c'est a dire :y=x.

O na arctan(x) =x-x33

+o(x3), donc au voisinage dex= 0on aarctan(x)< xsix >0et arctan(x)> xsix <0, ce qui signie qu'a droite dex= 0,Cest au-dessous deΔet qu'a gauche dex= 0,Cest au-dessus deΔ. 1 UPMC Corrige de l'examen partiel du 9 juin 2017 1M001xy Cπ 2

21Exercice 3.Soitf(x) =x+1x

denie sur]0,+∞[. 1.

Cal culezl ad eriveede f(x)et dressez le tableau de variation defsur]0,+∞[. Precisez les limites de

f(x)en0+et en+∞.Solution:f?(x) = 1-1x

2, d'ou le tableau de variation :x0 1 +∞f

?(x)-0 ++∞+∞f(x)? ? 2 2. D eduisez-ende uxi ntervallesI1etI2inclus dans]0,+∞[tels quefsoit bijective surI1et surI2.

Determinez les intervalles imagesJ1=f(I1)etJ2=f(I2).Solution:f(x)est strictement decroissante sur l'intervalleI1= ]0,1]dont l'image estJ1= [2,+∞[. C'est

donc une bijection entreI1etJ1. De m^eme,f(x)est strictement croissante sur l'intervalleI2= [1,+∞]dont

l'image estJ2= [2,+∞[ =I1. C'est donc une bijection entreI2etJ2.Soitg1:J1→I1la fonction reciproque def:I1→J1, etg2:J2→I2la fonction reciproque def:I2→J2.

3. D onnezde se xpressionsde g1(y)et deg2(y).Solution: Soitx?I1= ]0,1]ety=x+1x . D'apres le tableau de variation on sait quey≥2. On a alors x

2-yx+1 = 0. C'est une equation de degre2, dont le discriminant estΔ =y2-4≥0d'oux=y±?y

2-42

D'apres la question precedente, on sait qu'une la plus petite des deux solutions appartient aI1, et la plus

grande aI2, d'ou : g

1(y) =y-?y

2-42 etg2(y) =y+?y 2-42 2 UPMC Corrige de l'examen partiel du 9 juin 2017 1M001 4.

T racezl esgrap hesd esfon ctionsfetg1dans un m^eme repere orthonorme (unite env. 1cm).Solution: en fonction du choix de l'intervalleI1on obtient l'un des deux graphiques suivants.xy

f g 1 O

1 212xy

f g 2 O

1 212Exercice 4.

1.

Cal culezl ad eriveed el af onction?(x) =-12

ln(1 +x2)denie surR.Solution:??(x) =-x1 +x22.T rouvezl essol utionsd el 'equationd ierentielle(E0) (x2+ 1)y?+xy= 0.Solution:(E0)peut aussi s'ecrirey?-a(x)y= 0oua(x) =-x1 +x2. Ora(x)a pour primitive?(x) =

12 ln(1 +x2), donc les solution de(E0)sont les fonctions : f(x) =ke?(x)=k(1 +x2)-12

=k⎷1 +x2ouk?R.3.T rouvezl essol utionsd el 'equationd ierentielle(E) (x2+ 1)y?+xy= 2x.Solution:f0(x) = 2est une solution evidente de(E). On peut aussi la retrouver par la methode de variation

de la constante : soitf0(x) =k(x)⎷1 +x2; sa derivee estf?0(x) =k?(x)⎷1 +x2-xk(x)(1 +x2)32 . Sif(x)est solution de

(E), alorsk?(x)?1 +x2= 2xd'ouk?(x) =2x⎷1 +x2dont une primitive estk(x) = 2?1 +x2, d'ouf0(x) = 2.

Les solution de(E)sont donc les fonctions :

f(x) = 2 +k⎷1 +x2ouk?R.4.T rouvezl esfon ctionsf(x), solutions de l'equation dierentielle(E) (x2+1)y?+xy= 2x, et telles que

f(0) = 2.Solution: Soitf(x) = 2 +k⎷1 +x2aveck?R. On af(0) = 2 +k, doncf(0) = 2si et seulement sik= 0.

La seule fonction veriant les hypotheses demandees est donc la fonction constante : f(x) = 2.3 UPMC Corrige de l'examen partiel du 9 juin 2017 1M001

Exercice 5.SoitP(X) =X8-1etQ(X) =X4+ 1.

1.

Ex primezsou sf ormep olairereiθles racines huitiemes de l'unite dansC.Solution: Les racines huitiemes de l'unite sont les huit nombres complexeseikπ4

)(X-eiπ2 )(X-e3iπ4 )(X-eiπ)(X-e5iπ4 )(X-e3iπ2 )(X-e7iπ4 c'est-a-dire :P(X) = (X-1)(X+ 1)(X-i)(X+i)(X-eiπ4 )(X-e-iπ4 )(X-e3iπ4 )(X-e-3iπ4 ou encore :P(X) = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i)?

X-1 +i⎷2

X-1-i⎷2

X--1 +i⎷2

X--1-i⎷2

?3.D onnezl esr acinescomp lexesd up olyn^omeQ(X).Solution:P(X) = (X4-1)(X4+ 1) = (X4-1)Q(X) maisX4-1 = (X2-1)(X2+ 1) = (X-1)(X+ 1)(X-i)(X+i) d'ou, d'apres la factorisation deP(X):Q(X) = (X-eiπ4 )(X-e-iπ4 )(X-e3iπ4 )(X-e-3iπ4 ou encore :Q(X) =?

X-1 +i⎷2

X-1-i⎷2

X--1 +i⎷2

X--1-i⎷2

Les racines complexes deQ(X)sont donc les nombres : e iπ4 =1 +i⎷2 e-iπ4 =1-i⎷2 e3iπ4 =-1 +i⎷2 e-3iπ4 =-1-i⎷2 4.

Le p olyn^omeQ(X)est-il irreductible dansR[X]?Solution: Les polyn^omes irreductibles deR[X]sont les polyn^omes de degre1et les polyn^omes de degre 2

de discriminant<0. OrQ(X)est de degre4, donc il n'est pas irreductible.5.F actorisezdan sR[X]le polyn^omeP(X).Solution: CommeQ(X)n'a pas de racines reelles, il est donc produit de deux polyn^omes irreductibles de

degre2. On les trouve en associant 2 par 2 les racines complexes conjuguees deQ(X). On a : (X-eiπ4 )(X-e-iπ4 ) =X2-? eiπ4 +e-iπ4

X+ 1 =X2-2cos?π4

X+ 1 =X2-⎷2X+ 1

(X-e3iπ4 )(X-e-3iπ4 ) =X2-? e3iπ4 +e-3iπ4

X+ 1 =X2-2cos?3π4

X+ 1 =X2+⎷2X+ 1

d'ouQ(X) = (X2-⎷2X+ 1)(X2+⎷2X+ 1)et : P(X) = (X4-1)Q(X) = (X-1)(X+ 1)(X2+ 1)(X2-⎷2X+ 1)(X2+⎷2X+ 1).4quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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