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CHAPITRE3Dérivées

et primitives

Sommaire

Partie A (s1)2

1 Rappels de première. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Nombre dérivé2

1.2 Tableaux des dérivées3

1.3 Lien avec le sens de variation4

2 Compléments : dérivées composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Fonctionx→un(x)5

2.2 Fonctionsx→ln(u(x)) etx→eu(x)5

Partie B (s6)6

3 Primitives d"une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Primitives, késako?6

3.2 Primitives des fonctions de référence7

3.3 Opérations sur les primitives7

Ch.03Dérivées et primitivesTaleSTI2D

Partie A (s1)

Leibniz 1646-1717Dès l"antiquité, les Grecs s"intéressent à la détermination des tan- gentes à des courbes. AinsiArchimède(-287;-212) Propose une construction de la tangente en un point d"une spirale. Près de deux mille ans plus tard, le mathématicien et physicien fran- çaisGilles Personne de Roberval(1602-1675) utilise la composi- tion des vitesses pour aboutir au même résultat. C"est le début du calcul différentiel développé séparément et diffé- remment par les philosophes et mathématiciens allemandGottfried

Wilhem Von Leibnizet anglaisIsaac Newton.

Newton 1643-1727

1Rappels de première

1.1Nombre dérivé

Soitfune fonction numérique, définie sur un intervalleI. On dit quefestdérivableen un pointx0deIsi la quantité f(x0+h)-f(x0) h. admet une limite finie quandhtend vars 0. Cette limite est appeléenombre dérivéenx0et notéef?(x0).

Définition 1.

La notationf?(x)est

due au mathématicien

Français Lagrange

(1736-1813).

Les physiciens

privilégient la notation de Leibniz :dy dx.

Interprétation graphique :

Lorsquehse rapproche de 0, le

pointMse rapproche du pointA.

Ainsi, la droite (AM) se rapproche

de la tangenteTau pointA f ?(a) correspond au coefficient di- recteur de la tangenteTau point d"abscissea. ?A af(a)? M a+hf(a+h) T

En physique, la

vitessev(t)en un point de datetest le nombre dérivé de la fonctionx=f(t).

On note

v(t) =f?(t) =dx dt. Voir animation GéoGébra " Nombre_derive » http://mathematiques.daval.free.fr 2/7 Lycée Georges Brassens

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1.2Tableaux des dérivées

Soitfune fonction dérivable en tout pointxd"un intervalleI, alors la fonction qui àxassocief?(x) est appeléfonction dérivéedefsurI.

Définition 2.

Pour obtenir les formules des dérivées, on utilise la définition du nombre dérivé :

Exemple 3

Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

f(x+h)-f(x) h=(x+h)2-x2h=??x2+ 2xh+h2-??x2h=?h(2x+h)?h= 2x+h.

•donc,f?(x) = limh→0(2x+h) = 2x.

On obtient le tableau de dérivation suivant :

FonctionfFonctionf?Intervalle I

k0R ax+b aR xnnxn-1R, avecn?N? 1 x-1x2R? sin(x) cos(x)R cos(x)-sin(x)R sin(ωt+?)ωcos(ωt+?)R cos(ωt+?)-ωsin(ωt+?)R

En prenantω= 1et

?= 0, on retrouve les formules précédentes.

Exemple 4

•sif(x) =π, alorsf?(x) = 0;

•sif(x) =x2014, alorsf?(x) = 2014x2013;

•sif(t) = cos(2t-3), alorsf?(x) =-2sin(2t-3).

En prenantu= 1,

on retrouve la formule précédente. Dans le cas de fonctions plus complexes, on a les formules suivantes : uetvsont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalleI.

Opération Fonction Dérivée

Additionu+v u?+v?

Multiplicationk×uaveck?Rk×u?

Produitu×v u?×v+u×v?

Inverse1v-v?v2

Quotientuvu

?×v-u×v?v2 http://mathematiques.daval.free.fr 3/7 Lycée Georges Brassens

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Exemple 5

•f(x) =x3+x+ 3 définie surR.

Formule : (u+v)?=u?+v?avecu(x) =x3etv(x) =x+ 3.

On obtientf?(x) = 3x2+ 1.

•f(x) = 3(x2+ 4) définie surR.

Formule : (ku)?=ku?aveck= 3 etu(x) =x2+ 4.

On obtientf?(x) = 6x.

•f(x) = (-2x+ 3)(5x-3) définie surR.

Formule : (uv)?=u?v+uv?avecu(x) =-2x+ 3 etv(x) = 5x-3.

On obtientf?(x) =-20x+ 21.

•f(x) =1

-3x+ 1définie surR-?13?.

Formule :

?1 v? =-v?v2avecv(x) =-3x+ 1.

On obtientf?(x) =3

(-3x+ 1)2.

•f(x) =3x-4

x2+ 3définie surR.

Formule

?u v? ?=u?v-uv?v2avecu(x) = 3x-4 etv(x) =x2+ 3.

On obtientf?(x) =-3x2+ 8x+ 9

(x2+ 3)2.

On peut utiliser un

logiciel de calcul formel, comme par exemple wxMaxima : diff(1/(-3*x+1),x,1);

1.3Lien avec le sens de variation

On suppose quefest dérivable surI.

•fest croissante surI??f?(x)?0 pour toutx?I.

•fest décroissante surI??f?(x)?0 pour toutx?I.

•fest constante surI??f?(x) = 0 pour toutx?I.

Propriété 6.

Il est donc possible de déterminer les variations d"une fonction à partir du signe de sa dérivée.

Exemple 7

Soitf(x) = 2x3-3x2-12x-1, définie et dérivable surR. Déterminons son sens de variation : •pour tout réelxon af?(x) = 6x2-6x-12 = 6(x2-x-2); •on détermine le signe dex2-x-2 en cherchant ses racines, on trouve-1 et 2; f ?(x) = 6(x+ 1)(x-2) est positive sauf entre ses racines-1 et 2; •on détermine le signe de la dérivée et on en déduit les variations de la fonctionf: x-∞ -1 2 +∞ signe def?(x) + 0-0 +

6 +∞

variations def? ? ? -∞ -21 •fest croissante sur ]- ∞;-1 ] et sur [ 2 ;+∞[ et décroissante sur [-1 ; 2 ]. pour cela, on calcule le discriminant, qui vaut 9, donc positif http://mathematiques.daval.free.fr 4/7 Lycée Georges Brassens

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2Compléments : dérivées composées

2.1Fonctionx→un(x)

On considère un entier relatifnnon nul, une fonctionudérivable sur un intervalle

IdeRetfla fonction définie parf(x) = (u(x))n.

la formule est la même, mais les hypothèses différentes •Sin >0, alorsfest dérivable surI, de dérivéef?(x) =n(u(x))n-1×u?(x). •Sin <0 et si pour toutxdeI,u(x)?= 0 alorsfest dérivable surI, de dérivéef?(x) =n(u(x))n-1×u?(x).

Propriété 8.

Exemple 9

•f(x) = (2x-7)4définie surR.

Formule : (un)?=n×un-1×u?avecu(x) = 2x-7 etn= 4.

On obtientf?(x) = 8(2x-7)3.

•f(x) =1

(x2+ 1)3= (x2+ 1)-3définie surR. Formule : (un)?=n×un-1×u?avecu(x) =x2+ 1 non nul etn=-3.

On obtientf?(x) =-6x×(x2+ 1)-4=-6x

(x2+ 1)4. l"astuce est de transformer la fonction inverse

2.2Fonctionsx→ln(u(x))etx→eu(x)à traiter après les

fonctions logarithme et exponentielle Soituune fonction dérivable sur un intervalleIdeR. •La fonctionf:x→ln(u(x)) est dérivable surIde dérivéef?(x) =u?(x)u(x). •La fonctionf:x→eu(x)est dérivable surIde dérivéef?(x) =u?(x)eu(x).

Propriété 10.

Exemple 11

•f(x) = ln(-2x+ 6) définie sur ]- ∞;3[.

Formule : (lnu)?=u?

uavecu(x) =-2x+ 6.

On obtientf?(x) =--2

-2x+ 6.

•f(x) = e3x+1définie surR.

Formule : (e

u)?=u?euavecu(x) = 3x+ 1.

On obtientf?(x) = 3e3x+1.

Remarque 12

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