[PDF] 10. Estimation Estimation de param`etres : deux





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Estimation paramétrique

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Méthode des moments de probabilité pondérés : application à la loi

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EVALUATION DES DIFFERENTES LOIS STATISTIQUES POUR L

Gumbel avec la méthode du maximum de vraisemblance et la loi Log-Normale sont la loi de Gumbel avec les méthodes des moments et des moindres carrés ...



Estimation paramétrique - univ-toulousefr

de maximisant la vraisemblance c’est à dire véri?ant ^= argmax 2 p( ;X): Remarque — L’estimateur de maximum de vraisemblance n’existe pas tou-jours et n’est pas toujours unique Considérons le cas typique où X= (1;:::;X n)0 les X i formant un n-échantillon de loi Q 0 où Q 0 est une loi sur Xde paramètre inconnu 0 2 ˆ Rk



Statistique inferentielle´ Estimation - CNRS

D´e?nitions Estimation de la moyenne et de la variance Methode des moments´ Maximum de Vraisemblance Comparaison EXEMPLES Exemple : la loi uniforme On considere des variables` aleatoires i i d´ X 1;:::;X n suivant une loi uniforme sur 0; 2 avec >0 i e de densit´e f d´e?nie pour tout x 2R par f (x) = 1 2 1 [0; 2](x): Exemple : la loi



TD1 : méthode des moments et maximum de vraisemblance - unicefr

n) un n-échantillon de loi normale centrée en m ? R et de variance ?2 > 0 Les quantités m et ?2 sont supposées inconnues On rappelle que la loi de Y 1 admet la densité suivante sur R : f m?2(x) = 1 ? 2??2 exp ? (x?m)2 2?2 1 Donner un estimateur de m par la méthode des moments Est-il sans biais? Si non modi?er-le



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Université de Caen M1 TD no 8 : Méthode des moments Exercice 1 Soient >0 et Xune var suivant la loi de Bernoulli B 1 +1 i e dont la loi est donnéepar P(X= 0) = +1; P(X= 1) = 1 +1: 1 Déterminerunestimateurde parlaméthodedesmoments 2 Est-cequecetestimateurestconsistant? Est-cequ’ilestasymptotiquementnormal?

  • A.2 Choix Du Modèle fréquentiel

    La validité des résultats d'une analyse fréquentielle dépend du choix du modèle fréquentiel et plus particulièrement de son type. Diverses pistes peuvent contribuer à faciliter ce choix, mais il n'existe malheureusement pas de méthode universelle et infaillible.

  • A.3 Ajustement Du Modèle fréquentiel

    Dans ce chapitre nous étudierons les techniques de l'ajustement ou du calage d'un modèle fréquentiel à une série de données : il s'agit de définir les paramètres de la loi retenue. Nous utiliserons comme support pédagogique la loi de Gumbel, fréquemment utilisée en hydrologie, pour modéliser les événements extrêmes, les pluies notamment.

  • A.4 Contrôle de L'ajustement

    A.4.1 Examen visuel de l'ajustement

Comment calculer la méthode des moments ?

La méthode des moments consiste à trouver une fonction m , continue et inversible, et une fonction (continue) ? telles que m(?) = E[?(X1)] . On sait que cet estimateur est consistant. L'estimateur du maximum de vraisemblance, comme son nom l'indique, maximise la vraisemblance définie comme suit :

Qu'est-ce que la loi normale ?

La loi normale se justifie, théoriquement r par le théorème central-limite, comme la loi d'une variable aléatoire formée de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires.

Comment calculer la loi de ?

Si est une variable aléatoire de loi , la loi de dépend aussi en général de , et il en est de même de son espérance. Mais peut être estimée par la moyenne empirique de . Si s'exprime en fonction de , on en déduira alors un estimateur de . Nous avons déjà utilisé cette technique plusieurs fois dans les deux paragraphes précédents.

Comment exprimer et en fonction de la loi gamma de paramètres et ?

Si suit la loi gamma de paramètres et , son espérance et sa variance valent : On peut donc exprimer et en fonction de et . Si on dispose d'un échantillon de la loi gamma de paramètres et , la moyenne empirique et la variance empirique sont des estimateurs convergents de et respectivement. On en déduit deux estimateurs convergents de et : Lois béta.

10. Estimation

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10. Estimation

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: estimation1/50

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Plan

1. Introduction

2. Estimation ponctuelle

3. Estimation par intervalles de conance

4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance

MTH2302D: estimation2/50

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1. Introduction

2. Estimation ponctuelle

3. Estimation par intervalles de conance

4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance

MTH2302D: estimation3/50

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Introduction

L'inference statistiqueconsiste a tirer des conclusions sur une population a partir d'un echantillon.

Deux parties :

I

Estimation de parametres.

I

Tests d'hypotheses.

Estimation de parametres : deux methodes :

I

Estimation ponctuelle.

I Estimation par intervalles de conance.MTH2302D: estimation4/50

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1. Introduction

2. Estimation ponctuelle

3. Estimation par intervalles de conance

4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance

MTH2302D: estimation5/50

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Estimation ponctuelle

But :estimer un parametre d'une population a l'aide d'une statistique.Denition SoitXune variable aleatoire dont la distribution depend d'un parametre. SoitX1;:::;Xnun echantillon aleatoire deXde taillen.

Unestimateur ponctueldeest une statistique^de la forme^=h(X1;:::;Xn)et veriant certains criteres.MTH2302D: estimation6/50

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Exemple 1

SoitXune variable aleatoire etX1;:::;Xnun echantillon de taille n. Alors I ^1=X=1n n X i=1X i I ^2=Xi(une valeur individuelle) sont des estimateurs de la moyenne==E(X).MTH2302D: estimation7/50

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Exemple 2

SoitXune variable aleatoire etX1;:::;Xnun echantillon de taille n. Alors I ^1=S2=1n1n X i=1(XiX)2 I ^2=S2n=1n n X i=1(XiX)2 sont des estimateurs de la variance=2=V(X).MTH2302D: estimation8/50

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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur

Critere 1 : le biais

Lebiaisd'un estimateur^du parametreest

Biais(^) =E(^):

On dit que

^estsans biaisounon-biaisesi Biais(^) = 0. Le biais est une mesure de l'erreur systematique faite en approximantpar^.Exemple 3

Prouver que E(X) =et E(S2) =2et donc queXetS2sont

des estimateurs sans biais deet2.MTH2302D: estimation9/50

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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite)

Critere 2 : Erreur quadratique moyenneDenition

L'erreur quadratique moyenne(EQM) d'un estimateur^du parametreest

EQM(^) =Eh

(^)2i :L'EQM est une mesure de la precision d'un estimateur.

Theoreme

Si^est un estimateur du parametrealors

EQM(^) =V(^) +h

Biais(^)i

2:

MTH2302D: estimation10/50

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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite)

Critere 2 : Erreur quadratique moyenne (suite)

Le meilleur de deux estimateur

^1et^2, c'est-a-dire le plusecace, est celui qui a la plus petite EQM :^1est plus ecace que^2si

EQM(^1) Lorsque deux estimateurs son non biaises, ceci revient a dire que le plus ecace est celui dont la variance est la plus petite.

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Exemple 4

SoitX1;X2;:::;X5un echantillon aleatoire d'une v.a.Xtelle que

E(X) =et V(X) =2. Pour estimer, on considere

1=X1+:::+X55

et^2=2X1X2+X42

1.Ces deux estimateurs sont-ils non-biaises?

2.Quel est le meilleur des deux?MTH2302D: estimation12/50

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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite)

Critere 3 : Convergence

Denotons par

^nun estimateur du parametrecalcule a partir d'un echantillon de taillen.Denition

Un estimateur^nestconvergentsi pour tout" >0

lim n!1P j^nj< " = 1: Ceci signie : si la taille de l'echantillon est assez grande alors on est (presque) certain que l'estimateur^nest tres proche de.Theoreme

Si EQM(^n)converge vers 0 lorsquen! 1alors^nest

convergent.

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Methode des moments

I La plupart des lois que nous avons vues sont determinees par un ou deux parametres generalement lies aux deux premiers moments de la v.a.,01=et02=2. I

SoitXLoi(1;2)avec1et2inconnus mais dependants

des deux premiers moments. SiX1;X2;:::;Xnest un echantillon de taillendes valeurs deX, on peut denir les deux premiers moments de l'echantillon par rapport a l'origine : m 0k=1n n X i=1X kiaveck2 f1;2g.

Ainsi on peut estimerpar^=m01et2par

^2=m02(m01)2, et donc1et2.MTH2302D: estimation14/50

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Exemple 5

SoitXUnif(0;a). Quel est l'estimateur^adu parametreapar la methode des moments?

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Methode du maximum de vraisemblance

SoitXune variable aleatoire dont la distribution est donnee par f(x;), ouest un parametre inconnu. Soitx1;:::;xnune realisation (valeurs observees) d'un echantillon aleatoire de taillendeX.Denition

Lafonction de vraisemblancede cet echantillon est

L() =f(x1;)f(x2;)f(xn;):

Intuitivement,L()est la probabilite d'observer lesx1;x2;:::;xn:

P(X1=x1\X2=x2\:::\Xn=xn).Denition

L'estimateur de vraisemblance maximaledeest la valeur^pour laquelleL()atteint son maximum.MTH2302D: estimation16/50

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Exemple 6

SoitXBern(p). Quel est l'estimateur^pdu parametreppar la methode du maximum de vraisemblance? Voir exemple 10.5 page 235 (2eme edition) / exemple 9.5 page 248 (3eme edition) pour la loi normale.

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1. Introduction

2. Estimation ponctuelle

3. Estimation par intervalles de conance

4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance

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Intervalles de conance (IC)

Idee :Soitun parametre de

la distribution d'une variable aleatoireX.

A partir d'un echantillon,

on cherche a determiner un intervalle[L;U]qui contient avec une probabilite donnee.

Sur ce dessin, par ex. :

P(LU)'87%.μ

1MTH2302D: estimation19/50

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Intervalles de conance (suite)

Denition

SoitXune variable aleatoire etun parametre de sa distribution.

SoitX1;:::;Xnun echantillon de taillendeX.

SiLL(X1;:::;Xn)etUU(X1;:::;Xn)sont deux

statistiques telles que

P(LU) = 1

alors on dit que[L;U]est unintervalle de conancepourde niveau de conance1.MTH2302D: estimation20/50

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IC pour la moyenne: cas ou2est connue

Rappel :siXN(;2)ou si la taillende l'echantillon est grand alorsX= pn

N(0;1):Theoreme

Dans ce cas, l'intervalle de conance a100(1)%pourestXz=2pn

X+z=2pn

ouz=2est un nombre tel que(z=2) = 1=2.Exemple 7

Prouver le theoreme.

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IC pour la moyenne: cas ou2est connue (suite)

Remarques :

1.La valeur dez=2depend du niveau de conance voulu : par

exemple, avec la table du site du cours , on a :

ISi1= 0:90, alorsz=2'1:645.

ISi1= 0:95, alorsz=2'1:960.

ISi1= 0:99, alorsz=2'2:576.

2.On peut aussi considerer un intervalle unilateral, de la forme

[L;1[ou] 1;U] correspondant a

P(L) = 1ouP(U) = 1:

Dans ce cas, on remplace=2pardans les bornes deja

trouvees :

L=XzpnetU=X+zpn:MTH2302D: estimation22/50

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Exemple 8

Des tests sur la conductivite thermique d'un metal ont permis d'obtenir les donnees suivantes pour un echantillon de taille n= 10:

41.60 41.48 42.34 41.95 41.86

42.18 41.72 42.26 41.81 42.04

SoitXla conductivite thermique du metal. Sachant queXsuit une loi normale d'ecart-type= 0:10, donner :

1.Une estimation ponctuelle de=E(X).

2.Un intervalle de conance a 95% pour.

3.Un intervalle de conance unilateral, avec borne inferieure, au

niveau de conance 95% pour.MTH2302D: estimation23/50

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Niveau de conance et precision de l'estimation

SoitXune variable aleatoire normale de variance connue pour laquelle on veut estimer la moyenne a l'aide d'un echantillon de taillen. Si le niveau de conance1augmente alors la longueur de l'intervalle de conance augmente. La plus grande dierencejXjpossible entre l'estimateur et le parametre, appeleeerreur, est egale a la moitie de la longueur de l'intervalle de conance. Par consequent, si le niveau de conance augmente, l'erreur augmente.

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Taille de l'echantillon

Pour un niveau de conance1donne, soitjXjl'erreur de l'estimation deparX. Si on exige que l'erreur soit inferieure a une valeur xeeE, quelle doit ^etre la taille minimale de l'echantillon utilise?

Reponse :

n= z=2E 2 Exemple 9 :En faire la preuve.MTH2302D: estimation25/50

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Exemple 10

Des tests sur la conductivite thermique d'un metal ont permis d'obtenir les donnees suivantes pour un echantillon de taille n= 10.

41.60 41.48 42.34 41.95 41.86

42.18 41.72 42.26 41.81 42.04

SoitXla conductivite thermique du metal. Sachant queXsuit une loi normale d'ecart-type= 0:10, quelle taille d'echantillon est necessaire pour construire un intervalle de conance a 95% avec une erreur inferieure a 0.05?

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Intervalle de conance pour la moyenne : autres cas Une procedure semblable au cas precedent (variance connue) permet de construire des intervalles de conance pour la moyenne dans dierentes situations, en utilisant les distributions echantillonnales etudiees auparavant : I

Cas ouXN(;2)et2est inconnue.

I Cas ounest tres grand et2est inconnue.MTH2302D: estimation27/50

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IC pour: resumeSituationRelation utiliseeIC niveau1

2est connueX=

pn

N(0;1)=Xz=2pnet

XN(;2), oungrand

2est inconnueXS=

pn

Tn1=Xt=2;n1Spnet

XN(;2)

2est inconnueXS=

pn

N(0;1)=Xz=2Spnet

nest grandMTH2302D: estimation28/50

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Intervalles de conance pour la variance

Une procedure semblable a celle pour la moyenne permet de construire des intervalles de conance pour2dans dierentes situations, en utilisant les distributions echantillonnales etudiees auparavant : I

Cas ouest connue.

I

Cas ouXN(;2)etinconnue.

I Cas ounest tres grand etinconnue.MTH2302D: estimation29/50

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IC pour2et: resumeSituationRelation utiliseeIC niveau1est connuen S2 22nnS
2

2=2;n2nS2

21=2;net

XN(;2)avecS2=1n

n P i=1(Xi)2inconnue(n1)S2

22n1(n1)S2

2=2;n12(n1)S2

21=2;n1et

XN(;2)inconnueS=

p2nN(0;1)S 1+ z=2p2nS1z=2p2net ngrandMTH2302D: estimation30/50

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Exemple 11

An d'estimer la variance2de l'epaisseur d'un certain type de verre, un echantillon de 25 specimens est preleve. L'ecart-type observe dans l'echantillon est de 0.08 mm. On suppose que l'epaisseur du verre est distribuee selon une loi normale.

1.Determiner un intervalle de conance a 95% pour2.

2.Donner un intervalle de conance unilateral, avec borne

superieure, au niveau de conance 90% pour2.MTH2302D: estimation31/50

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Intervalle de conance pour une proportion

Considerons une experience aleatoire et soitpla proportion de succes dans une population. SoitXle nombre de succes dans un echantillon de tres grande taillen. On a doncXB(n;p)et ^p=Xn =nX i=1X i=nest un estimateur pourp. De plus, on a vu auparavant (approximation d'une binomiale par une normale), que sinest grand alors :

XN(=np;2=np(1p)),

et donc

Xnppnp(1p)N(0;1)et^ppq

p(1p)n

N(0;1).MTH2302D: estimation32/50

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IC pour une proportion (suite)

On a ^ppq p(1p)nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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