[PDF] T ES Fonction exponentielle





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Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Formulaire

Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I. un+1 n + 1(n ? N?). • Une primitive de u? u2sur I est ?. 1 u.



Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée n ? N? ... (u v. ) = u v ? uv v2. Dérivée de la puissance. (un) = nu un?1.





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ñ y = exp(x) ñ ln y = ln ( exp x) ( composition par la fonction ln ) ñ Elle est sa propre dérivée ce qui signifie que



Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

N f (x) = 1 xn = x–n (n??) f ' (x) = – n xn 1 = –nx–n–1. ]0; +?[. ] Dérivées. Conditions f = u + v f ' = u' + v' u et v dérivables sur un intervalle I.



Chapitre 4 Formules de Taylor

un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la n. ? k=0 hk k! f(k)(x0) + hn?(h) o`u ?(h) est une fonction qui tend vers 0 ...



formulaire.pdf

Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles. R`egles de dérivation. Exemples n xn+1. (1 u )? = ? u? u2. (u v )? = u?v?uv?.



Démonstrations de formules de dérivation

Ce résultat se démontre à l'aide d'un raisonnement par récurrence. Posons P(n) : f =un est dérivable sur D et f '=n×u'×un?1. Initialisation : f =u1.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Les notions de dérivée `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per- mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) 



DERIVEES I) Calcul de la fonction dérivée II) Application de la

la fonction puissance de u un où n?1 est dérivable sur I ;. 1. )( ?. ×?. =? n n uun u si de plus u est strictement positive sur I





[PDF] Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles

Dérivées des fonctions usuelles Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I f (x) I f? (x) ? (constante) R 0 x R 1 xn (n 



[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée n ? N? Dérivée de la puissance (un) = nu un?1 Dérivée de la racine (? u) = u



[PDF] Tableaux des dérivées

Dérivées des fonctions usuelles Notes Fonction f Fonction dérivée f ' Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0 ? 1 U



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe 



[PDF] Dérivation des fonctions

Dérivation d'ordre supérieur Dérivées successives Classe Cn Opérations 4 Convexité d'une fonction Fonctions convexes Point d'inflexion 5 Compléments



dérivée dune fonction de la forme u^n - Homeomath

si f = un et n est un entier relatif négatif la fonction f est dérivable sur les intervalles ou u est dérivable et non nulle Démonstration : La fonction f = u 



[PDF] LA DÉRIVÉE

Lorsqu'une fonction n'est pas linéaire sa pente peut varier d'un point à l'autre Il nous faut donc introduire la notion de dérivée qui permet d'obtenir la 



[PDF] Dérivée dune fonction - Exo7 - Cours de mathématiques

Le tableau de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant) u représente une fonction x ? u(x) Fonction Dérivée xn nxn?1 (n ? Z) 1 x

  • Quelle est la dérivée de u puissance n ?

    (un)' = nu'un-1
    si f = un et n est un entier naturel, la fonction f est dérivable sur les intervalles ou u est dérivable. si f = un et n est un entier relatif négatif, la fonction f est dérivable sur les intervalles ou u est dérivable et non nulle.

  • Comment dériver une fonction puissance ?

    Pour dériver x à une certaine puissance, on écrit l'exposant devant, on reproduit x avec l'exposant diminué de 1. La dérivée d'un nombre vaut 0. Pour dériver une expression du type "un nombre fois une fonction", on garde le nombre et on dérive la fonction.

  • Comment dériver u * V * W ?

    Rappels : la dérivée d'un produit de deux fonctions u(x)×v(x) u ( x ) × v ( x ) est u?(x)v(x)+u(x)v?(x) u ? ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ? ( x ) et la dérivée d'une inverse de v(x) est ?v?(x)v(x)2 ? v ? ( x ) v ( x ) 2 dans la mesure où v(x) n'est pas nul.
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FFoonnccttiioonn eexxppoonneennttiieellllee

I. Définition de la fonction exponentielle

1) Définition

Le fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) .

Exemples :

ln 1 = 0 ln e = 1 ln e3 = 3 ln en = n ñ 1 = exp(0) ñ e = exp(1) ñ e3 = exp(3) ñ en = exp(n)

Pour tout réel x, on pose : exp(x) = ex.

Selon les cas, pour une bonne lisibilité, on utilise soit la notation exp(x) , soit ex.

2) Propriétés

Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) . Pour tout réel x , ex > 0, c'est-à-GLUH O·H[SRQHQPLHOOH HVP PRXÓRXUV SRVitive. Pour tout réel x , ln ( exp(x)) = x ( ou ln ( ex ) = x )

Car car x = ln y ñ y = exp(x)

ñ ln y = ln ( exp x) ( composition par la fonction ln )

ñ x = ln ( exp x)

Pour tout réel x strictement positif, exp ( ln x ) = x Car ln ( e ln x OQ [ 3URSULpPp SUpŃpGHQPH HQ O·MSSOLTXMQP j OQ [ ñ e ln x = x e0 = 1 Pour tous réels a et b, ea = eb équivaut à a = b.

3) Propriétés

Les propriétés suivantes se déduisent de celles du logarithme népérien.

Pour tous réels a et b, et tout naturel n :

ea+b = ea eb car ln (ea+b) = a+b ln ( ea eb) = ln ea + ln eb = a + b

On a donc ln (ea+b) = ln ( ea

eb) et donc ea+b = ea eb ba b a ee e b b e 1e (ea)n = ena

Exemples :

e3,5 e1,5 = e3,5+1,5 = e5 e3 + ln2 = e3 . eln2 = 2 e3

II. Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur Ë et prend ses valeurs dans ]0 ; +õ[.

1) Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x H[S·[ H[S [

Si f(x) = ex MORUV I·[ Hx.

Dem :

ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1.

LOQ H[S [ @·

)xexp( ))'x(exp( )xexp( ))'x(exp( = 1

G·RZ H[S·[ H[S[B

Exemple :

f(x) = x2 ex MORUV I·[ 2[Hx + x2 ex.

2) Limites en +õ et en -õ

x xelim x elim x x

Dem : comparaison de ex et x.

h(x) = ex ² x

O·[ Hx ² 1

h est croissante sur ]0 ; +õ[ h(0) = 1, donc h(x) >0 ex ² x > 0 ex > x puis comparaison des limites Dem : )eln( e x e x xx x xelim 0X

Xlnlim

X G·RZ 0e )eln(limx x x

3MU O·LQYHUVH RQ M :

)eln( elimx x x et x elim x x x xelim = 0 x xxelim = 0 Dem : x x e 1e Dem : x x e xxe

3) Variation de la fonction exponentielle

x

0 1 +

( exS [ · + ex e 1 0

4) Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction

MGPHP SRXU MV\PSPRPH O·M[H [[· HQ -õ.

III. ([SRQHQPLHOOH G·XQH IRQŃPLRQ

1) Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur Ë.

(eu· X· Hu.

Exemple :

f(x) = e2x g(x) = 2xe

2) Limites de eu

Si )x(ulim ax = + õ, alors )x(u axelim Si )x(ulim ax = - õ, alors )x(u axelim = 0.

Exemple :

x xelim = 0, car )x(lim x

3) Primitives

Les primitives de la fonction exponentielle sont les fonctions F telles que F(x) = ex + k.

8QH SULPLPLYH GH OM IRQŃPLRQ TXL V·pŃULP X· Hu est la fonction eu.

Exemple :

f(x) = 3 e3x-5

IV. Exponentielle de base a

1) Définition

Soit a un réel strictement positif.

La fonction exponentielle de base a est la fonction f définie sur Ë, par f(x) = ax = ee ln a

Pour tout réel x, ax > 0.

En particulier :

Si a = 2 : 2x = ex ln 2.

Si a = 10 : 10x = ex ln 10

Si a = e : on retrouve la fonction exponentielle déjà étudiée.

2) Dérivée et variation

G·MSUqV OH POpRUqme de dérivation des fonctions composées, puisque f(x) = ex ln a I· HVP PHOOH

TXHIquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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