[PDF] Thème 8: Fonctions du 2ème degré optimisation

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FONCTIONS DU 2

ÈME

DEGRÉ, OPTIMISATION 15

2C - JtJ 2022

Thème 8: Fonctions du 2

ème

degré, optimisation

8.1 Fonctions du 2

ème

degré

Définitions :

• On appelle fonction du 2

ème

degré, toute fonction f du type : f : x ax 2 + bx + c (où a, b et c sont des nombres réels) • Le coefficient a doit être non nul. • Le terme constant c s'appelle l'ordonnée à l'origine.

Exemple :

La fonction f : x 3x

2 + 5x - 2 est une fonction du 2

ème

degré.

Remarques :

• On remplacera volontiers le codage f : x ax 2 + bx + c par : f(x)=ax 2 +bx+c ou encore y=ax 2 +bx+c • La représentation graphique d'une telle fonction est une parabole.

Modèle 1 :

représentation graphique d'une fct du 2

ème

degré : Pour x [-3 ; 3], représenter graphiquement la fonction f définie par : f (x) = 2x 2 + 2x - 4

Tableau de valeurs Représentation graphique

x 2x 2 + 2x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Remarque :

• Pour le moment, le tableau de valeurs est un passage obligé avant de tracer la parabole. Il faut être particulièrement attentif aux risques d'erreurs de signes.

16 THÈME 8

2C - JtJ 2022 Exercice 8.1: Représenter graphiquement les fonctions suivantes (x [-3 ; 3]) : a) f (x) = x 2 - 4 b) f (x) = x 2 + x c) f (x) = 3x 2 - 3x + 6 d) f (x) = 1 2 x 2 12x1

Modèle 2 :

représentation graphique d'une fct du 2

ème

degré : Pour x [-3 ; 3], représenter graphiquement la fonction f définie par : f (x) = -2x 2 + 4x

Tableau de valeurs Représentation graphique

x -2x 2 + 4x -3 -2 -1 0 1 2 3

Remarques :

• Vous devrez être particulièrement attentifs à l'ordre des opérations dans l'expression : -x 2 Exercice 8.2: Parmi les réponses proposées, souligner la bonne: a) si x = 3 alors f (x) = -x 2 vaut : 9 3 -9 b) si x = 2 alors f (x) = -2x 2 vaut : -4 8 -8 c) si x = -1 alors f (x) = -x 2 vaut : -1 0 1 d) si x = -2 alors f (x) = -x 2 + x vaut : -6 8 2 e) si x = -5 alors f (x) = -x 2 + 5x vaut : 0 50 -50 f) si x = 5 alors f (x) = -x 2 + 5x vaut : 0 50 -50 g) si x = -2 alors f (x) = -3x 2 + 2x vaut : -16 32 8 h) si x = -3 alors f (x) = -2x 2 - 4x vaut : 48 30 -6

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2C - JtJ 2022 Exercice 8.3: Représenter graphiquement les fonctions f suivantes (x [-3 ; 3]) : a) f (x) = -x 2 - 1 b) f (x) = -2x 2 + 3x c) f (x) = -3x 2 + 3x + 6 d) f (x) = 1 4x 2 +14x12

Remarques :

Dans les exercices 8.1 et 8.3 vous avez dû constater un lien entre le coefficient a des x 2 et l'orientation de la parabole. • Si a > 0, la parabole est • Si a < 0, la parabole est Exercice 8.4: En comparant les ordonnées à l'origine c et le signe de a, retrouver parmi les 4 graphiques celui correspondant aux fonctions f définies par : a) f (x) = x 2 - x + 2 b) f (x) = 1 4x 2 +x2 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3

18 THÈME 8

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8.2 Points d'intersection entre le graphe et les axes de coordonnées.

Intersection sur Ox :

Intersection sur Oy :

La première coordonnée des points d'intersection du graphe de f et l'axe Ox s'obtient en calculant les zéros de la fonction f. C'est-à-dire en résolvant l'équation f(x)=0. La deuxième coordonnée du point d'intersection du graphe de f et l'axe Oy s'obtient en calculant l'ordonnée à l'origine de la fonction f.

C'est-à-dire en calculant f(0).

Modèle 3 :

recherche des zéros sur un graphique : Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : a) f(x)=1 2x 2 +12x+3 b) f(x)=x 2 4 c) f(x)=x 2

3x d) f(x)=x

2 +x1 x y (0;f(0)) (x 1 ;0) (x 2 ;0) x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3

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2C - JtJ 2022 Exercice 8.5: À l'aide des graphiques et des tableaux de valeurs, déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées a) de l'exercice 8.1 b) de l'exercice 8.3 Exercice 8.6: À l'aide d'un graphique (format A 4 ), déterminer les zéros de la fonction f définie pour x [-3 ; 5] par f(x)=4x 2 7x25.

Remarques :

• Ce dernier exercice montre bien les limites de la recherche des zéros d'une fonction du 2

ème

degré à l'aide d'un graphique.

Nous devons donc utiliser une autre démarche.

• En fait, les zéros exacts de la fonction de l'exercice 8.6 sont en x=7±449 8 • Rechercher les zéros d'une fonction revient à résoudre une équation du type f (x) = 0. Les 2 outils que nous avons à notre disposition sont la factorisation et la fameuse formule.

Modèle 4 :

intersection avec les axes de coordonnées On considère la fonction f définie par: f(x)=2x 2 +7x5 Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : Exercice 8.7: Pour chaque fonction f définie ci-dessous, déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : a) f(x)=x 2

4 b) f(x)=x

2 3x10 c) f(x)=2x 2 +5x3 d) f(x)=5x 2 +6x1 e) f(x)=3x 2 +2x f) f(x)=x 2 +x+1

20 THÈME 8

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8.3 Sommet de la parabole, extremum de la fonction quadratique

Introduction :

Sur les graphiques du début du chapitre, nous avons observé qu'une parabole est "tournée en U" si le coefficient a > 0. Dans ce cas, elle admet un minimum en un point que l'on appelle sommet. Dans le cas contraire, ce sommet correspondra alors à un maximum. Vous avez également observé qu'une parabole admet un axe (vertical) de symétrie qui doit alors passer par ce sommet.

Comment en calculer ses coordonnées ?

Modèle 5 :

coordonnées du sommet

On considère la fonction f définie par:

f(x)=1 4x 2 1 2x+2 représentée ci-contre. a) Déterminer les zéros de f. b) En déduire la première coordonnée du sommet S. c) Compléter les coordonnées de S

Modèle 6 :

coordonnées du sommet On considère la fonction f définie par: f (x) = 3x 2 - 6x - 24. a) Déterminer les coordonnées du sommet S. b) S'agit-il d'un min ou d'un max? x-33 y -3 3

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Modèle 7 :

coordonnées du sommet Effectuer de même avec la fonction g définie par : g(x) = -x 2 + 2x + 1 Exercice 8.8 Reprendre la donnée des six fonctions de l'exercice précédent afin de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole définie par les fonctions f. Préciser s'il s'agit d'un min ou d'un max. Exercice 8.9: Montrer que le sommet S de la parabole associée à la fonction f: f (x) = ax 2 + bx + c est donné par la formule Sb 2a;fb 2a Exercice 8.10: Pour chaque fonction f suivante, déterminer les coordonnées du sommet et préciser s'il s'agit d'un min ou d'un max. a) f(x)=x 2

10x+6 b) f(x)=4(x5)

2 c) f(x)=(3x+2) 2 +1 d) f(x)=x 2 +4x e) f(x)=3x 2 2x f) f(x)=x 2 +x+1

8.4 Esquisse rapide du graphe d'une fonction du 2

ème

degré

Introduction :

Dans la première partie du chapitre, nous avons tracé des graphiques de fonctions du 2

ème

degré à l'aide de tableaux de valeurs. Cette démarche est longue et très souvent, nous pourrons nous contenter d'une esquisse rapide tenant compte de l'orientation de la parabole (signe de a), les zéros de la fonction (calculés à l'aide de la factorisation ou de la formule), le sommet de la parabole et finalement l'ordonnée à l'origine.

22 THÈME 8

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Modèle 8 :

esquisse d'une fonction du 2

ème

degré :

Esquisser la fonction f définie par : f(x)=2x

2 +4x1 Exercice 8.11: Esquisser les 6 fonctions f suivantes : a) f(x)=x 2 x6 b) f(x)=2x 2 +x+3 c) f(x)=2x 2 +10x9 d) f(x)=x 2 +2x+4 e) f(x)=3x 2

2x f) f(x)=(4x

2 +20x+23)

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8.5 Optimisation "arithmétique"

Introduction :

On va être amené à minimiser ou maximiser une fonction quadratique liée à une contrainte (un lien) de type affine: ax + by = c. La résolution de ce type de problème d'optimisation consiste à isoler x ou y de la contrainte et la substituer dans la fonction quadratique. On cherche ensuite le minimum ou le maximum de cette fonction à l'aide des coordonnées du sommet de la parabole correspondante.

Modèle 9 :

problème d'optimisation La somme de deux nombres est 36. Déterminer ces deux nombres sachant que leur produit est maximal.

Exercice 8.12:

La somme de deux nombres entiers est 36. Déterminer ces deux nombres sachant que la somme de leur carré est minimale.

Exercice 8.13:

Quelle est la valeur minimale du produit de deux nombres si leur différence est égale à 12 ?

24 THÈME 8

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