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ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Année 2014/2015

Chapitre 13 :

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES :

CALCUL DIFFÉRENTIEL

1 Objets du calcul di?érentiel du premier ordre 2

1.1 Dérivées partielles et gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Dérivées directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Fonctions de classeC15

2.1 Dé?nition et théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Théorèmes opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Calcul di?érentiel du second ordre 7

3.1 Dérivées partielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.2 Fonctions de classeC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.3 Étude locale d"une fonction de classeC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2 - Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Dans tout le chapitre et sauf mention explicite du contraire, les fonctions considérées sont dé?nies sur un

ouvert deRnet à valeurs dansR. On reprend les notations du chapitre précédent.

1. Objets du calcul di?érentiel du premier ordreOn considère dans ce paragraphe un ouvertUnon vide deRn, un point A= (a1;:::;an)2 Uainsi qu"une

fonctionf:U !R;(x1;:::;xn)7!f(x1;:::;xn).

1.1 Dérivées partielles et gradient

Pourj2J1;nK, on dé?nit l"ensemble

U

A;j=fx2R: (a1;:::;aj1;x;aj+1;:::;an)2 Ug;

qui est un ouvert deRcontenantajpuisqueUest ouvert. On dé?nit alors laj-ième fonction partielle de

fau point A : f

Il s"agit de la fonction obtenue en ?xant toutes les composantes de X= (x1;:::;xn)égales à celles de A

sauf laj-ième qu"on laisse varier. On obtient ainsi une fonction d"une variable, ce qui permet de donner la

dé?nition suivante.

Définition 1.1Soit j2J1;nK. On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à la variable xjau point

Alorsque la fonction partielle fA;jest dérivable en aj. Dans ces conditions, on appelledérivée partiellede f

par rapport à la j-ième variable x jau pointA, et l"on note@jf(A)ou@f@xj(A), le réel dé?ni par : jf(A) =@f@xj(A) =f0A;j(aj) =limt!0t6=0f(a1;:::;aj1;aj+t;aj+1;:::;an)f(a1;:::;aj1;aj;aj+1;:::;an)t

Remarque 1.2Seule la notation@jfest au programme. Elle présente, comme la notation@f@xj, des avantages

et des inconvénients :

l"utilisation de la notation@jfsuppose que les variables defsont ordonnées, ce qui est le cas si on les

notex1;:::;xn, mais est moins évident si on les appellea,xet...

la notation@f@xjsous-entend que le point générique deUest noté(x1;:::;xn); si l"on dé?nit plutôtfpar

une formule du typef(y1;:::;yn) =, alors ses dérivées partielles seront notées@f@yj, 16j6n.

Il est donc intéressant de savoir manipuler les deux. Pour des fonctions dé?nies sur un ouvert deR2ou de

R

3, il est d"usage de noter (par défaut) les variablesx,yet éventuellementz, et donc les dérivées partielles

1f=@f@x,@2f=@f@y, et éventuellement@3f=@f@z.

f: (x;y)2R27!8 :sinx3ln(1+y2)x

2+y2si(x;y)6= (0;0)

0 si(x;y) = (0;0):

Définition1.4Sif admetenAdesdérivéespartiellesparrapportàtouteslesvariablesx1;:::;xn,onappelle

gradientde f enA, et l"on noterf(A), le vecteur deRndé?ni par la formule : rf(A) =@1f(A);@2f(A);:::;@nf(A): Exemple 1.5Déterminer le gradient de la fonctionf:X2Rn7! kXk2en tout point A2Rn.

1.2 Dérivées directionnelles

Soit V un vecteur non nul deRn. On a vu dans le chapitre précédent que la droiteDA;Vpassant par le point

Année 2014/2015 Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel - 3 A et dirigée par le vecteur V est paramétrée par l"applicationt2R7!A+tV. la fonctionfonction partiellet7!f(A+tV)au voisinage de 0. CommeUest ouvert, l"ensemble de dé?nition de la fonction partielle précédente contient un intervalle de la forme[";"]," >0.

Définition 1.6On dit que la fonction f admet unedérivée directionnelleenAselon le vecteurVsi la

fonction partielle t7!f(A+tV)est dérivable en0, i.e. si la limite ci-dessous existe et est ?nie : lim t!0t6=0f(A+tV)f(A)t on la note alors@Vf(A):

Vf(A) =limt!0t6=0f(A+tV)f(A)t

=ddtf(A+tV)t=0:

Remarque 1.7La notion de dérivée directionnelle est plus générale que celle de dérivée partielle. En e?et,

la notion de dérivée partielle par rapport à la variablexjcoïncide avec celle de dérivée directionnelle dans

la direction duj-ième vecteur Ejde la base canonique :@jf(A) =@Ejf(A).

Remarque 1.8 (Interprétation géométrique d"une dérivée directionnelle)Pour les besoins du dessin, on consi-

dère l"exemple d"une fonctionf:U !Rdé?nie sur un ouvertUdeR2et à valeurs réelles. Lorsqu"elle

existe, la dérivée directionnelle@Vf(A)admet l"interprétation géométrique suivante.

On considère le graphede la fonctionf, qui est une surface dans l"espace. Le plan verticalPpassant

par le point A et contenant le vecteur V rencontreUselon une portion ouverte de droite et le graphe

de la fonctionfselon une courbe. Dans ces conditions, le réel@Vf(A)est égal à la pente de la tangente

àau point A dans le planP.xAzyUf(A)VATrace deUz=0z=f(A)@

Vf(A)Trace dePP

Exemple 1.9Soient A un point deRndistinct de l"origine, extrémité d"un vecteur V, et W un vecteur non

nul orthogonal à V. Déterminer les dérivées de la fonctionf:X2Rn7! kXk2au point A dans les

directions V et W.

4 - Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

1.3 Développement limité

Définition 1.10On dit que f admet undéveloppement limitédu premier ordre au pointAs"il existe des

réelset1;:::;nainsi qu"une fonction"dé?nie sur une partie deRnet à valeurs dansRtels que, pour

toutX2 Uvoisin deA: f(X) =+1(x1a1) ++n(xnan) +kXAk"(XA) et : limH!0"(H) =0: Remarque 1.11Dans les conditions précédentes, on note : f(X) =+1(x1a1) ++n(xnan) +o(kXAk);X!A:

Proposition 1.12Si f admet un développement limité du premier ordre enA, alors elle est continue enA,

admet en ce point des dérivées partielles par rapport à chaque variable et l"on a : f(X) =f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj) +o(kXAk);X!A; c"est-à-dire : f(X) =f(A) +hrf(A);XAi+o(kXAk);X!A: Exemple 1.13Montrer que la fonctionf:X7! kXk2admet en tout point A2Rnun développement limité du premier ordre que l"on déterminera. Remarque 1.14Dans ces conditions, l"application a?ne ':X= (x1;:::;xn)7!f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj) =f(A) +hrf(A);XAi est appeléeapplication a?ne tangenteoumeilleure approximation a?nedefau voisinage de A.

Son graphe, l"hyperplan deRn+1d"équation

y=f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj); est appeléhyperplan tangentau graphe defau point A.z=f(x;y)z='(x;y)Azxyf(A) Année 2014/2015 Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel - 5

Corollaire 1.15Si f admet un développement limité du premier ordre enA, alors elle admet en ce point une

dérivée directionnelle selon toute directionV2Rnn f0gdonnée par :

Vf(A) =hrf(A);Vi:

Si de plusVest unitaire, alorsj@Vf(A)j6krf(A)k. De plus, l"égalité@Vf(A) =krf(A)kest réalisée si, et

seulement si,Vest colinéaire et de même sens àrf(A).

Remarque 1.16Ainsi le gradientrf(A)indique la direction de plus forte croissance. Pour la culture, on

pourra également retenir que la dérivée directionnelle defsuivant une direction tangente à une courbe

de niveau est nulle; autrement dit d"après le corollaire précédent, le gradient est orthogonal aux lignes de

niveau.

2. Fonctions de classeC1Dans ce paragraphe, on considère un ouvertUnon vide deRn.

2.1 Dé?nition et théorème fondamental

Définition 2.1SoitVun vecteur non nul deRn.

On dit qu"une fonction f:U !Radmet unedérivée directionnellesurUsuivant le vecteurVsi f

admet une dérivée directionnelle@Vf(A)en tout pointA2 Usuivant le vecteurV. On appelle alors dérivée

directionnelle de f surUsuivant le vecteurVla fonction

Vf:U !R;A7!@Vf(A):

Cette dé?nition s"applique en particulier lorsqueVest un des vecteurs de la base canonique; elle donne alors

un sens à la notion de dérivée partielle de f surU.

Remarque 2.2Attention! Les dérivées directionnelles (donc en particulier les dérivées partielles) sont ob-

tenues par dérivation de fonctions d"une seule variable, mais ce sont des fonctions de plusieurs variables,

et leur continuité sur un ouvertUdeRns"entend bien sûr en ce sens. Définition 2.3On dit qu"une fonction f:U !Restde classeC1surUsi elle admet des dérivées partielles@1f;:::;@nf surUet si ces dérivées partielles sont continues surU.

Exemple 2.4Soit

f:R2!R;(x;y)7!x2y2ln(x2+y2)si(x;y)6= (0;0)

0 sinon:

Montrer quefest de classeC1surR2.

On admet le théorème suivant.

Théorème 2.5Soit f:U !Rune fonction de classeC1.

La fonction f est continue surUet admet en tout pointA2 Uun développement limité du premier ordre :

f(X) =f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj) +o(kXAk) =f(A) +hrf(A);XAi+o(kXAk);X!A; que l"on peut aussi écrire, en posantH=XA, qui tend vers0lorsqueX!A, sous la forme : f(A+H) =f(A) +nP j=1@ jf(A)hj+o(kHk) =f(A) +hrf(A);Hi+o(kHk);H!0:

6 - Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

2.2 Théorèmes opératoires

La formulation choisie pour les théorèmes opératoires ci-dessous fait intervenir le gradient. On en déduit

sans peine des formules donnant les dérivées partielles et directionnelles des fonctions considérées.

Proposition 2.6Soient f;g:U !Rdeux fonctions de classeC1. (i)

Pour 2R, la fonctionf+g est de classeC1avec :

8A2 U;r(f+g)(A) = rf(A) +rg(A):

(ii)

La fonction fg est de classe C1avec :

8A2 U;r(fg)(A) =f(A) rg(A) +g(A) rf(A):

(iii) Si f ne s"annule pas sur U, alors1=f est de classeC1avec :

8A2 U;r1f

(A) =1f(A)2 rf(A): Corollaire 2.7Toute fonction polynomiale surRnest de classeC1. Proposition 2.8Soient deux fonctions f:U !Rde classeC1sur un ouvertUdeRnet':I!Rde classeC1sur un intervalleIdeR. On suppose que f(U)I.

La fonction'f est de classeC1surUavec :

8A2 U;r('f)(A) ='0f(A) rf(A):

Exemple 2.9Soientf:Rn!Rune fonction de classeC1etk2N. Exprimerrfk(A)pour A2Rn. Théorème 2.10Soient f:U !Rune fonction de classeC1sur un ouvertUdeRnet

1;:::;

n:I!R des fonctions de classeC1sur un intervalleIdeR. On dé?nit la fonction :I!Rn;t7! (t) =

1(t);:::;

n(t) et on suppose que (I) U.

La fonction

f :I!R;t7!f

1(t);:::;

n(t) est de classeC1surIavec :

8t2I;(f

)0(t) =nP j=1

0j(t)@jf

(t)= rf (t); 0(t) où l"on a noté

0(t) =

01(t);:::;

0n(t).

Exemple 2.11Soitf:R3!R;(x;y;z)7!f(x;y;z)une fonction de classeC1surR3. Montrer que la

fonctiont2R7!f(t2;1;sint)estde classeC1etexprimer sadérivée enfonctiondes dérivéespartielles

def. Remarque 2.12Sif:U !Rest une fonction de classeC1, A un point deUet V un vecteur non nul de R n, la fonction partielleu:t7!f(A+tV)est de classeC1sur un voisinage[";"]de 0 (pour un certain " >0) avec :

8t2[";"];u0(t) =hrf(A+tV);Vi:

On retrouve en particulier, pourt=0, la dérivée directionnelle def:u0(0) =@Vf(A) =hrf(A);Vi.

Ilrésultealorsduthéorèmefondamentalducalculdi?érentieletintégralque,pourdeuxpointsA;B2 U

tels que[A;B] U, on a : f(B) =f(A) + 1 0 rfA+t(BA);BAdt: Année 2014/2015 Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel - 7

3. Calcul di?érentiel du second ordre

Dans ce paragraphe, on considère un ouvertUnon vide deRn.

3.1 Dérivées partielles secondes

Définition 3.1Soient f:U !Rune fonction etAun point deU.

Étant donnés deux entiers i;j2J1;nK, on dit que f au pointAadmet unedérivée partielle secondepar

rapport aux variables x jpuis xisi elle admet au voisinage deAune dérivée partielle@jf=@f@xjqui admet à son tour une dérivée partielle par rapport à la variable x iau pointA. On la note alors

2i;jf(A) =@i(@jf)(A)ou@2f@xi@xj(A) =@@xi

@f@xj (A) et, lorsque i=j,

2if(A) =@i(@if)(A)ou@2f@x2j(A) =@@xj

@f@xj (A): Exemple 3.2Dérivées partielles secondes de la fonction(x;y)7!xy2+ex2.

Remarque 3.3Comme au premier ordre, on dit quefadmet une dérivée partielle seconde@2i;jfsurUsi elle

enadmetuneenchaquepointdeU.Onconsidèrealorsladérivéepartielleseconde@2i;jf:A2 U 7!@2i;jf(A) comme une fonction dé?nie surU.

3.2 Fonctions de classeC2

Définition 3.4Une fonction f:U !Rest ditede classeC2si toutes ses dérivées partielles secondes

existent et sont continues surU. Proposition 3.5Soient f;g:U !Rdeux fonctions de classeC2. (i)

Pour 2R, la fonctionf+g est de classeC2;

(ii) la fonction fg est de classe C2; (iii) si f ne s"annule pas sur U, alors1=f est de classeC2. Corollaire 3.6Toute fonction polynomiale surRnest de classeC2. Proposition 3.7Soient deux fonctions f:U !Rde classeC2sur un ouvertUdeRnet':I!Rde classeC2sur un intervalleIdeR. On suppose que f(U)I.

La fonction'f est de classeC2surU.

On admet le théorème suivant.

Théorème 3.8 (Schwarz)Pour une fonction f:U !Rde classeC2, on a :

8i;j2J1;nK; @2i;jf=@2j;if:

Définition 3.9Soient f:U !Rune fonction de classeC2etAun point deU. On appellehessiennede f enA, et on noter2f(A)our2fA, la matrice carrée r

2f(A) =@2i;jf(A)

16i;j6n2Mn(R):

Remarques 3.10Il résulte du théorème de Schwarz que la hessienne defen A est une matrice symé-

trique. On note souventqA(la notation est imparfaite puisqu"elle ne fait pas intervenirf) la forme qua-

dratique deRnqui lui est canoniquement associée : en identi?ant vecteurs deRnet matrices colonnes

8 - Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

deMn;1(R),

8X= (x1;:::;xn)2Rn;qA(X) =tXr2f(A)X=P

16i;j6n@2i;jf(A)xixj:

Dans le casn=2, on utilise traditionnellement les notations suivantes, attribuées à Monge : r=@21;1(A);s=@21;2f(A)ett=@22;2f(A): Ainsi r

2f(A) =r s

s t et :

8(x;y)2R2;qA(x;y) =rx2+2sxy+ty2:

Exemple 3.11Déterminer la matrice hessienne de la fonction X2Rn7! kXk2.

3.3 Étude locale d"une fonction de classeC2

Dans toute la section,fdésigne une fonction de classeC2surUet à valeurs réelles. Pour tout A2 U, on

noteqAla forme quadratique canoniquement associée à la hessienner2f(A). Proposition 3.12SoientA2 UetVun vecteur non nul deRn.

La fonction d"une variable réelle t7!f(A+tV)admet une dérivée seconde à l"origine appeléedérivée

directionnelle secondede f enAdans la directionV, notée@2Vf(A)et égale à@2Vf(A) =qA(V).

Théorème 3.13SoitA2 Udonné.

Il existe une fonction"dé?nie sur une partie deRnet à valeurs dansRtelle que, pour toutX2 Uvoisin de

A: f(X) =f(A) +hrf(A);XAi+12 qA(XA) +kXAk2"(XA) et : limH!0"(H) =0: Remarque 3.14On dit quefadmet undéveloppement limitédu second ordre en A et on note : f(X) =f(A) +hrf(A);XAi+12 qA(XA) +o(kXAk2) =f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj) +12 P

16i;j6n@2i;jf(A)(xiai)(xjaj) +o(kXAk2);X!A

ou, de façon équivalente : f(A+H) =f(A) +hrf(A);Hi+12 qA(H) +o(kHk2) =f(A) +nP j=1@ jf(A)hj+12 P

16i;j6n@2i;jf(A)hihj+o(kHk2);H!0:

Exemple 3.15Développement limité à l"ordre 2 en A= (0;1)de la fonction de l"exemple 3.2.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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