Estimation paramétrique
L'estimateur obtenu par la méthode des moments est alors. ˆ?n = 2Xn. Cet estimateur est sans bias et consistant. 2.3 Loi gaussienne. Ici k = 2 on prend ? = (m
Méthode des moments de probabilité pondérés : application à la loi
MOTS-CLÉS : Loi de probabilité - Estimation de paramètres - Méthode des teur % du paramètre k suit asymptotiquement une loi normale de moyenne 0 et de ...
Projet Etienne Marceau Méthodes statistiques en assurance non vie
3.2.1 Estimation des param`etres par la méthode des moments . La fonction de maximum de vraisemblance pour la loi log-normale (µ ?2) s'écrit : ?.
Introduction aux Statistiques de deuxième espèce : applications des
Les méthodes utilisées en statistique pour étudier une distribution de probabilité loi normale ainsi que sur un modèle de bruit bien adapté à ce.
Statistique appliquée
méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance. Si X suit la loi normale standard N(01)
Analyse dImpact Budgétaire de la Prise en Charge de la
Risques relatifs [0 ;?[ : log normale ou loi Gamma. Utilité ]-?;1] : loi Beta ou Normale Méthode des moments;Utilisation de la Loi Normale.
10. Estimation
Estimation de param`etres : deux méthodes : Méthode des moments ... une loi normale d'écart-type ? = 0.10 quelle taille d'échantillon.
La loi normale
3.6 Génération de variables aléatoires normales via la méthode de. Box-Muller . La fonction génératrice des moments d'une loi normale.
Statistique L3 CPES Notes de cours
16 oct. 2021 3.1 Méthode des moments . ... Loi uniforme sur un ensemble fini I. Une variable aléatoire X ? U(I) si X ? I et
EVALUATION DES DIFFERENTES LOIS STATISTIQUES POUR L
Gumbel avec la méthode du maximum de vraisemblance et la loi Log-Normale sont la loi de Gumbel avec les méthodes des moments et des moindres carrés ...
Estimation paramétrique - univ-toulousefr
de maximisant la vraisemblance c’est à dire véri?ant ^= argmax 2 p( ;X): Remarque — L’estimateur de maximum de vraisemblance n’existe pas tou-jours et n’est pas toujours unique Considérons le cas typique où X= (1;:::;X n)0 les X i formant un n-échantillon de loi Q 0 où Q 0 est une loi sur Xde paramètre inconnu 0 2 ˆ Rk
Statistique inferentielle´ Estimation - CNRS
D´e?nitions Estimation de la moyenne et de la variance Methode des moments´ Maximum de Vraisemblance Comparaison EXEMPLES Exemple : la loi uniforme On considere des variables` aleatoires i i d´ X 1;:::;X n suivant une loi uniforme sur 0; 2 avec >0 i e de densit´e f d´e?nie pour tout x 2R par f (x) = 1 2 1 [0; 2](x): Exemple : la loi
TD1 : méthode des moments et maximum de vraisemblance - unicefr
n) un n-échantillon de loi normale centrée en m ? R et de variance ?2 > 0 Les quantités m et ?2 sont supposées inconnues On rappelle que la loi de Y 1 admet la densité suivante sur R : f m?2(x) = 1 ? 2??2 exp ? (x?m)2 2?2 1 Donner un estimateur de m par la méthode des moments Est-il sans biais? Si non modi?er-le
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Université de Caen M1 TD no 8 : Méthode des moments Exercice 1 Soient >0 et Xune var suivant la loi de Bernoulli B 1 +1 i e dont la loi est donnéepar P(X= 0) = +1; P(X= 1) = 1 +1: 1 Déterminerunestimateurde parlaméthodedesmoments 2 Est-cequecetestimateurestconsistant? Est-cequ’ilestasymptotiquementnormal?
A.2 Choix Du Modèle fréquentiel
La validité des résultats d'une analyse fréquentielle dépend du choix du modèle fréquentiel et plus particulièrement de son type. Diverses pistes peuvent contribuer à faciliter ce choix, mais il n'existe malheureusement pas de méthode universelle et infaillible.
A.3 Ajustement Du Modèle fréquentiel
Dans ce chapitre nous étudierons les techniques de l'ajustement ou du calage d'un modèle fréquentiel à une série de données : il s'agit de définir les paramètres de la loi retenue. Nous utiliserons comme support pédagogique la loi de Gumbel, fréquemment utilisée en hydrologie, pour modéliser les événements extrêmes, les pluies notamment.
A.4 Contrôle de L'ajustement
A.4.1 Examen visuel de l'ajustement
Comment calculer la méthode des moments ?
La méthode des moments consiste à trouver une fonction m , continue et inversible, et une fonction (continue) ? telles que m(?) = E[?(X1)] . On sait que cet estimateur est consistant. L'estimateur du maximum de vraisemblance, comme son nom l'indique, maximise la vraisemblance définie comme suit :
Qu'est-ce que la loi normale ?
La loi normale se justifie, théoriquement r par le théorème central-limite, comme la loi d'une variable aléatoire formée de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires.
Comment calculer la loi de ?
Si est une variable aléatoire de loi , la loi de dépend aussi en général de , et il en est de même de son espérance. Mais peut être estimée par la moyenne empirique de . Si s'exprime en fonction de , on en déduira alors un estimateur de . Nous avons déjà utilisé cette technique plusieurs fois dans les deux paragraphes précédents.
Comment exprimer et en fonction de la loi gamma de paramètres et ?
Si suit la loi gamma de paramètres et , son espérance et sa variance valent : On peut donc exprimer et en fonction de et . Si on dispose d'un échantillon de la loi gamma de paramètres et , la moyenne empirique et la variance empirique sont des estimateurs convergents de et respectivement. On en déduit deux estimateurs convergents de et : Lois béta.
L3 MASS 2008-2009
TD1 : méthode des moments et
maximum de vraisemblance Exercice 1:Soit(X1,...,Xn)unn-échantillon de loi de Bernoulli de paramètrep?]0,1[ inconnu.1. Rappeler les définitions d"un "n-échantillon" et d"un "estimateur".
2. Décrire la loi deX1. Quelle est son espérance? Sa variance?
3. Donner un estimateur deppar la méthode des moments.
4. Vérifier que pour toutk? {0,1},
P(X1=k) =pk(1-p)1-k.
En déduire l"estimateurˆpdeppar la méthode du maximum de vraisemblance.5. Calculer le biais et l"erreur quadratique deˆp.
Exercice 2:Nous disposons d"unn-échantillon(T1,...,Tn)de loi de Poisson de paramètreλ >0inconnu. Rappelons que pour toutk?N,
P(X1=k) =e-λλkk!.
1. Rappeler les valeurs deEλ[X1]et de Varλ(X1).
2. Proposer deux estimateursˆλ1etˆλ2deλobtenus par la méthode des moments.
3. Calculer la fonction de vraisemblanceL(T1,...,Tn;λ)associée aux observations.
3. En déduire l"estimateurˆλ3deλpar la méthode du maximum de vraisemblance.
Exercice 3:Considérons(Y1,...,Yn)unn-échantillon de loi normale centrée enm?Ret de varianceσ2>0. Les quantitésmetσ2sont supposées inconnues. On rappelle que la loi deY1admet la densité suivante surR: f m,σ2(x) =1⎷2πσ2exp? -(x-m)22σ2?1. Donner un estimateur dempar la méthode des moments. Est-il sans biais? Si non,
modifier-le pour qu"il le devienne.2. Donner un estimateur deσ2par la méthode des moments centrés. Est-il sans biais? Si
non, modifier-le pour qu"il le devienne.3. Calculer la fonction de vraisemblance associée aux observations. En déduire deux esti-
mateursˆmetˆσ2demetσ2, respectivement, par la méthode du maximum de vraisem- blance.4. Siσ2était connue, l"estimateur demtrouvé à la question précédente aurait-il été le
même?5. Simétait connue, l"estimateur deσ2trouvé à la question précédente aurait-il été le
même?Université de Nice - Sophia Antipolis
L3 MASS 2008-2009
Exercice 4:Soitθ?Rinconnu. Considérons une variable aléatoireXdont la fonction de densité est donnée par ?x?R, f(x) =?e-(x-θ), six > θ ,0, sinon.
1. Vérifier quefest bien une densité de probabilité.
2. Calculer l"espérance et la variance deX.
Donnons-nous maintenant unn-échantillon(X1,...,Xn)de même loi queX.3. Donner deux estimateursˆθ1etˆθ2deθobtenus par la méthode des moments.
4. Quelle est la fonction de vraisemblance associée aux observations? En déduire l"esti-
mateurˆθ3du maximum de vraisemblance deθ.Question subsidiaire :
5. Donner la fonction de répartition deˆθ3(indice :exprimer cette fonction de répartition
en fonction de celle deX1). En déduire la densité deˆθ3et calculer son biais.Université de Nice - Sophia Antipolis
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