[PDF] Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs

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Notes du cours MTH1101 - Calcul I

Partie II: fonctions de plusieurs variables

Guy Desaulniers

D´epartement de math´ematiques et de g´enie industriel

´Ecole Polytechnique de Montr´eal

Automne 2022

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 2/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 3/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction de plusieurs variables Une fon ctionfdenvariablesa ssigne` ach aquevec teur (x1,x2,...,xn) de son domaine de d´eifinitionD⊆Rnune valeur r´eelle unique, not´eef(x1,x2,...,xn) : f:D→R (x1,x2,...,xn)→f(x1,x2,...,xn).4/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : domaine et image Dest appel´e led omainede d ´eifinitiond efet l'imageIdefsurD est l'ensemble des valeurs que peut prendrefsurD:

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesIl existe plusieurs fa¸cons de repr´esenter des fonctions de plusieurs

variables :Alg´ebriquement

Graphiquement

Num´eriquement

Repr´esentation alg´ebrique

f(x1,x2,x3) =5x21ex2+x3q x

21+x22+x23.

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRepr´esentation graphique Pour une fonctionf(x,y) de 2 variables, on dessine une

surface au dessus de son domaine de d´eifinitionD.Pour chaque couple (x0,y0)∈D, un seul point (x0,y0,z0)

appartient `a cette surface {(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.7/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesSurface def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy,x,y∈[-3,3] 8/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : courbes de niveau Les c ourbesd en iveaud 'unef onctionf(x,y)de 2 va riabless ontl es courbes d'´equationsf(x,y) =ko`uk∈I.Remarques Des courbes de niveau rapproch´ees indiquent une forte

variation de la fonction dans cette r´egion.Des courbes de niveau ´eloign´ees indiquent que la fonction est

relativement constante dans cette r´egion. 9/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesCourbes de niveau def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy, k∈ {0,2.5,...,17.5,20}10/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRepr´esentation num´erique

A l'aide d'un tableau :

x3 4 5

0.022.5 21.0 19.8

y0.521.6 20.7 19.6

1.021.1 20.7 19.9

1.520.9 21.1 20.6

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 12/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition intuitive : limite d'une fonction de 2 variables La l imited ef(x,y) quand (x,y) tend vers (a,b)va utL(i.e., lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =L) si les valeurs def(x,y) peuvent ˆetre rendus aussi proche que l'on veut deLen prenant (x,y) suiÌifiÌisamment

proche de (a,b) (mais pas ´egal `a (a,b)).D´eifinition formelle : limite d'une fonction de 2 variables

lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =Lsi, pour toutϵ >0, il existeδ >0 tel que |f(x,y)-L|< ϵ∀(x,y)∈D∩Bδ(a,b), o`uBδ(a,b) ={(x,y)|(x-a)2+ (y-b)2< δ2}.13/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesPour montrer qu'une limite n'existe pas, il suiÌifiÌit de montrer que la

limite est difff´erente le long de deux chemins se rendant en (a,b).Quelques lois

lim(f(x,y) +g(x,y)) = limf(x,y) + limg(x,y)lim(f(x,y)-g(x,y)) = limf(x,y)-limg(x,y)limf(x,y)g(x,y) = limf(x,y)limg(x,y)limcf(x,y) =climf(x,y) o`uc∈Rlim

f(x,y)g(x,y)=limf(x,y)limg(x,y)si limg(x,y)̸= 014/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction continue Une fonctionfde 2 variables estc ontinuee n( a,b)si lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =f(a,b).Une fonctionfestcon tinuesu rs ond omaineDsi elle est continue en tout point (a,b)∈D.15/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRemarques

Une fonctionf(x,y) est discontinue en (a,b) d`es que lim(x,y)→(a,b)f(x,y) n'existe pas ou que lim (x,y)→(a,b)f(x,y)̸=f(a,b).La surface d'une fonction discontinue contient n´ecessairement un trou ou une fracture. 16/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesPar les lois sur les limites et la d´eifinition de la continuit´e, il

d´ecoule que les sommes, les difff´erences, les produits et les quotients de fonctions continues sont aussi continues sur leur domaine de d´eifinition.En particulier, tout polynˆome est une fonction continue et toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est continue sur son domaine. 17/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesProposition

Sifest une fonction continue de 2 variables etgune fonction continue d'une variable d´eifinie sur l'image def, alors la fonction compos´eeh=g◦fd´eifinie parh(x,y) =g(f(x,y)) est aussi continue.Remarque Toutes les d´eifinitions et r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent aux fonctions de plus de 2 variables. 18/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 19/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesRappel : d´eriv´ee d'une fonction d'une variable

Soitf(x) :D⊆R→Reta∈D, alors

f ′(a) =dfdx x=a= limh→0f(a+h)-f(a)h si la limite existe. f ′(a) = taux de variation defau pointx=a = pente de la tangente defau pointx=a f(a+h)-f(a)h sihest petit20/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) :D⊆R2→Ret (a,b)∈D. Lad ´eriv´eep artielled ef par rapport `axen (a,b)es t f x(a,b) =∂f∂x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation defpar rapport `ax(en gardanty=bifixe) au point (x,y) = (a,b).

De mˆeme, la

d ´eriv´eep artielled efpar rapport `ayen (a,b)es t f y(a,b) =∂f∂y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h .21/46

Fonctions de plusieurs variables

Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesLorsqueyest ifixe `ab, on peut voirf(x,y) comme une fonction d'une seule variableg(x) =f(x,b). Dans ce cas, f

x(a,b) =g′(a).En posantG(y) =f(a,y), on trouve aussify(a,b) =G′(b).Par cons´equent, une d´eriv´ee partielle n'est rien de plus que la

d´eriv´ee d'une fonction d'une seule variable. 22/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesCalcul d'une d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) une fonction de deux variables.Pour calculerfx(x,y), on consid`ereycomme une constante et on d´erive par rapport `ax.Pour calculerfy(x,y), on consid`erexcomme une constante et

on d´erive par rapport `ay.D´eifinition : d´eriv´ee partielle d'une fonction denvariablesSoitf(x1,...,xn) :D⊆Rn→Ret⃗a= (a1,...,an)∈D. Alors

f xi(⃗a) = limh→0f(a1,...,ai-1,ai+h,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)h si la limite existe. 23/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesApproximation d'une d´eriv´ee partielle Si la fonction n'est pas connue sous forme analytique, on peut quand mˆeme faire des approximations des d´eriv´ees partielles lorsque la fonction est connue num´eriquement ou graphiquement par courbes de niveau. On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes, appel´ees formules aux difff´erences ifinies (hest petit) :f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a,b)h f x(a,b)≈f(a,b)-f(a-h,b)h f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a-h,b)2h24/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ees partielles d'ordre sup´erieur Les d´eriv´ees partielles sont aussi des fonctions qui peuvent ˆetre d´eriv´ees pour obtenir des d ´eriv´eesp artiellesd 'ordresu p´erieur

Ordre 2 :fxx(x,y) =∂2f∂x2(x,y)

f yy(x,y) =∂2f∂y2(x,y) f xy(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y) f yx(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y) Ordre 3 :fxxx(x,y),fyyy(x,y),fxxy(x,y),fxyx(x,y),...Th´eor`eme

Sifxyetfyxsont continues, alorsfxy=fyx.25/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 26/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesPlan tangent `a une surface Soitf(x,y) une fonction de deux variables. L'´equation du plan tangent `a la surfacez=f(x,y) au point (x0,y0,z0) (o`u z

0=f(x0,y0)) est donn´ee par :

z=z0+fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0,y0)(y-y0).Approximation lin´eaire Le plan tangent peut servir d'approximation def(x,y) autour de (x0,y0). On parle d'approximationl in´eaireou d el in´earisationd e f(x,y). f(x,y)≈L(x,y) =f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).27/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition intuitive : fonction difff´erentiable

Une fonctionf(x,y) qui peut ˆetre approxim´ee convenablement par un plan autour d'un point (x0,y0) est dited ifff´erentiablee n( x0,y0).Th´eor`eme Sifxetfyexistent `a proximit´e de (x0,y0) et sont continues en (x0,y0), alorsf(x,y) est difff´erentiable en (x0,y0).28/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition : difff´erentielle Soitf(x,y) une fonction difff´erentiable en (x0,y0). Alors la difff´erentielle def(x,y) en (x0,y0)es td onn´eep ar: dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.Remarque La difff´erentielle mesure la difff´erence entre l'approximation propos´ee parL(x,y) au point (x0+dx,y0+dy) etf(x0,y0), i.e.,

L(x,y) =z0+dz.29/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesFonctions denvariablesSoitf(⃗x) =f(x1,x2,...,xn) une fonction denvariables et

a= (a1,a2,...,an) un point du domaine de d´eifinition def(⃗x). Posonsz=f(⃗x).L'´equation du plan tangent def(⃗x) en⃗aest donn´ee par : z=f(⃗a) +nX i=1∂f∂xi(⃗a)(xi-ai).La difff´erentielle def(⃗x) en⃗aest donn´ee par : dz=nX i=1∂f∂xi(⃗a)dxi.30/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 31/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesRappel Siy=f(x) o`ux=g(t), alorsy=f(g(t)) est une fonction detet dydt =dydx dxdt .Cas 1 Siz=f(x,y) o`ux=g(t) ety=h(t), alorsz=f(g(t),h(t)) est une fonction detet dzdt =∂z∂xdxdt +∂z∂ydydt .32/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesCas 2

Siz=f(x,y) o`ux=g(s,t) ety=h(s,t), alors

z=f(g(s,t),h(s,t)) est une fonction de deux variablessett, et

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres

1Fonctions de plusieurs variables

Repr´esentation des fonctions

Limites et continuit´e

D´eriv´ees partielles

2Approximations des fonctions de plusieurs variables

Plan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 34/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition : d´eriv´ee directionnelle Soitz=f(x,y) une fonction de deux variables et⃗u= (a,b) un vecteur unitaire. La d ´eriv´eedi rectionnelled ef(x,y) en (x0,y0) dans la direction ⃗uest not´eef⃗u(x0,y0) et vaut f ⃗u(x0,y0) = limh→0f(x0+ha,y0+hb)-f(x0,y0)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation de f(x,y) en (x0,y0) dans la direction⃗u.35/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesProposition f ⃗u(x0,y0) =fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b.D´eifinition : gradient Le vecteur∇f(x0,y0) = (fx(x0,y0),fy(x0,y0)) est appel´e le gradient defen (x0,y0). Notations ´equivalentes : ∇f=grad f= (∂f∂x,∂f∂y) =∂f∂x⃗ı+∂f∂y⃗ȷ.

Par cons´equent,

f ⃗u(x0,y0) =∇f(x0,y0)·(a,b).36/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTaux de variation maximum Le gradient∇f(x0,y0) indique la direction (possiblement, non unitaire) dans laquelle la fonctionf(x,y) a le plus grand taux

de variation en (x0,y0).Le taux de variation maximal vaut∥∇f(x0,y0)∥.∇f(x0,y0) (si̸=⃗0) est perpendiculaire `a la tangente `a la

courbe de niveau qui passe par (x0,y0).37/46

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Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaire

D´erivation des fonctions compos´ees

D´eriv´ee directionnelle et gradient

S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesFonctions de plus de 2 variables Soitf(x1,x2,...,xn) une fonction denvariables.Gradient :

∇f=∂f∂x1⃗ı1+∂f∂x2⃗ı2+...∂f∂xn⃗ınD´eriv´ee directionnelle dans la direction

⃗u:quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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