Estimation paramétrique
L'estimateur obtenu par la méthode des moments est alors. ˆ?n = 2Xn. Cet estimateur est sans bias et consistant. 2.3 Loi gaussienne. Ici k = 2 on prend ? = (m
Méthode des moments de probabilité pondérés : application à la loi
MOTS-CLÉS : Loi de probabilité - Estimation de paramètres - Méthode des teur % du paramètre k suit asymptotiquement une loi normale de moyenne 0 et de ...
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3.2.1 Estimation des param`etres par la méthode des moments . La fonction de maximum de vraisemblance pour la loi log-normale (µ ?2) s'écrit : ?.
Introduction aux Statistiques de deuxième espèce : applications des
Les méthodes utilisées en statistique pour étudier une distribution de probabilité loi normale ainsi que sur un modèle de bruit bien adapté à ce.
Statistique appliquée
méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance. Si X suit la loi normale standard N(01)
Analyse dImpact Budgétaire de la Prise en Charge de la
Risques relatifs [0 ;?[ : log normale ou loi Gamma. Utilité ]-?;1] : loi Beta ou Normale Méthode des moments;Utilisation de la Loi Normale.
10. Estimation
Estimation de param`etres : deux méthodes : Méthode des moments ... une loi normale d'écart-type ? = 0.10 quelle taille d'échantillon.
La loi normale
3.6 Génération de variables aléatoires normales via la méthode de. Box-Muller . La fonction génératrice des moments d'une loi normale.
Statistique L3 CPES Notes de cours
16 oct. 2021 3.1 Méthode des moments . ... Loi uniforme sur un ensemble fini I. Une variable aléatoire X ? U(I) si X ? I et
EVALUATION DES DIFFERENTES LOIS STATISTIQUES POUR L
Gumbel avec la méthode du maximum de vraisemblance et la loi Log-Normale sont la loi de Gumbel avec les méthodes des moments et des moindres carrés ...
Estimation paramétrique - univ-toulousefr
de maximisant la vraisemblance c’est à dire véri?ant ^= argmax 2 p( ;X): Remarque — L’estimateur de maximum de vraisemblance n’existe pas tou-jours et n’est pas toujours unique Considérons le cas typique où X= (1;:::;X n)0 les X i formant un n-échantillon de loi Q 0 où Q 0 est une loi sur Xde paramètre inconnu 0 2 ˆ Rk
Statistique inferentielle´ Estimation - CNRS
D´e?nitions Estimation de la moyenne et de la variance Methode des moments´ Maximum de Vraisemblance Comparaison EXEMPLES Exemple : la loi uniforme On considere des variables` aleatoires i i d´ X 1;:::;X n suivant une loi uniforme sur 0; 2 avec >0 i e de densit´e f d´e?nie pour tout x 2R par f (x) = 1 2 1 [0; 2](x): Exemple : la loi
TD1 : méthode des moments et maximum de vraisemblance - unicefr
n) un n-échantillon de loi normale centrée en m ? R et de variance ?2 > 0 Les quantités m et ?2 sont supposées inconnues On rappelle que la loi de Y 1 admet la densité suivante sur R : f m?2(x) = 1 ? 2??2 exp ? (x?m)2 2?2 1 Donner un estimateur de m par la méthode des moments Est-il sans biais? Si non modi?er-le
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Université de Caen M1 TD no 8 : Méthode des moments Exercice 1 Soient >0 et Xune var suivant la loi de Bernoulli B 1 +1 i e dont la loi est donnéepar P(X= 0) = +1; P(X= 1) = 1 +1: 1 Déterminerunestimateurde parlaméthodedesmoments 2 Est-cequecetestimateurestconsistant? Est-cequ’ilestasymptotiquementnormal?
A.2 Choix Du Modèle fréquentiel
La validité des résultats d'une analyse fréquentielle dépend du choix du modèle fréquentiel et plus particulièrement de son type. Diverses pistes peuvent contribuer à faciliter ce choix, mais il n'existe malheureusement pas de méthode universelle et infaillible.
A.3 Ajustement Du Modèle fréquentiel
Dans ce chapitre nous étudierons les techniques de l'ajustement ou du calage d'un modèle fréquentiel à une série de données : il s'agit de définir les paramètres de la loi retenue. Nous utiliserons comme support pédagogique la loi de Gumbel, fréquemment utilisée en hydrologie, pour modéliser les événements extrêmes, les pluies notamment.
A.4 Contrôle de L'ajustement
A.4.1 Examen visuel de l'ajustement
Comment calculer la méthode des moments ?
La méthode des moments consiste à trouver une fonction m , continue et inversible, et une fonction (continue) ? telles que m(?) = E[?(X1)] . On sait que cet estimateur est consistant. L'estimateur du maximum de vraisemblance, comme son nom l'indique, maximise la vraisemblance définie comme suit :
Qu'est-ce que la loi normale ?
La loi normale se justifie, théoriquement r par le théorème central-limite, comme la loi d'une variable aléatoire formée de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires.
Comment calculer la loi de ?
Si est une variable aléatoire de loi , la loi de dépend aussi en général de , et il en est de même de son espérance. Mais peut être estimée par la moyenne empirique de . Si s'exprime en fonction de , on en déduira alors un estimateur de . Nous avons déjà utilisé cette technique plusieurs fois dans les deux paragraphes précédents.
Comment exprimer et en fonction de la loi gamma de paramètres et ?
Si suit la loi gamma de paramètres et , son espérance et sa variance valent : On peut donc exprimer et en fonction de et . Si on dispose d'un échantillon de la loi gamma de paramètres et , la moyenne empirique et la variance empirique sont des estimateurs convergents de et respectivement. On en déduit deux estimateurs convergents de et : Lois béta.
![10. Estimation 10. Estimation](https://pdfprof.com/Listes/18/5839-1810_estimation.pdf.pdf.jpg)
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10. Estimation
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v2)MTH2302D: estimation1/50
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Plan1. Introduction
2. Estimation ponctuelle
3. Estimation par intervalles de conance
4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance
MTH2302D: estimation2/50
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1. Introduction
2. Estimation ponctuelle
3. Estimation par intervalles de conance
4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance
MTH2302D: estimation3/50
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Introduction
L'inference statistiqueconsiste a tirer des conclusions sur une population a partir d'un echantillon.Deux parties :
IEstimation de parametres.
ITests d'hypotheses.
Estimation de parametres : deux methodes :
IEstimation ponctuelle.
I Estimation par intervalles de conance.MTH2302D: estimation4/501/42/4 3/4 4/4
1. Introduction
2. Estimation ponctuelle
3. Estimation par intervalles de conance
4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance
MTH2302D: estimation5/50
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Estimation ponctuelle
But :estimer un parametre d'une population a l'aide d'une statistique.Denition SoitXune variable aleatoire dont la distribution depend d'un parametre. SoitX1;:::;Xnun echantillon aleatoire deXde taillen.Unestimateur ponctueldeest une statistique^de la forme^=h(X1;:::;Xn)et veriant certains criteres.MTH2302D: estimation6/50
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Exemple 1
SoitXune variable aleatoire etX1;:::;Xnun echantillon de taille n. Alors I ^1=X=1n n X i=1X i I ^2=Xi(une valeur individuelle) sont des estimateurs de la moyenne==E(X).MTH2302D: estimation7/501/42/4 3/4 4/4
Exemple 2
SoitXune variable aleatoire etX1;:::;Xnun echantillon de taille n. Alors I ^1=S2=1n1n X i=1(XiX)2 I ^2=S2n=1n n X i=1(XiX)2 sont des estimateurs de la variance=2=V(X).MTH2302D: estimation8/501/42/4 3/4 4/4
Trois criteres pour la qualite d'un estimateur
Critere 1 : le biais
Lebiaisd'un estimateur^du parametreest
Biais(^) =E(^):
On dit que
^estsans biaisounon-biaisesi Biais(^) = 0. Le biais est une mesure de l'erreur systematique faite en approximantpar^.Exemple 3Prouver que E(X) =et E(S2) =2et donc queXetS2sont
des estimateurs sans biais deet2.MTH2302D: estimation9/501/42/4 3/4 4/4
Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite)Critere 2 : Erreur quadratique moyenneDenition
L'erreur quadratique moyenne(EQM) d'un estimateur^du parametreestEQM(^) =Eh
(^)2i :L'EQM est une mesure de la precision d'un estimateur.Theoreme
Si^est un estimateur du parametrealors
EQM(^) =V(^) +h
Biais(^)i
2:MTH2302D: estimation10/50
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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite)Critere 2 : Erreur quadratique moyenne (suite)
Le meilleur de deux estimateur
^1et^2, c'est-a-dire le plusecace, est celui qui a la plus petite EQM :^1est plus ecace que^2siEQM(^1) Lorsque deux estimateurs son non biaises, ceci revient a dire que le plus ecace est celui dont la variance est la plus petite. MTH2302D: estimation11/50
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Exemple 4
SoitX1;X2;:::;X5un echantillon aleatoire d'une v.a.Xtelle que E(X) =et V(X) =2. Pour estimer, on considere
1=X1+:::+X55
et^2=2X1X2+X42 1.Ces deux estimateurs sont-ils non-biaises?
2.Quel est le meilleur des deux?MTH2302D: estimation12/50
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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite) Critere 3 : Convergence
Denotons par
^nun estimateur du parametrecalcule a partir d'un echantillon de taillen.Denition Un estimateur^nestconvergentsi pour tout" >0
lim n!1P j^nj< " = 1: Ceci signie : si la taille de l'echantillon est assez grande alors on est (presque) certain que l'estimateur^nest tres proche de.Theoreme Si EQM(^n)converge vers 0 lorsquen! 1alors^nest
convergent. MTH2302D: estimation13/50
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Methode des moments
I La plupart des lois que nous avons vues sont determinees par un ou deux parametres generalement lies aux deux premiers moments de la v.a.,01=et02=2. I SoitXLoi(1;2)avec1et2inconnus mais dependants
des deux premiers moments. SiX1;X2;:::;Xnest un echantillon de taillendes valeurs deX, on peut denir les deux premiers moments de l'echantillon par rapport a l'origine : m 0k=1n n X i=1X kiaveck2 f1;2g. Ainsi on peut estimerpar^=m01et2par
^2=m02(m01)2, et donc1et2.MTH2302D: estimation14/50 1/42/4 3/4 4/4
Exemple 5
SoitXUnif(0;a). Quel est l'estimateur^adu parametreapar la methode des moments? MTH2302D: estimation15/50
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Methode du maximum de vraisemblance
SoitXune variable aleatoire dont la distribution est donnee par f(x;), ouest un parametre inconnu. Soitx1;:::;xnune realisation (valeurs observees) d'un echantillon aleatoire de taillendeX.Denition Lafonction de vraisemblancede cet echantillon est
L() =f(x1;)f(x2;)f(xn;):
Intuitivement,L()est la probabilite d'observer lesx1;x2;:::;xn: P(X1=x1\X2=x2\:::\Xn=xn).Denition
L'estimateur de vraisemblance maximaledeest la valeur^pour laquelleL()atteint son maximum.MTH2302D: estimation16/50 1/42/4 3/4 4/4
Exemple 6
SoitXBern(p). Quel est l'estimateur^pdu parametreppar la methode du maximum de vraisemblance? Voir exemple 10.5 page 235 (2eme edition) / exemple 9.5 page 248 (3eme edition) pour la loi normale. MTH2302D: estimation17/50
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1. Introduction
2. Estimation ponctuelle
3. Estimation par intervalles de conance
4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance
MTH2302D: estimation18/50
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Intervalles de conance (IC)
Idee :Soitun parametre de
la distribution d'une variable aleatoireX. A partir d'un echantillon,
on cherche a determiner un intervalle[L;U]qui contient avec une probabilite donnee. Sur ce dessin, par ex. :
P(LU)'87%.μ
1MTH2302D: estimation19/50
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Intervalles de conance (suite)
Denition
SoitXune variable aleatoire etun parametre de sa distribution. SoitX1;:::;Xnun echantillon de taillendeX.
SiLL(X1;:::;Xn)etUU(X1;:::;Xn)sont deux
statistiques telles que P(LU) = 1
alors on dit que[L;U]est unintervalle de conancepourde niveau de conance1.MTH2302D: estimation20/50 1/42/4 3/4 4/4
IC pour la moyenne: cas ou2est connue
Rappel :siXN(;2)ou si la taillende l'echantillon est grand alorsX= pn N(0;1):Theoreme
Dans ce cas, l'intervalle de conance a100(1)%pourestXz=2pn X+z=2pn
ouz=2est un nombre tel que(z=2) = 1=2.Exemple 7 Prouver le theoreme.
MTH2302D: estimation21/50
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IC pour la moyenne: cas ou2est connue (suite)
Remarques :
1.La valeur dez=2depend du niveau de conance voulu : par
exemple, avec la table du site du cours , on a : ISi1= 0:90, alorsz=2'1:645.
ISi1= 0:95, alorsz=2'1:960.
ISi1= 0:99, alorsz=2'2:576.
2.On peut aussi considerer un intervalle unilateral, de la forme
[L;1[ou] 1;U] correspondant a P(L) = 1ouP(U) = 1:
Dans ce cas, on remplace=2pardans les bornes deja
trouvees : L=XzpnetU=X+zpn:MTH2302D: estimation22/50
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Exemple 8
Des tests sur la conductivite thermique d'un metal ont permis d'obtenir les donnees suivantes pour un echantillon de taille n= 10: 41.60 41.48 42.34 41.95 41.86
42.18 41.72 42.26 41.81 42.04
SoitXla conductivite thermique du metal. Sachant queXsuit une loi normale d'ecart-type= 0:10, donner : 1.Une estimation ponctuelle de=E(X).
2.Un intervalle de conance a 95% pour.
3.Un intervalle de conance unilateral, avec borne inferieure, au
niveau de conance 95% pour.MTH2302D: estimation23/50 1/42/4 3/4 4/4
Niveau de conance et precision de l'estimation
SoitXune variable aleatoire normale de variance connue pour laquelle on veut estimer la moyenne a l'aide d'un echantillon de taillen. Si le niveau de conance1augmente alors la longueur de l'intervalle de conance augmente. La plus grande dierencejXjpossible entre l'estimateur et le parametre, appeleeerreur, est egale a la moitie de la longueur de l'intervalle de conance. Par consequent, si le niveau de conance augmente, l'erreur augmente. MTH2302D: estimation24/50
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Taille de l'echantillon
Pour un niveau de conance1donne, soitjXjl'erreur de l'estimation deparX. Si on exige que l'erreur soit inferieure a une valeur xeeE, quelle doit ^etre la taille minimale de l'echantillon utilise? Reponse :
n= z=2E 2 Exemple 9 :En faire la preuve.MTH2302D: estimation25/50 1/42/4 3/4 4/4
Exemple 10
Des tests sur la conductivite thermique d'un metal ont permis d'obtenir les donnees suivantes pour un echantillon de taille n= 10. 41.60 41.48 42.34 41.95 41.86
42.18 41.72 42.26 41.81 42.04
SoitXla conductivite thermique du metal. Sachant queXsuit une loi normale d'ecart-type= 0:10, quelle taille d'echantillon est necessaire pour construire un intervalle de conance a 95% avec une erreur inferieure a 0.05? MTH2302D: estimation26/50
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Intervalle de conance pour la moyenne : autres cas Une procedure semblable au cas precedent (variance connue) permet de construire des intervalles de conance pour la moyenne dans dierentes situations, en utilisant les distributions echantillonnales etudiees auparavant : I Cas ouXN(;2)et2est inconnue.
I Cas ounest tres grand et2est inconnue.MTH2302D: estimation27/50 1/42/4 3/4 4/4
IC pour: resumeSituationRelation utiliseeIC niveau1 2est connueX=
pn N(0;1)=Xz=2pnet
XN(;2), oungrand
2est inconnueXS=
pn Tn1=Xt=2;n1Spnet
XN(;2)
2est inconnueXS=
pn N(0;1)=Xz=2Spnet
nest grandMTH2302D: estimation28/50 1/42/4 3/4 4/4
Intervalles de conance pour la variance
Une procedure semblable a celle pour la moyenne permet de construire des intervalles de conance pour2dans dierentes situations, en utilisant les distributions echantillonnales etudiees auparavant : I Cas ouest connue.
I Cas ouXN(;2)etinconnue.
I Cas ounest tres grand etinconnue.MTH2302D: estimation29/50 1/42/4 3/4 4/4
IC pour2et: resumeSituationRelation utiliseeIC niveau1est connuen S2 22nnS
2 2=2;n2nS2
21=2;net
XN(;2)avecS2=1n
n P i=1(Xi)2inconnue(n1)S2 22n1(n1)S2
2=2;n12(n1)S2
21=2;n1et
XN(;2)inconnueS=
p2nN(0;1)S 1+ z=2p2nS1z=2p2net ngrandMTH2302D: estimation30/50 1/42/4 3/4 4/4
Exemple 11
An d'estimer la variance2de l'epaisseur d'un certain type de verre, un echantillon de 25 specimens est preleve. L'ecart-type observe dans l'echantillon est de 0.08 mm. On suppose que l'epaisseur du verre est distribuee selon une loi normale. 1.Determiner un intervalle de conance a 95% pour2.
2.Donner un intervalle de conance unilateral, avec borne
superieure, au niveau de conance 90% pour2.MTH2302D: estimation31/50 1/42/4 3/4 4/4
Intervalle de conance pour une proportion
Considerons une experience aleatoire et soitpla proportion de succes dans une population. SoitXle nombre de succes dans un echantillon de tres grande taillen. On a doncXB(n;p)et ^p=Xn =nX i=1X i=nest un estimateur pourp. De plus, on a vu auparavant (approximation d'une binomiale par une normale), que sinest grand alors : XN(=np;2=np(1p)),
et donc Xnppnp(1p)N(0;1)et^ppq
p(1p)n N(0;1).MTH2302D: estimation32/50
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IC pour une proportion (suite)
On a ^ppq p(1p)nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
MTH2302D: estimation11/50
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Exemple 4
SoitX1;X2;:::;X5un echantillon aleatoire d'une v.a.Xtelle queE(X) =et V(X) =2. Pour estimer, on considere
1=X1+:::+X55
et^2=2X1X2+X421.Ces deux estimateurs sont-ils non-biaises?
2.Quel est le meilleur des deux?MTH2302D: estimation12/50
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Trois criteres pour la qualite d'un estimateur (suite)Critere 3 : Convergence
Denotons par
^nun estimateur du parametrecalcule a partir d'un echantillon de taillen.DenitionUn estimateur^nestconvergentsi pour tout" >0
lim n!1P j^nj< " = 1: Ceci signie : si la taille de l'echantillon est assez grande alors on est (presque) certain que l'estimateur^nest tres proche de.TheoremeSi EQM(^n)converge vers 0 lorsquen! 1alors^nest
convergent.MTH2302D: estimation13/50
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Methode des moments
I La plupart des lois que nous avons vues sont determinees par un ou deux parametres generalement lies aux deux premiers moments de la v.a.,01=et02=2. ISoitXLoi(1;2)avec1et2inconnus mais dependants
des deux premiers moments. SiX1;X2;:::;Xnest un echantillon de taillendes valeurs deX, on peut denir les deux premiers moments de l'echantillon par rapport a l'origine : m 0k=1n n X i=1X kiaveck2 f1;2g.Ainsi on peut estimerpar^=m01et2par
^2=m02(m01)2, et donc1et2.MTH2302D: estimation14/501/42/4 3/4 4/4
Exemple 5
SoitXUnif(0;a). Quel est l'estimateur^adu parametreapar la methode des moments?MTH2302D: estimation15/50
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Methode du maximum de vraisemblance
SoitXune variable aleatoire dont la distribution est donnee par f(x;), ouest un parametre inconnu. Soitx1;:::;xnune realisation (valeurs observees) d'un echantillon aleatoire de taillendeX.DenitionLafonction de vraisemblancede cet echantillon est
L() =f(x1;)f(x2;)f(xn;):
Intuitivement,L()est la probabilite d'observer lesx1;x2;:::;xn:P(X1=x1\X2=x2\:::\Xn=xn).Denition
L'estimateur de vraisemblance maximaledeest la valeur^pour laquelleL()atteint son maximum.MTH2302D: estimation16/501/42/4 3/4 4/4
Exemple 6
SoitXBern(p). Quel est l'estimateur^pdu parametreppar la methode du maximum de vraisemblance? Voir exemple 10.5 page 235 (2eme edition) / exemple 9.5 page 248 (3eme edition) pour la loi normale.MTH2302D: estimation17/50
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1. Introduction
2. Estimation ponctuelle
3. Estimation par intervalles de conance
4. Autres problemes d'estimation par intervalle de conance
MTH2302D: estimation18/50
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Intervalles de conance (IC)
Idee :Soitun parametre de
la distribution d'une variable aleatoireX.A partir d'un echantillon,
on cherche a determiner un intervalle[L;U]qui contient avec une probabilite donnee.Sur ce dessin, par ex. :
P(LU)'87%.μ
1MTH2302D: estimation19/50
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Intervalles de conance (suite)
Denition
SoitXune variable aleatoire etun parametre de sa distribution.SoitX1;:::;Xnun echantillon de taillendeX.
SiLL(X1;:::;Xn)etUU(X1;:::;Xn)sont deux
statistiques telles queP(LU) = 1
alors on dit que[L;U]est unintervalle de conancepourde niveau de conance1.MTH2302D: estimation20/501/42/4 3/4 4/4
IC pour la moyenne: cas ou2est connue
Rappel :siXN(;2)ou si la taillende l'echantillon est grand alorsX= pnN(0;1):Theoreme
Dans ce cas, l'intervalle de conance a100(1)%pourestXz=2pnX+z=2pn
ouz=2est un nombre tel que(z=2) = 1=2.Exemple 7Prouver le theoreme.
MTH2302D: estimation21/50
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IC pour la moyenne: cas ou2est connue (suite)
Remarques :
1.La valeur dez=2depend du niveau de conance voulu : par
exemple, avec la table du site du cours , on a :ISi1= 0:90, alorsz=2'1:645.
ISi1= 0:95, alorsz=2'1:960.
ISi1= 0:99, alorsz=2'2:576.
2.On peut aussi considerer un intervalle unilateral, de la forme
[L;1[ou] 1;U] correspondant aP(L) = 1ouP(U) = 1:
Dans ce cas, on remplace=2pardans les bornes deja
trouvees :L=XzpnetU=X+zpn:MTH2302D: estimation22/50
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Exemple 8
Des tests sur la conductivite thermique d'un metal ont permis d'obtenir les donnees suivantes pour un echantillon de taille n= 10:41.60 41.48 42.34 41.95 41.86
42.18 41.72 42.26 41.81 42.04
SoitXla conductivite thermique du metal. Sachant queXsuit une loi normale d'ecart-type= 0:10, donner :1.Une estimation ponctuelle de=E(X).
2.Un intervalle de conance a 95% pour.
3.Un intervalle de conance unilateral, avec borne inferieure, au
niveau de conance 95% pour.MTH2302D: estimation23/501/42/4 3/4 4/4
Niveau de conance et precision de l'estimation
SoitXune variable aleatoire normale de variance connue pour laquelle on veut estimer la moyenne a l'aide d'un echantillon de taillen. Si le niveau de conance1augmente alors la longueur de l'intervalle de conance augmente. La plus grande dierencejXjpossible entre l'estimateur et le parametre, appeleeerreur, est egale a la moitie de la longueur de l'intervalle de conance. Par consequent, si le niveau de conance augmente, l'erreur augmente.MTH2302D: estimation24/50
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Taille de l'echantillon
Pour un niveau de conance1donne, soitjXjl'erreur de l'estimation deparX. Si on exige que l'erreur soit inferieure a une valeur xeeE, quelle doit ^etre la taille minimale de l'echantillon utilise?Reponse :
n= z=2E 2 Exemple 9 :En faire la preuve.MTH2302D: estimation25/501/42/4 3/4 4/4
Exemple 10
Des tests sur la conductivite thermique d'un metal ont permis d'obtenir les donnees suivantes pour un echantillon de taille n= 10.41.60 41.48 42.34 41.95 41.86
42.18 41.72 42.26 41.81 42.04
SoitXla conductivite thermique du metal. Sachant queXsuit une loi normale d'ecart-type= 0:10, quelle taille d'echantillon est necessaire pour construire un intervalle de conance a 95% avec une erreur inferieure a 0.05?MTH2302D: estimation26/50
1/42/4 3/4 4/4
Intervalle de conance pour la moyenne : autres cas Une procedure semblable au cas precedent (variance connue) permet de construire des intervalles de conance pour la moyenne dans dierentes situations, en utilisant les distributions echantillonnales etudiees auparavant : ICas ouXN(;2)et2est inconnue.
I Cas ounest tres grand et2est inconnue.MTH2302D: estimation27/501/42/4 3/4 4/4
IC pour: resumeSituationRelation utiliseeIC niveau12est connueX=
pnN(0;1)=Xz=2pnet
XN(;2), oungrand
2est inconnueXS=
pnTn1=Xt=2;n1Spnet
XN(;2)
2est inconnueXS=
pnN(0;1)=Xz=2Spnet
nest grandMTH2302D: estimation28/501/42/4 3/4 4/4
Intervalles de conance pour la variance
Une procedure semblable a celle pour la moyenne permet de construire des intervalles de conance pour2dans dierentes situations, en utilisant les distributions echantillonnales etudiees auparavant : ICas ouest connue.
ICas ouXN(;2)etinconnue.
I Cas ounest tres grand etinconnue.MTH2302D: estimation29/501/42/4 3/4 4/4
IC pour2et: resumeSituationRelation utiliseeIC niveau1est connuen S2 22nnS2
2=2;n2nS2
21=2;net
XN(;2)avecS2=1n
n P i=1(Xi)2inconnue(n1)S222n1(n1)S2
2=2;n12(n1)S2
21=2;n1et
XN(;2)inconnueS=
p2nN(0;1)S 1+ z=2p2nS1z=2p2net ngrandMTH2302D: estimation30/501/42/4 3/4 4/4
Exemple 11
An d'estimer la variance2de l'epaisseur d'un certain type de verre, un echantillon de 25 specimens est preleve. L'ecart-type observe dans l'echantillon est de 0.08 mm. On suppose que l'epaisseur du verre est distribuee selon une loi normale.1.Determiner un intervalle de conance a 95% pour2.
2.Donner un intervalle de conance unilateral, avec borne
superieure, au niveau de conance 90% pour2.MTH2302D: estimation31/501/42/4 3/4 4/4
Intervalle de conance pour une proportion
Considerons une experience aleatoire et soitpla proportion de succes dans une population. SoitXle nombre de succes dans un echantillon de tres grande taillen. On a doncXB(n;p)et ^p=Xn =nX i=1X i=nest un estimateur pourp. De plus, on a vu auparavant (approximation d'une binomiale par une normale), que sinest grand alors :XN(=np;2=np(1p)),
et doncXnppnp(1p)N(0;1)et^ppq
p(1p)nN(0;1).MTH2302D: estimation32/50
1/42/4 3/4 4/4
IC pour une proportion (suite)
On a ^ppq p(1p)nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] comment construire un diagramme triangulaire
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