Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn Dérivée de la racine.
DÉRIVATION (Partie 2)
Dans ce cas la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
Tableaux des dérivées
%20primitives
Tableau de variation :
1ère STI GE Ch4. Application de la dérivation. 1. APPLICATIONS DE LA DERIVATION La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation :.
Dérivation
Elle est dérivable sur R de dérivée g?(x)=3x2. Sa fonction réciproque est la fonction racine cubique g?1(x) = 3. ?x
CONVEXITÉ
La fonction racine carrée x ! x est concave sur 0;+????? . - Admis - La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I soit.
DÉRIVATION
Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.
Dérivation
x. 2. Fonction racine carrée. ?+*. x. 1. 2 x. C. Opérations sur les fonctions dérivables. 1- Somme et produit par un réel.
Chapitre 4: Dérivée dune fonction et règles de calcul
on reproduit x et on descend la puissance d'un cran. Exemples dérivée d'une fraction simple dérivée d'une racine. 1) f (x) = x alors ?f (x)= 1x0 = 1.
Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes
En tout point de cette droite le coefficient directeur (pente) est nulle. (2) La fonction x x est représentée par une droite de coefficient directeur (pente)
[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation 1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée D f f(x) = k R f (x) = 0
[PDF] Tableaux des dérivées
%2520primitives
[PDF] Partie 1 : Dérivées des fonctions usuelles - maths et tiques
On a donc défini sur ? une fonction notée ? dont l'expression est ?( ) = 2 Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de Le mot « dérivé » vient
[PDF] Fonction dérivée - Unemainlavelautre
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 alors qu'elle est définie en Autrement dit g est dérivable sur I = R et sa fonction dérivée est g? x
[PDF] Dérivation
Le premier permet de retrouver la formule de la dérivée de la racine carrée vue précédemment tandis que la seconde permet de trouver la dérivée de la racine
[PDF] LA DÉRIVÉE
Dérivée des fonctions usuelles 10 4 Évaluation de la pente de la tangente en un point C'est le cas notamment des racines
[PDF] Tableaux des dérivées
Euclide d'Alexandrie Dérivées des fonctions usuelles Notes Fonction f Fonction dérivée f ' Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle)
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
x ? x0 Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si f est dérivable en x0 alors la courbe représentative de la fonction f admet une tangente
[PDF] Dérivation des fonctions
tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f 2 Les fonctions racine carrée et logarithme sont concaves sur ]0 +?[
La dérivation de fonctions racines carrées - Jybaudotfr
Donner l'ensemble de définition de la fonction suivante et déterminer sa dérivée f:x?
Quel est la dérivée de racine carré de X ?
La dérivée d'une racine carrée est égale à 1 divisé par la base multipliée par deux. Ceci, au cas où la base est inconnue.Comment calculer la dérivée d'une racine ?
La dérivée d'une fonction contenant une racine carrée est toujours une fraction. Le numérateur de cette fraction est la dérivée du radicande. Reprenons nos exemples et construisons les fractions en inscrivant pour commencer les numérateurs X Source de recherche .
![Dérivation Dérivation](https://pdfprof.com/Listes/17/57724-17Derivation.pdf.pdf.jpg)
DérivationA. Nombre dérivé1- Limite finie d'une fonction en 0.Soit f une fonction définie sur D tel que 0 est à l'intérieur de D ou est une borne de D.On dit que f a pour limite le nombre l lorsque x tend vers 0 et on écrit limx0
fx=l si les nombres f(x) peuvent devenir aussi proches de l qu'on le désire pour x suffisamment proche de 0.Exemple : limx052x=5 en effet pour que 5 + 2x soit compris entre 5 - e et 5 + e, c'est à dire 5 - e < 5 + 2x < 5 + e, il suffit de choisir x entre - e/2 et e/2.2- Fonction dérivable en un pointSoit f une fonction et a un point de son ensemble de définition.Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que la fonction qui à h associe
fah-fah admet une limite finie lorsque h tend vers 0.Cette limite est le nombre dérivé de f en a, on la note f '(a).
f'a=limh0 fah-fa hExemple :Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Montrons que f est dérivable en 2 et calculons f'(2).
f2h-f2 h=2h2 -2 -2 h=4hh2 h=4 h et limh04h=4.
On en déduit que f est dérivable en 2 et que f '(2) = 4.3- Interprétation graphique du nombre dérivéSoit f une fonction dérivable en a . On appelle C la représentation graphique de f dans un
repère. La courbe C admet une tangente au point d'abscisse a et f '(a) est le coefficientdirecteur de cette tangente.Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f '(a)(x - a)+ f (a).
Exemple
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x - 2) + f(2) soit y = 4(x - 2) + 2 soit y = 4x - 6.La fonction
x4x-6 est une approximation affine de la fonctionxx2 -2 au voisinage de 2.Pour x proche de 2, 4x - 6 et x² - 2 donnent des résultats très
voisins.KB 1 sur 4 B. Fonctions dérivées des fonctions usuellesSoit f une fonction dérivable sur D.La fonction qui à x associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est appelée fonction dérivée de f
sur D et on la note f '.Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles.Fonction constanteℝk0
Fonction affineℝax+ba
Carréℝx2 2x
Cubeℝx3 3x2
Puissance de xℝxn (n > 0)n xn-1
Fonction inverseℝ+1
x -1 x2Fonction racine carréeℝ+* x12xC. Opérations sur les fonctions dérivables1- Somme et produit par un réelSoient u et v deux fonctions dérivables sur D et k un réel.La fonction dérivée de u + v est (u + v)' = u' + v'.La fonction dérivée de ku est (ku)' = ku'.ExempleCalculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f (x) = 2x² - 3x + 5.La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x.
La dérivée de - 3x est - 3.
La dérivée de 5 est 0.On en déduit que la dérivée de f est f '(x) = 4x - 3.2- Produit et quotient de deux fonctionsSoient u et v deux fonctions dérivables sur D.La fonction dérivée de uv est (uv)' = u'v + v'u.Si v ne s'annule pas sur D, - la fonction dérivée de
1 v est 1 v'=-v' v2 - la fonction dérivée de u v est u v'=u'v-v'uv2 ExempleSoit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = (2x + 1)(x² - 3).On pose u(x) = 2x + 1, d'où u'(x) = 2 et v(x) = x² - 3, d'où v'(x) = 2x.
KB 2 sur 4
On a alors : f '(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) = 2(x² - 3) + 2x(2x + 1) = 2x² - 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x - 6.Remarque : on aurait pu développer f (x); f(x) = 2x3 + x2 - 6x - 3 d'où f '(x) = 6x2 + 2x - 6.
3- Dérivée de u(ax + b)
Soit u une fonction dérivable sur D, a et b deux réels tels que ax + b ∈ D.La dérivée de la fonction f définie par f (x) = u(ax + b) est f '(x) = u'(ax + b)×a.
RemarqueLa fonction f est la composée de la fonction u et de la fonction affine définie par ax + b.
Exemple Soit f la fonction définie sur ℝ+ par fx=2x3.On pose u(x) =
x; on a alors f (x) = u(2x + 3).Comme u'(x) =
12x, la dérivée de f est f'x=1
2 2x3×2 =1
2x3.D. Dérivée et sens de variationSoit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f ' sa dérivée.Si f ' est strictement positive sur I, sauf peut être en quelques points où f ' s'annule, alors f est
strictement croissante sur I.Si f ' est strictement négative sur I, sauf peut être en quelques points où f ' s'annule, alors f
est strictement décroissante sur I.Si f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I.Exemple Etudier les variations de la fonction f définie par f (x) = x² - 3x sur ℝ.
La dérivée de f est f '(x) = 2x - 3.
C'est une fonction affine qui s'annule pour x = 3/2.Sur ]-∞ ; 3/2] f ' est négative donc f est décroissante.Sur [3/2 ; +∞[ f ' est positive donc f est croissante.On résume cette étude dans le tableau suivant :Remarque La fonction f admet un minimum en x = 3/2.Quel que soit x, f (x) f (3/2).Comme la dérivée s'annule en x = 3/2, la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des
abscisses.KB 3 sur 4x signe de f '(x) f (x)3/2- ∞+∞ -+0 - 9/4 E. Approximation affine d'une fonctionSoit f une fonction dérivable en x0. Soit la fonction définie par h=fx0h-fx0 h-f'x0.On a d'une part
limh0h=0, et d'autre part fx0h=fx0hf'x0hh.
Lorsque h est petit, le terme
hh est " très » petit, on peut le " négliger ».On a ainsi :
fx0h≈fx0hf'x0 qui donne une approximation affine de f en x0.
Applications •pour
fx=x2 et x0=1, on obtient : 1h2 ≈1 2h. •pour fx=1 x et x0=1, on obtient : 11h≈1-h.
•pour fx=x et x0=1, on obtient : 1h≈1h 2.KB 4 sur 4
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dérivée 1/x^n
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