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Chapitre 8

Théorème des fonctions implicites

Le but de ce chapitre est d"étudier les ensembles deRndéfini par une équation de la forme

F(x1;:::;xn) = 0;

oùFest une fonction deRndansRm. Cela signifie que l"on considère la partie deRndéfinie par f(x1;:::;xn)2RnjF(x1;:::;xn) = 0g

On sait déjà étudier quelques cas simples. Par exemple, on est capable de représenter les

ensembles deR2d"équations

2x+ 3y1 = 0; ycos(x)x2= 0; x+ cos(y)y2= 0; x2+y22 = 0:

Dans les deux premiers cas, le plus simple pour étudier l"ensemble considéré est de ré- écrire l"équation sous la formey='(x). L"ensemble étudié n"est alors rien de plus que le graphe de la fonction'. On en déduit qu"on a affaire à une courbe, et peut obtenir toutes sortes d"informations utiles. Par exemple, en calculant la dérivée de la fonction', on peut obtenir la tangente à cette courbe en tout point. Dans le troisième cas on ne peut pas mettre l"équation sous la formey='(x), mais on peut la mettre sous la formex='(y). On peut alors procéder exactement de la même

façon, à ce détail près qu"il faut étudier le graphe d"une fonction pour laquelle c"est l"abscisse

qui dépend de l"ordonnée. Il faut être prudent car c"est inhabituel, mais cela ne pose pas de

difficulté profonde. Pour le dernier cas, on a simplement reconnu l"équation bien connue d"un cercle. Exercice8.1.Représenter les quatres ensembles considérés ci-dessus et donner dans chaque cas une équation de la tangente au point (1,-1). Les choses se compliquent si on considère par exemple l"ensemble deR2d"équation x

32xy+ 2y21 = 0:

Il ne s"agit pas d"un ensemble que l"on est capable d"identifier à l"oeil nu, et il n"est pas clair

du tout qu"on puisse mettre l"équation sous la formey='(x)oux='(y)pour une certaine fonction'. Revenons au cas du cercle. Il est bien clair qu"un cercle n"est le graphe d"aucune fonction, ni d"une fonction exprimantyen fonction dex, ni d"une fonction exprimantxen fonction de y(pourquoi?). On peut tout de même dire que le cercle est l"union de deux demi-cercles, le demi-cercle supérieur qui est le graphe de la fonction'h:x7!p2x2pourx2[p2;p2], et le demi-plan inférieur, graphe de la fonction'b:x7! p2x2pourx2[p2;p2]. 51

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralCette observation est suffisante par exemple pour étudier la tangente au point (1,-1) :

il suffit d"oublier la partie supérieure du cercle et d"utiliser le fait qu"au voisinage du point (1,-1) le cercle est le graphe de la fonction'b. Cette astuce ne suffit pas pour les points(p2;0)et(p2;0). Aux voisinages de ces points le cercle ne coïncide pas simplement avec le graphe de'hou celui de'b. Mais au voisinage de(p2;0)on peut voir le cercle comme le graphe d"une fonction qui donne l"abscisse en fonction de l"ordonnée,'g:y7!p2y2poury2[p2;p2]. Et de même au voisinage de (p2;0)avec la fonction'd:y7! p2y2poury2[p2;p2]. Pour l"étude au point (1,-1) on peut utiliser indifféremment la fonction'bou la fonction'd. Le but du théorème des fonctions implicites est de montrer que sous certaines hypothèses sur la fonctionF, l"ensemble d"équationF(x;y) = 0peut être vu au voisinage de certains de ses points que le graphe d"une fonction (donnantyen fonction dexouxen fonction dey). On remarque qu"au début du cours on a introduit les lignes de niveaux d"une fonction pour mieux comprendre la fonction en question. Ici la démarche est inverse. On va étudier la fonctionFpour mieux comprendre l"une de ses lignes de niveaux. Avant de chercher à montrer un théorème, il est bon de se demander sur un dessin ce qu"il est raisonnable d"espérer. Exercice8.2.Les figures8.1 à 8.3 rep résententun même ensem bleEdeR2. Sur la figure 8.1 , marquer les points pour lesquels il est impossible de trouver un voisinageUtel queE\U est le graphe d"une fonction continue donnantyen fonction dex. Sur la figure8.2 , même question en remplaçant " fonction continue » par " fonction de classeC1». Et sur la figure, 8.3

, échager les rôles dexety.Figure8.1 - Où l"on ne peut décrire localementycomme une fonction continue dex.Figure8.2 - Où l"on ne peut décrire localementycomme une fonction lisse dex.Figure8.3 - Où l"on ne peut décrire localementxcomme une fonction lisse dey.

On énonce maintenant le théorème des fonctions implicites dans le cas particulier d"une

" courbe » deR2. Le théorème général et la démonstration seront donnés plus loin.52 J. Royer - Université Toulouse 3

Théorème des fonctions implicites

Théorème 8.1(Théorème des fonctions implicites, versionR2).SoitUun ouvert deR2et F:U !Rune application de classeCk, aveck>1. Soit(a;b)2R2tel que

F(a;b) = 0et@F@y

(a;b)6= 0: Alors il existe des voisinagesVetWdeaetbdansRet une application:V ! Wde classeCktels queV W Uet

8x2 V;8y2 W; F(x;y) = 0()y=(x):

En outre on peut choisirVetWde sorte que la dérivée partielle@yFne s"annule pas sur

V Wet alors

8x2 V; 0(x) =@F@x

(x;(x))@F @y (x;(x)): Remarque8.2.Si la dérivée partielle deFpar rapport àxest non nulle en(a;b), alors de la même façon l"ensemble d"équationF(x;y) = 0coïncide au voisinage de(a;b)avec le graphe donnantxen fonction dey. Heuristique.Si on oublie les restes d"ordre 2 ou plus on peut écrire

F(x;y)'F(a;b)|{z}

=0+(xa)@F@x (a;b) + (yb)@F@y (a;b):

On obtient alors

F(x;y) = 0()(xa)@F@x

(a;b) + (yb)@F@y (a;b)'0 ()y'b(xa)@F@x (a;b)@F @y (a;b): C"est bien une formule donnantyen fonction dex. Bien entendu, le symbole'n"a pas de sens et ce calcul n"est en aucun cas une démonstration.

Remarque8.3.Il est fortement déconseillé de chercher à retenir la formule pour la dérivée

de. Par contre il faut savoir qu"elle existe et comment la retrouver : une fois l"existence de démontrée, on écrit que pour toutx2 Von a F x;(x)= 0: En dérivant par rapport àxon obtient pour toutx2 V @F@x (x;(x)) +0(x)@F@y (x;(x)) = 0; ce qui donne bien la formule attendue pour0. En pratique il faut refaire ce raisonnement simple, et non apprendre la formule puis se tromper en l"utilisant.

Exemple8.4.On revient sur le cercle

C=(x;y)2R2j1x2y2= 0:

Alors on aC=(x;y)2R2jF(x;y) = 0, oùF: (x;y)7!1x2y2est de classeC1. Les dérivées partielles sont@xF: (x;y)7! 2xet@yF: (x;y)7! 2y. La dérivée par rapport à yest non nulle en tout point deCsauf en (1,0) et (-1,0). Autour de tout point deCexceptés (1,0) et (-1,0) on peut effectivement voir le cercle comme le graphe d"une fonction donnant yen fonction dex. La dérivée par rapport àxest non nulle en tout point deCsauf en (0,1) et (0,-1). Et c"est effectivement autour de ces deux points qu"on ne peut pas voir le cercle comme le graphe d"une fonction donnantxen fonction dey.Année 2015-2016 53

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégralC"est une bonne idée de bien avoir cet exemple du cercle en tête. Il peut par

exemple arriver qu"on oublie quelle dérivée doit être non nulle pour pouvoir exprimer telle variable en fonction de telle autre. Il est bon de se remémorer le cercle et les quatre points pour lesquels on sait quelle dérivée est nulle et quelle variable peut être exprimée en fonction de l"autre. Figure8.4 - Théorème des fonctions implicites pourF: (x;y)7!1x2y2.

Exercice8.3.On considère l"équation

2xy2x+y2 = 0()

1.Montrer qu"il existe une fonction'sur un domaineD'Rtelle que pour tout(x;y)2R2

on a (x;y)est solution de ()()x2D'ety='(x):

2.Montrer qu"il existe une fonction sur un domaineD Rtelle que pour tout(x;y)2R2

on a (x;y)est solution de ()()y2D etx= (y):

3.Quel lien peut-on faire entre les fonctions'et ?

Exercice8.4.Pour(x;y)2R2on posef(x;y) =x2+y21. Montrer que pourxsuffisament proche de 0 il existe un uniquey(x)>0tel quef(x;y(x)) = 0. Montrer, sans résolution explicite, que la fonctionyainsi définie au voisinage de 0 est dérivable et pourxproche de 0 : y

0(x) =xy(x):

Exercice8.5.Décrire l"allure de l"ensembleC=(x;y)2R2jx4+y3x2y2+xy= 0 au voisinage des points(0;0)et(1;1). Exercice8.6.On considère la courbeCd"équationx32xy+ 2y21 = 0. Déterminer

l"équation de la tangente à cette courbe au point (1,1) et préciser la position de la courbe

par rapport à cette tangente.

On s"intéresse maintenant à la version générale du théorème des fonctions implicites.

Le principe est le même, sauf que l"on considère des ensembles deRnpour n"importe quel n2N, définis parméquations pour n"importe quelm2N(ou, ce qui est équivalent, par une équation dansRm). Exercice8.7.Décrire les ensembles définis de la façon suivante. E

1=(x;y;z)2R3jx2+y2z2= 0;

E 2= (x;y;z)2R3jx2+y2+z21 x+y+z = 0 et E 3= (x;y;z;t)2R4jx2+y2+z21 x+y+z = 0 On note que dans les deux derniers cas, 0 désigne le vecteur nul deR2.

On peut énoncer le théorème des fonctions implicites de la façon suivante :54 J. Royer - Université Toulouse 3

Théorème des fonctions implicites

Théorème 8.5(Théorème des fonctions implicites, version générale).SoitUun ouvert de

R mRpetf:U 7!Rpune application de classeCk, aveck>1. Soit(a;b)2RmRptel que f(a;b) = 0et la différentielle partielleDyf(a;b)est inversible. Alors il existe un voisinageV deadansRm, un voisinageWdebdansRpet une application:V ! Wde classeCktels queV W Uet

8x2 V;8y2 W; f(x;y) = 0()y=(x):

En outre on peut choisirVetWde sorte que la différentielleDyf(x;y)est inversible pour tout(x;y)2 V Wet d(x) =Dyf(x;(x))1Dxf(x;(x)): IciDyf(a;b)est la différentielle de l"applicationy2Rp7!f(a;y)2Rpau pointb. Au départfest une fonction den+pvariables à valeurs dansRp. Si on fixenvariables, on obtient une fonction depvariables à valeurs dansRp. La différentielle partielleDyf(a;b)

est alors la différentielle de cette fonction au pointb, lesnpremières variables étant fixées à

a= (a1;:::;an). Sa matrice dans la base canonique deRpest Jac yf(a;b) =0 B B@@f 1@x m+1(a;b):::@f1@x m+p(a;b) @f p@x m+1(a;b):::@fp@x m+p(a;b)1 C

CA2Mp(R):

Remarque8.6.Dans le cas oùm6=p, pour se souvenir quelle différentielle est supposée

inversible, il suffit de se rappeler qu"une différentielle ne peut être inversible que si c"est une

application entre espaces de mêmes dimensions. Exercice8.8.On reprend les ensembles de l"exercice8.7 .

1.La conclusion du théorème8.1 fournit un paramétrage de l"ensem bleconsidéré par une

fonction qui donne une variable en fonction d"une autre. Sans chercher pour le moment à

vérifier les hypothèses du théorème, dire quel type de paramétrage on attend aux voisinage

des points où on pourra effectivement appliquer le théorème (combien de variables exprimées

en fonction de combien d"autres).

2.Décrire l"ensembles des points deE1,E2etE3pour lesquels on peut appliquer le théorèmes

des fonctions implicites.

Exercice8.9.En s"inspirant des théorèmes8.1 et 8.5 , écrire une version du théorème des

fonctions implicites adaptée à un ensemble d"équationF(x1;:::;xn) = 0oùn>3etFest une fonction deRndansR.

La démonstration du théorème des fonctions implicites repose sur le théorème de l"inver-

sion locale : Démonstration.Pour tout(x;y)2 Uon poseg(x;y) = (x;f(x;y))2RnRp. Cela définit une fonction de classeCksurU. En outre on a detJacg(a;b) =I m0m;p Jac xf(a;b) Jacyf(a;b) = detJacyf(a;b)6= 0; oùImest la matrice identité de taillemmet0m;pla matrice àmlignes etpcolonnes dont tous les coefficients sont nuls. On peut donc appliquer le théorème de l"inversion locale. Il existe un voisinage~Ude(a;b) dansUtel quegréalise un difféomorphisme de classeCkde~Usur son image. Soient~Vun voisinage ouvert deadansRmetWun voisinage ouvert debdansRptels que~V W ~U. Commeg(~V W)est un ouvert deRm+pcontenant(a;0), il existe un voisinageV ~Vde

adansRntel queV f0g g(~V W). Étant donnéx2 Vil existe donc un uniquey2 WAnnée 2015-2016 55

L2 Parcours Spécial - S3 -Calcul différentiel et intégral(qu"on note(x)) tel que(x;0) =gjVW(x;(x)). Comme(x;(x)) = (gjVW)1(x;0),

est une fonction de classeCk. Pour toutx2 Von a donc f(x;(x)) = 0:

En différentiant on obtient

D xf(x;(x)) +Dyf(x;(x))d(x) = 0;

ce qui donne l"expression pour la différentielle de.Exercice8.10.On considère l"applicationf:R3!R2définie par

f(x;y;z) = (x2y2+z21;xyz1): Soit(x0;y0;z0)2R3tel quef(x0;y0;z0) = (0;0). Montrer qu"il existe un ouvertIdeR contenantx0et une application':I!R2telle que'(x0) = (y0;z0)etf(x;'(x)) = (0;0) pour toutx2I. Exercice8.11.On considère le système d"équations 8< :x

4+y3+z4+t2= 0;

x

3+y2+z2+t= 2;

x+y+z+t= 0:

1.Montrer qu"il existe un voisinageVde (0,-1,1,0) et une fonction':t7!(x(t);y(t);y(t))

de classeC1au voisinage de 0 tels que(x;y;z;t)2 Vest solution du système si et seulement si(x;y;z) ='(t).

2.Calculer la dérivée de'en 0.

Exercice8.12.On considère l"applicationf:R3!Rdéfinie par f(x;y;z) =x2xy3y2z+z3; puis la surfaceSd"équationf(x;y;z) = 0.

1.Déterminer l"équation du plan tangent àSau point (1,1,1).

2.Vérifier qu"au voisinage du point (1,1,1), la surfaceSest décrite par une équation de la

formez=(x;y)oùest une fonction de classeC1définie au voisinage de (1,1).

3.Écrire le développement limité deà l"ordre 2 au point (1,1).

4.Donner la matrice Hessienne deau point (1,1).

5.Quelle est la position deSpar rapport à son plan tangent au point (1,1).

Exercice8.13.Soienta;b2Raveca < b. Montrer que pour" >0assez petit l"équation (xa)(bx) +"x3= 0admet trois solutions distinctes (qu"on notex1("),x2(")etx3(") avecx1(")< x2(")< x3(")). Donner un développement asymptotique dex1,x2etx3jusqu"à l"ordre0("2). Exercice8.14.Soientn2NestA02Mn(R)une matrice possédantnvaleurs propres réelles distinctes. Montrer que siA2Mn(R)est proche deA0, alorsApossède égalementn

valeurs propres réelles distinctes, et ces valeurs propres dépendent continuement deA.56 J. Royer - Université Toulouse 3

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