[PDF] Démonstrations de formules de dérivation





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Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Formulaire

Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I. un+1 n + 1(n ? N?). • Une primitive de u? u2sur I est ?. 1 u.



Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée n ? N? ... (u v. ) = u v ? uv v2. Dérivée de la puissance. (un) = nu un?1.





T ES Fonction exponentielle

ñ y = exp(x) ñ ln y = ln ( exp x) ( composition par la fonction ln ) ñ Elle est sa propre dérivée ce qui signifie que



Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

N f (x) = 1 xn = x–n (n??) f ' (x) = – n xn 1 = –nx–n–1. ]0; +?[. ] Dérivées. Conditions f = u + v f ' = u' + v' u et v dérivables sur un intervalle I.



Chapitre 4 Formules de Taylor

un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la n. ? k=0 hk k! f(k)(x0) + hn?(h) o`u ?(h) est une fonction qui tend vers 0 ...



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Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles. R`egles de dérivation. Exemples n xn+1. (1 u )? = ? u? u2. (u v )? = u?v?uv?.



Démonstrations de formules de dérivation

Ce résultat se démontre à l'aide d'un raisonnement par récurrence. Posons P(n) : f =un est dérivable sur D et f '=n×u'×un?1. Initialisation : f =u1.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Les notions de dérivée `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per- mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) 



DERIVEES I) Calcul de la fonction dérivée II) Application de la

la fonction puissance de u un où n?1 est dérivable sur I ;. 1. )( ?. ×?. =? n n uun u si de plus u est strictement positive sur I





[PDF] Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles

Dérivées des fonctions usuelles Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I f (x) I f? (x) ? (constante) R 0 x R 1 xn (n 



[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée n ? N? Dérivée de la puissance (un) = nu un?1 Dérivée de la racine (? u) = u



[PDF] Tableaux des dérivées

Dérivées des fonctions usuelles Notes Fonction f Fonction dérivée f ' Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0 ? 1 U



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe 



[PDF] Dérivation des fonctions

Dérivation d'ordre supérieur Dérivées successives Classe Cn Opérations 4 Convexité d'une fonction Fonctions convexes Point d'inflexion 5 Compléments



dérivée dune fonction de la forme u^n - Homeomath

si f = un et n est un entier relatif négatif la fonction f est dérivable sur les intervalles ou u est dérivable et non nulle Démonstration : La fonction f = u 



[PDF] LA DÉRIVÉE

Lorsqu'une fonction n'est pas linéaire sa pente peut varier d'un point à l'autre Il nous faut donc introduire la notion de dérivée qui permet d'obtenir la 



[PDF] Dérivée dune fonction - Exo7 - Cours de mathématiques

Le tableau de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant) u représente une fonction x ? u(x) Fonction Dérivée xn nxn?1 (n ? Z) 1 x

  • Quelle est la dérivée de u puissance n ?

    (un)' = nu'un-1
    si f = un et n est un entier naturel, la fonction f est dérivable sur les intervalles ou u est dérivable. si f = un et n est un entier relatif négatif, la fonction f est dérivable sur les intervalles ou u est dérivable et non nulle.

  • Comment dériver une fonction puissance ?

    Pour dériver x à une certaine puissance, on écrit l'exposant devant, on reproduit x avec l'exposant diminué de 1. La dérivée d'un nombre vaut 0. Pour dériver une expression du type "un nombre fois une fonction", on garde le nombre et on dérive la fonction.

  • Comment dériver u * V * W ?

    Rappels : la dérivée d'un produit de deux fonctions u(x)×v(x) u ( x ) × v ( x ) est u?(x)v(x)+u(x)v?(x) u ? ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ? ( x ) et la dérivée d'une inverse de v(x) est ?v?(x)v(x)2 ? v ? ( x ) v ( x ) 2 dans la mesure où v(x) n'est pas nul.
Démonstrations de formules de dérivation

Démonstrations de formules de dérivation

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur une partie D de ℝ, alors la fonction x0 un réel de D et h un réel non nul tel que x0+h soit dans D . f(x0+h)-f(x0) h=1 h limh→0 1 u(x0+h)-u(x0) h=u'(x0)

Donclimh→0

f(x0+h)-f(x0) h=u'(x0) alors pour tout entier naturel n non nul , f=un est dérivable sur D et pour tout x de D ,

f'(x)=n×u'(x)×un-1(x)Ce résultat se démontre à l'aide d'un raisonnement par récurrence

Posons P(n) : f=un est dérivable sur D et f'=n×u'×un-1 Initialisation : f=u1=u est dérivable sur D et f'=u' donc P(1) est vraie

Hérédité :

Supposons que P(n) est vraie pour un certain entier n

Soit f=un+1=un×u . f est un produit de deux fonctions dérivables sur D, donc f est dérivable

sur D et si on applique la formule du produit on obtient : f'=

Conclusion :

D'après le principe de récurrence,

pour tout entier naturel n non nul , f=un est dérivable sur D et f'=n×u'×un-1 Soit u une fonction dérivable et non nul sur une partie D de ℝ alors pour tout entier naturel n non nul ,f=1 un=u-n est dérivable sur D et pour tout x de D , f' (x)=-n×u'(x)un+1 (x)Ce résultat se démontre à l'aide d'un raisonnement par récurrence Posons P(n) : f=u-n est dérivable sur D et f'=-n×u' un+1

Initialisation :

f=u-1=1 u est dérivable sur D et f'=-u' u2 donc P(1) est vraie

Hérédité :

Supposons que P(n) est vraie pour un certain entier n Soit f=u-(n+1)=u-n×u-1 . f est un produit de deux fonctions dérivables sur D, donc f est dérivable sur D et si on applique la formule du produit on obtient : f'= (u-n)'×u-1 + u-n×(-u' u2)=-n×u' un+1×1 u -u' un+2=-(n+1)×u' un+2

Conclusion :

D'après le principe de récurrence,

pour tout entier naturel n non nul , f=u-n est dérivable sur D et f'=-n×u' un+1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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