Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) La fonction g est une fonction de Rp dans Rn. Sa dérivée est la matrice n×p composée des.
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
Exactement comme dans le cas des fonction d'une variable en plu- sieurs variables la composition de fonctions dérivables est dérivable. La dérivée composée se
Fonctions de plusieurs variables
gaz est une fonction de deux variables : sa température T et le volume V mule de dérivation composée en une variable
Fonctions de deux variables
Comme les fonctions d'une variable celles de deux variables s'écrivent avec ”??”. Pour une fonction de deux variables
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées.
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
F2 sont deux primitives d'une fonction f alors la dérivée de F2 ? F1 est se gâte pour le produit
Chapitre 6 - Composition de fonctions différentiables - Application
En dimension 1 on sait que si f et g sont deux fonctions dérivables de R dans R
Fonctions à deux variables
Jul 5 2013 comprendre l'intérêt des intégrales doubles et de la formule de Green-Riemann pour le calcul d'aires. 1 Continuité
Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor
http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/Math2/Math2-diapo-chapitre2-handout.pdf
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Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La différentielle d'une fonction à valeurs réelles Cas des fonctions d'une variable
[PDF] Fonctions de deux variables
Dérivées partielles Pour une fonction de deux variables il y a deux dérivées une ”par rapport `a x” et l'autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a
[PDF] 5 Dérivées de fonctions de plusieurs variables - GERAD
Fonction de deux variables ? Soit f une fonction de deux variables définie de R2 dans R ? Les dérivée partielles de f au point (x y) = x ? R2 sont
[PDF] 23 Dérivabilité en plusieurs variables
La dérivée d'une fonction lorsqu'elle existe est liée aux variations de la fonction tandis que l'un de ses variables parcourt une direction Pour
[PDF] Fonctions à deux variables - Normale Sup
25 jan 2012 · Vous savez que pour une fonction f à une variable le nombre dérivé f/(x) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe
[PDF] Dérivation de fonctions de plusieurs variables
Si on dérive une fonction de variables on aura à la fin du procédé de dérivation dérivées partielles Le procédé est le suivant : 1) On dérive d'abord
[PDF] Composition de fonctions différentiables - Application aux EDP
On appelle équation aux dérivées partielles une équation dont l'inconnue est une fonction de plusieurs variables et qui fait intervenir les dérivées partielles
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Mathématiques
On obtient ainsi une fonction de deux variables g?f Pour calculer les dérivée partielles de g?f il suffit d'appliquer la formule de dérivation des fonctions
[PDF] Fonctions de plusieurs variables
La dérivée directionnelle décrit les variations de f(a + tu b + tv) autour de (a b) dans la direction du vecteur (u v) La direction selon laquelle la
Comment on dérivé f ? g ?
- Si, sur l'intervalle I, g est dérivable et prend ses valeurs dans l'intervalle J, si enfin f est dérivable sur J , alors f ? g est dérivable sur I, et sa dérivée y est donnée par la formule. (f ? g) = g . (f ? g). (ga) = ag ga?1.Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ?
[f(g(x))]' =f'(g(x))&×g'(x). Cette formule permet par exemple de calculer la dérivée de f : x ? sin(x²) car f est la composée x ? x² suivie de x ? sin(x).Comment dériver une fonction à trois variables ?
une fonction à 3 variables. x ?? f(x, y, z) Page 22 existe en x. On note ?f ?x: R × R × R ? R (x, y, z) ?? fy,z (x, y, z). Pour calculer ?f ?x , on dérive f par rapport à la variable x en considérant y et z comme des nombres constants.- La différentielle au point (x, y) d'une application à deux variables f est l'expression dfx,y = ?f ?x (x, y)dx + ?f ?y (x, y)dy. Les dx, dy et df de l'expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.25 jan. 2012
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L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite)1 La différentielle d"une fonction à valeurs réelles
Cas des fonctions d"une variable
(i)fest dérivable enX0silimh!0f(X0+h)f(X0)h existe.Sa valeur`est notéef0(X0).
(ii) On p eut,de manière équiv alente,écrire limh!0f(X0+h)f(X0)`hh = 0. On remarque queh!L(h) =`hest une application linéaire deRdansR, que l"on appelledifférentielledefenX0et que l"on notedf(X0). (iii) Si fest dérivable enX0, alors pourhpetit :f(X0+h)est "voisin" def(X0)+f0(X0)h. Donch!f(X0) +f0(X0)hest une application affine qui "approche très bien " f(X0+h).Définition
1.1. fest différentiable enxs"il existe une application linéaireL:Rn!R
telle que : f(x+h) =f(x) +L(h) +khk(h); aveclimh!0(h) = 0. L"applicationLestla différentielle defenxet se notedf(x) ouf0(x).Remarque
Cette définition signifie que l"application affinef(x)+df(x)hest tangente à l"application h7!f(x+h)en 0. Lorsque qu"on remplacef(x+h)parf(x) +df(x)het quehest petit, alors on fait une erreur négligeable par rapport àh.Cela revient à dire
lim khk!0f(x+h)f(x)L(h)khk= 0 La différentielle, lorsqu"elle existe, est unique.Proposition
1.2. Sifest différentiable enx, alors ses dérivées partielles existent et on
a : df(x)h=@ f@ x1(x)h1+:::+@ f@ x
n(x)hn =rfhRemarque
La matrice de l"application linéairedf(x)dans la base canonique est le gradientrf(x). 1L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Proposition
1.3. Sifest différentiable enxalorsfest continue enx.
Remarque
L"existence des dérivées partielles defn"implique pas la différentiabilité.Mais :
Théorème
1.4. Sifadmet des dérivées partielles et si elles sont continues alorsfest
différentiable.On dit quefest de classeC1.
1.1 Règle de différentiation
Proposition
1.5. Sifetgsont différentiables on a :
(i)d(f+g)(x) =df(x) +dg(x) (ii)d(f)(x) =df(x) (iii)d(fg)(x) =f(x)dg(x) +g(x)df(x) (iv)dfg (x) =g(x)df(x)f(x)dg(x)g2(x)(à condition queg(x)6= 0)
1.2 Remarques
Sif:U!RoùUest un ouvert deRn, alors :
(i) Si festC1surUalorsfest différentiable surUet les dérivées@ f@ x iexistent surU.Les réciproques ne sont pas vraies!!
(ii) Si fest différentiable enx02Ualors l"application affineA(h) =f(x0) +df(x0)h a pour graphe l"espace tangent au graphe defenx0.1.3 Dérivées partielles successives
Les dérivées partielles
@f@x i(x1;:::;xn)sont des fonctions dex1;:::;xn, et il arrive souvent qu"elles sont eux-même dérivables.Définition
1.6. On écrit, lorsqu"elle existe,@2f@x
i@xj=@@x i @f@x j et on dit qu"il s"agit d"unedérivée partielle secondedef.Exemple
f:R2!R;(x;y)7!x3y4. Alors@2f@x@y (x;y) = 12x2y3=@2f@y@x (x;y). 2L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Théorème
1.7. (Schwarz)
Si les déirvées partielles
@f@x i;@2f@x i@xjexistent et sont continues dans une boule autour de(a1:::an)alors : 2f@x i@xj(a) =@2f@x j@xi(a)2 La différentielle d"une fonction à valeurs vectorielles
Définition
2.1. FdeRndansRmestdifférentiableenx2Rns"il existe uneappli-
cation linéaireLdeRndansRmtelle que : lim khk!0F(x+h)F(x)Lhkhk= 0:Lest ladifférentielledeFenxet se note :dF(x).
Théorème
2.2. Fest différentiable enxsi et seulement si ses composants sont différen-
tiables et on a : dF(x)h= (rf1(x)h; ::: ;rfm(x)h):Définition
2.3. La matrice
2 6 4@f 1@x1(x)@f1@x
n(x) @f m@x1(x)@fm@x
n(x)3 7 5 est la matrice dedF(x)et est appeléematrice jacobiennedeFenxet se note :J(F)(x).Théorème
2.4. SiFa des composantes de classeC1alors elles sont différentiables etF
est également différentiable.Exercice
(i) T rouverla matrice jaco biennede Fen(1;1)de :F(x; y) = (x2+y2; exy). (ii) T rouverla différen tiellede F(x; y ; z) = (x; y ; z). (iii) T rouverla diff érentiellede F(r; ) = (rcos; rsin).2.1 Propriétés de la différentielle
Proposition
2.5. SiFdeRndansRmest linéaire, alorsdF(x) =F.
Proposition
2.6. SiFest différentiable enxalorsFest continue enx.
3L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
2.2 Différentielles des fonctions composées
SiFest une fonction deRndansRm, siGest une fonction deRmdansRq, alorsGF est une fonction deRndansRq.Théorème
2.7. SiFest différentiable enx, et siGest différentiable enF(x), alors
GFest différentiable enxet on a :
d(GF)(x) =dG(F(x))dF(x):Exercice
DériverGFlorsque
F(x; y) = (x2+y2; exy)
G(u; v) = (xy ;sinx; x2y)
2.3 Sur la règle de dérivation en chaîne
Le résultat théorique
Soientf:Rn!Retg:Rp!Rndeux fonctions différentiables. Écrivonsh=f g:D"après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctions deRdansR) : h0(x) = (fg)0(x) =f0(g(x)):g0(x):
La fonctionfgest une fonction deRpdansR. Sa dérivée est donc un vecteur ligne àp colonnes, la transposée de son gradient : h0(x) =
@h@x 1@h@x2:::@h@x
p La fonctiongest une fonction deRpdansRn. Sa dérivée est la matricenpcomposée des vecteurs transposés des gradients des coordonnées deg. Sig(x) = (g1(x);g2(x);:::;g2(x)) (on devrait écrire ce vecteur en colonne si on voulait se conformer en toute rigueur aux choix du cours) la dérivée degs"écrit : g0(x) =0
BBBB@@g
1@x 1@g 1@x2@g1@x
p@g2@x 1@g 2@x2@g2@x
p............ @g n@x 1@g n@x2@gn@x
p1 C CCCA: Pour simplifier la présentation appelonsg= (g1;g2;:::;gn)un point deRn. C"est un abus de notation,gne désigne pas ici la fonctiongmais un vecteur, un point dansRn. La dérivée defen un pointgest donnée par la transposée de son gradient : f0(g) =@f@g
1@f@g2:::@f@g
n 4L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
L"égalité matricielleh0(x) = (fg)0(x) =f0(g(x)):g0(x)signifie donc : @h@x 1@h@x2:::@h@x
p =@f@g 1@f@g2:::@f@g
n0 BBBB@@g
1@x 1@g 1@x2@g1@x
p@g2@x 1@g 2@x2@g2@x
p............ @g n@x 1@g n@x2@gn@x
p1 C CCCA:Autrement dit pour touti= 1;:::;pon a
@h@x i=nX k=1@f@g k@g k@x i: Attention! Quandgkapparaît au dénominateur cela signifie seulement que l"on prend ladérivée defpar rapport à sakième variable. Quand il apparaît au numérateurgkdésigne
lakième coordonnée deg: c"est alors une fonction.Un exemple
Prenonsf:R3!Retg:R2!R3deux fonctions différentiables définies par f(x;y;z) = 2xy3(x+z); g(x;y) = (x+y4;y3x2;2x23y): On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variablesh=fg.Pour se ramener au théorème général et ne pas s"embrouiller, il est préférable de changer
les noms des variables dans l"expression def: f(g1;g2;g3) = 2g1g23(g1+g3): La formule de dérivation en chaîne donne alors @h@x =@f@g1@(x+y4)@x
+@f@g2@(y3x2)@x
+@f@g3@(2x23y)@x
@h@y =@f@g1@(x+y4)@y
+@f@g2@(y3x2)@y
+@f@g3@(2x23y)@y
Pour @h@x , on obtient : @h@x = (2g23):1 + 2g1:(6x) + (3):4x Exprimée en fonction dexetycette dérivée s"écrit : @h@x = 2y6x2312x(x+y4)12x=12xy418x2+ 2y12x3: Je vous laisse le calcul de la deuxième dérivée partielle dehen exercice. Remarque. On peut aussi écrire les choses sous la forme : @h@x =@f@x @(x+y4)@x +@f@y @(y3x2)@x +@f@z @(2x23y)@xmais c"est un peu risqué. Il ne faut surtout pas oublier de prendre les valeurs des dérivées
partielles defau point(x+y4;y3x2;2x23y). 5quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] fonction polynome de degré 3 stmg
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