Fonctions de deux variables
Comme les fonctions d'une variable celles de deux variables s'écrivent avec ”??”. Pour une fonction de deux variables
Fonctions à deux variables
Jan 25 2012 Les dérivées partielles d'une fonction à deux variables sont les dérivées de ses application partielles. On note. ?f. ?x la dérivée de fx et.
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite). 1 La différentielle d'une fonction à valeurs réelles. Cas des fonctions d'une variable.
5. Dérivées de fonctions de plusieurs variables
Fonction de deux variables. ? Soit f une fonction de deux variables définie de R2 dans R. ? Les dérivée partielles de f au point (x y) = x ? R2 sont.
Fonctions de plusieurs variables
Nov 1 2004 Théor`eme 1 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0
Fonctions de 2 ou 3 variables
Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables. Soit f : R×R ?. R. (xy) ? f (x
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
Exactement comme dans le cas des fonction d'une variable en plu- sieurs variables la composition de fonctions dérivables est dérivable. La dérivée composée se
Fonctions à deux variables
Jul 5 2013 savoir calculer des dérivées partielles et déterminer des points critiques. • comprendre l'intérêt des intégrales doubles et de la formule de ...
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Calculer la dérivée d'une fonction est toujours possible et relativement facile : il suffit d'appli- quer un certain nombre de r`egles de calcul bien connues;
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées.
[PDF] Fonctions de deux variables
Dérivées partielles Pour une fonction de deux variables il y a deux dérivées une ”par rapport `a x” et l'autre ”par rapport `a y” Les formules sont (`a
[PDF] 5 Dérivées de fonctions de plusieurs variables - GERAD
Fonction de deux variables ? Soit f une fonction de deux variables définie de R2 dans R ? Les dérivée partielles de f au point (x y) = x ? R2 sont
[PDF] Fonctions à deux variables - Normale Sup
25 jan 2012 · Vous savez que pour une fonction f à une variable le nombre dérivé f/(x) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe
[PDF] Chapitre 8 Fonctions de deux variables - Unisciel
Ces fonctions partielles sont des fonctions de R vers R on peut donc les étudier comme telles (dérivée tableau de variation limites ) 2 Limites et
[PDF] 23 Dérivabilité en plusieurs variables
La dérivée d'une fonction lorsqu'elle existe est liée aux variations de la fonction tandis que l'un de ses variables parcourt une direction Pour
[PDF] Fonctions de 2 et 3 variables
La fonction f admet une dérivée partielle par rapport à x sur {(x y) ? R × R: y > 0} = D(f) Page 18 3 2 Dérivées partielles deuxièmes des fonctions à deux
[PDF] Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La différentielle d'une fonction à valeurs réelles Cas des fonctions d'une variable
[PDF] Dérivation de fonctions de plusieurs variables
Si on dérive une fonction de variables on aura à la fin du procédé de dérivation dérivées partielles Le procédé est le suivant : 1) On dérive d'abord
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables L'objectif est évidemment de donner une définition
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Mathématiques
Pour calculer les dérivée partielles de g?f il suffit d'appliquer la formule de dérivation des fonctions d'une variable Exemple Prenons f(x y) = x2y3 soit
![[PDF] 5 Dérivées de fonctions de plusieurs variables - GERAD [PDF] 5 Dérivées de fonctions de plusieurs variables - GERAD](https://pdfprof.com/Listes/17/57741-175_derivees.pdf.pdf.jpg)
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5. D´eriv´ees de fonctions de plusieurs
variablesMTH1101
C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel
Polytechnique Montr´eal
A2022 v7MTH1101: Calcul I1/49
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Plan1. D´eriv´ees partielles
2. Approximations lin´eaires
3. Difff´erentielle
4. Difff´erentiabilit´e
5. D´erivation en chaˆıne
6. D´eriv´ee directionnelle
7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs
variablesMTH1101: Calcul I2/49
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1. D´eriv´ees partielles
2. Approximations lin´eaires
3. Difff´erentielle
4. Difff´erentiabilit´e
5. D´erivation en chaˆıne
6. D´eriv´ee directionnelle
7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs
variablesMTH1101: Calcul I3/49
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Fonction de une variable
Soitfune fonction de une variable d´eifinie deRdansR La d ´eriv´eede fau pointx∈Rest f ′(x) =dfdx (x) = limh→0f(x+h)-f(x)h (si cette limite existe) f′(x)est aussi appel´e letaux de va riation(instantann ´e)ou la pente de la tangente au graphe en x On peut approcherf′(x)par l'expression suivante o`uhest petit (d´eriv´ee amont) : f ′(x)≃f(x+h)-f(x)hMTH1101: Calcul I4/49
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Fonction de deux variables
Soitfune fonction de deux variables d´eifinie deR2dansR Les d ´eriv´eepa rtiellesde fau point(x,y) =x∈R2sont ∂f∂x (x) =∂∂x f(x) =fx(x) = limh→0f(x+h,y)-f(x)h ∂f∂y (x) =∂∂y f(x) =fy(x) = limh→0f(x,y+h)-f(x)hMTH1101: Calcul I5/49
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Fonction de deux variables : D´eriv´ees secondes D´eriv´ees secondes :2f∂x
2(x) =∂∂x
∂f∂x (x) =∂∂x (fx(x)) =fxx(x)2f∂x∂y
(x) =∂∂x ∂f∂y (x) =∂∂x (fy(x)) =fyx(x)Mˆeme logique pourfyyetfxy
Si lesd´eriv´ees mixtesfxyetfyxexistent et sont continues, alors elles sont ´egales :fxy(x) =fyx(x)Matrice hessienne
de fen(x):H(x) =∇2f(x) =fxx(x)fyx(x)
f xy(x)fyy(x) ∈R2×2 (sym´etrique quandfxy(x) =fyx(x))MTH1101: Calcul I6/491/72/73/74/75/76/77/7
Fonction denvariables
Soitfune fonction denvariables d´eifinie deRndansRSoitx= (x1,x2,...,xn)
Lesnd´eriv´ees partielles defenxsont, pouri= 1,2,...,n: ∂f∂x i(x) = limh→0f(x1,x2,...,xi-1,xi+h,xi+1,...,xn)-f(x)h Le gradient est le vecteur des d ´eriv´eespa rtielles: ∇f(x) =∂f∂x1(x),∂f∂x
2(x),...,∂f∂x
n(x)MTH1101: Calcul I7/49
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Exemples 1 et 2
1.Donner le gradient def(x,y) = cos5x3y2-xy3, puis
∇f(1,0)2.Donner le gradient et la matrice hessienne de
f(x,y) =x2-y2, puis exprimer-les en0MTH1101: Calcul I8/491/72/73/74/75/76/77/7
Approximation des d´eriv´ees partielles
M´ethode des difff´erences ifinies illustr´ee sur une fonction de deux variables, selon unpetitd´eplacement enxnot´e∆x:D´eriv´ee amont :
f x(x)≃f(x+ ∆x,y)-f(x)∆xD´eriv´ee aval :
f x(x)≃f(x)-f(x-∆x,y)∆xD´eriv´ee centr´ee :
f x(x)≃f(x+ ∆x,y)-f(x-∆x,y)2∆xMTH1101: Calcul I9/491/72/73/74/75/76/77/7
Approximation des d´eriv´ees : Avec une tableOn dispose des 4 valeurs suivante def(x,y):x
1x2y 1v 1v2 y 2v 3v4Les d´eriv´ees amont donnent :
∂f∂x2-x1=v2-v1x
2-x1 ∂2f∂y∂x (x1,y1) =∂fx∂y f x(x1,y2)-hv2-v1x2-x1iy
2-y1≃h
v4-v3x 2-x1i -hv2-v1x2-x1iy
2-y1De mˆeme :∂2f∂x∂y
(x1,y1)≃h v4-v2y 2-y1i -hv3-v1y2-y1ix
2-x1 Ces approximations ne respectent pas forc´ement f xy(x) =fyx(x)MTH1101: Calcul I10/491/72/73/74/75/76/77/7
Approximation des d´eriv´ees : Avec des courbes de niveau Exemple 3 :Exercice 4.1.10 page 157MTH1101: Calcul I11/491/72/73/74/75/76/77/7
1. D´eriv´ees partielles
2. Approximations lin´eaires
3. Difff´erentielle
4. Difff´erentiabilit´e
5. D´erivation en chaˆıne
6. D´eriv´ee directionnelle
7. D´eveloppement de Taylor pour les fonctions de plusieurs
variablesMTH1101: Calcul I12/49
1/72/73/74/75/76/77/7
Approximation lin´eaire
Motivation :Approximer, en un point, une fonction quelconque par une autre plus simple telle une droite ou un plan (la possibilit´e de faire ceci sera discut´ee lors de la d´eifinition de la difff ´erentiabilit´e Une approximation lin´eaire (aiÌifiÌine) est une fonction de la formeL(x,y) =ax+by+c
G´eom´etriquement cela signiifie que :
f(x)sera approxim´ee par une droite :f(x)≃ax+b Pour trouver cette approximation, il est n´ecessaire de faire appel augradientMTH1101: Calcul I13/491/72/73/74/75/76/77/7
Gradient
Legradientest le vecteur des d´eriv´ees partielles : ∇f(x) =∂f∂x1(x),∂f∂x
2(x),...,∂f∂x
n(x) Pour une fonctionf(x,y,z), en un pointx0= (x0,y0,z0), on note ∇f(x0) =∂f∂x (x0)⃗i+∂f∂y (x0)⃗j+∂f∂z (x0)⃗k Le gradient est un vecteur qui est perpendiculaire `a une courbe de niveauf(x,y) =cou `a une surface de niveau f(x,y,z) =cMTH1101: Calcul I14/491/72/73/74/75/76/77/7
Vecteur normal `a une surface
Pour obtenir un vecteur normal-→N`a une courbe ou une surface de niveau, en un pointx0, il suiÌifiÌit de prendre -→N(x0) =±∇f(x0)Exemple 4 :Donner un vecteur normal `a la surface
z=g(x,y) =x2+y2(cˆone parabolique) au pointx0= (0,0,0)MTH1101: Calcul I15/491/72/73/74/75/76/77/7
Plan tangent `a une surface (1/3)
On cherche l'´equation du plan tangent `a une surfacez=f(x,y) au point de contactp0= (x0,y0,z0) = (x0,z0)∈R3entre le plan et la surface. Soitp= (x,y,z)∈R3un point appartenant au plan tangentPosonsF(x,y,z) =z-f(x,y). La surface de niveau
F(x,y,z) = 0correspond `a la surfacez=f(x,y)
Comme∇F(x0,z0)est orthogonal au vecteur--→p0p, alors le produit scalaire entre ces vecteurs est nul :1/72/73/74/75/76/77/7
Plan tangent `a une surface (2/3)
Le produit scalaire
devient ∂F(x0,z0)∂x ∂F(x0,z0)∂y ∂F(x0,z0)∂z x-x0 y-y0 z-z0 = 0 qui donne l'´equation du plan tangent `a la surface : ∂F(x0,z0)∂x (x-x0)+∂F(x0,z0)∂y (y-y0)+∂F(x0,z0)∂z (z-z0) = 0MTH1101: Calcul I17/491/72/73/74/75/76/77/7
Plan tangent `a une surface (3/3)
∂F(x0,z0)∂x (x-x0) +∂F(x0,z0)∂y (y-y0) +∂F(x0,z0)∂z (z-z0) = 0CommeF(x,y,z) =z-f(x,y), on a :
∂F(x0,z0)∂x =-∂f(x0)∂x ,∂F(x0,z0)∂y =-∂f(x0)∂yquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dérivation en chaine plusieurs variables
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