[PDF] ALGÈBRE BILINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE Semestre 4 2016-2017





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Exercices sur le produit scalaire

17 mai 2011 1) Calculer les produits scalaires suivants : ... exercices. Premi`ere S ... b) En déduire l'aire du parallélogramme ABCD. Exercice 25 :.



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103 141.01 Produit scalaire produit vectoriel



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Le produit scalaire quelle histoire

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ALGÈBRE BILINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE Semestre 4 2016-2017

21 avr. 2017 Le but de ce cours est d'enrichir la notion d'espace vectoriel ... Rappelons les propriétés du produit scalaire de R ... Exercice 1.7.

????? ??????O2(R)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ??????O3(R)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? hx;yi=x1y1+x2y2+x3y3 hx+y;zi=hx;zi+hy;zi hx;yi=hx;yi 8x;y;z2E hx;y+zi=hx;yi+hx;zi 82R hx;yi=hx;yi hx;yi=hy;xi 8x;y2E ????? ?8x2E? hx;xi= 0()x= 0 ? ???????8x2E? hx;xi 0: h;i:EE!R b(x+y;z) =b(x;z) +b(y;z)8x;y;z2E b(x;y+z) =b(x;y) +b(x;z)??82K ??????? ?????? ???E=Kn?b:KnKn!K?????? ???b(x;y) =Pn i;j=1aijxiyj? ?? a ?? ???E=R[X]??E=C([0;1];R)?b(P;Q) =R1

8x;y2E; b(x;y) =12

q(x+y)q(x)q(y)! b(x;y) =14 q(x+y)q(xy)! E??? x

2i;xiyi

x ixj;12 (xiyj+xjyi) ?? ?? ??????b(x;y) =x1y112 q(x) =1`1(x)2+:::+k`k(x)2????? e=fe1;:::;eng??? ???? ??E? ?? ????b2 B(E)? ??x=Pn i=1xiei??y=Pn j=1yjej? ????? ??? b(x;y) =nX i;j=1x iyjb(ei;ej):?????

M(b)e=0

B

BBBBBB@b(e1;e1)b(e1;e2)b(e1;en)

b(e2;e1)??? ???b(ei;ej)??? b(en;e1) b(en;en)1 C

CCCCCCA2Mnn(K)

@1 2 3 4 5 6

7 8 91

A

M=M(b)e? ????x=Pn

i=1xiei??y=Pn b(x;y) =x1;:::;xnM0 B @y 1??? y n1 C A: (pm)(mq) =pq;???? b(x;y) =x1y1+ 2x1y2+ 3x1y3+ 4x2y1+ 5x2y2+ 6x2y3+ 7x3y1+ 8x3y2+ 9x3y3 =x1(y1+y2+ 3y3) +x2(4y1+ 5y2+ 6y3) +x3(7y1+ 8y2+ 9y3) x1;x2;x30 @y

1+y2+ 3y3

4y1+ 5y2+ 6y3

7y1+ 8y2+ 9y31

A x1;x2;x30 @1 2 3 4 5 6

7 8 91

A 0 @y 1 y 2 y n1 A B @x 1??? x n1 C

A=M(x)e???????x=Pn

i=1xiei? ????Y=0 B @y 1??? y n1 C

A=M(y)e??

y=Pn i=1yiei? ????M:=M(b)e? ?? ? ????? b(x;y) =tXMY; ??????e=fe1;:::;eng??e0=fe01;:::;e0ng???? ????? ??E? ?? ????b2 B(E)? ?? ?? ???? P=Pe!e0?? ??????? ?? ??????? ??e?e0?M=M(b)e??M0=M(b)e0? ?? ? ????? M

0=tPMP:

N(b) =fy2Ejb(x;y) = 0;8x2Eg:

e? ??? ??????x2E???M(x)e=X2Kn? ????? x2N(b),X2kerM(b)e,M(b)eX= 0; ??dimN(b) + rg(b) = dimE? ??????? ?? ?? ?? ?? ???? ???? ?? ????? ?? ??????detMb(e)?????? ??e? ??????? ?? ?? ?????? ?? f y7!byx7!b(x;y) ??rg(b) = rg(fb)? ??N(b) = kerfb? ????e=fe1;:::;eng??E? ?? ???ei:E!K???? ??????? ???ei(ej) =j i=1??i=j

0??i6=j

i=1xiei? ?? ?l(x) =Pn i=1xi`(ei) =Pn i=1ei(x)`(ei)? ???? `=Pn f f(y)(x)? i? ?? ???????e1+e2=1 1 A ??f0g?=E? ??E?=N(b)? ??8AE?N(b)A??

I(b) =fx2Ejb(x;x) = 0g:

???? ???????f(x1;x2)2R2jx1=x2g? ?? ?? ????? q????? ?? ????? ??b?N(q) :=N(b)? ?? ???? ?? q????? ?? ???? ??b?rg(q) := rgb? ?q??? ??????,b??? ?????? ?I(q) =f0g?? ?? q(x)>0??q(y)>0? ?????q(x+y)>0?

M(b)e=0

B BB@a 10 a 2??? 0an1 C CCA: ??????? ????e? q(x) =a1x21++anx2n;

M(b)e=0

B

BBBBBBB@a

10 0ar 0 01 C

CCCCCCCAa

i2K;ai6= 0 r= rg(b): i=1xiei????? q(x) =a1x21++arx2r: q(x) =X i;ja ijxixj????? E q(x) =a1`21(x) ++an`2n(x): (I)a2+ 2ab= (a+b)2b2????? (II)ab=14 (a+b)2(ab)2????? ??? x2i?? ???? q(x) =x21x22+ 6x23+2 x1x24x1x38x2x3; ?? ????a=x1??b=x22x3? x

21+ 2x1x24x1x3=x21+ 2x1(x22x3)

= (x1+x22x3)2(x22x3|{z} )2: ?? ??? ? ???? ??x1 q(x) = (x1+x22x3)2(x224x2x3+ 4x23)x22+ 6x238x2x3|{z} ?? ??? ? ???? ??x1 = (x1+x22x3)22x224x2x3+2x23 = (x1+x22x3)22x22+ 2x2x3x23(?????? ??? ??? ???? ???x2) = (x1+x22x3|{z} )22 (x2+x3|{z} )22(x3|{z})2

1(x)`2(x)`3(x)

2??? ????? ???vectfe1g? ??`3??? ????? ???vectfe1;e2g? ???? ????? ?????`i????? ??? ????? ???

????E? f`1;:::;`k;`k+1;:::;`ng??E? ?? ??????q=a1`21+:::+ak`2k+ 0`2k+1+:::+ 0`2n? (II0)ab+a1+b2= (a+2|{z} )(b+1|{z} )12 A B 14 (a+b+1+2|{z} )2(ab+21|{z} )212

A+B AB

? ???AB? ?? ? ???? q(x) = 5 x

1x2+x16x35

+x23x35 = 5 x

1+3x35

|{z} x

2+6x35

|{z} 56x35
3x35 |{z}

A B?? ??? ? ???? ??x1;x2

54
x

1+x2+95

x3|{z} 2 54
x 1x235 x3|{z} 2 185
(x3|{z})2

A+B=`1(x)AB=`2(x)`3(x)

???f`1;`2;`3g??? ?????? ???E? ??? ?????? ???? ??? ????e=fe1;;eng? ?? ???? ?????? q(x) =nX ija ijxixj=nX ia iix2i+X i21+x1`(x)a 11 +q2(x) =a110 x1+`(x)2a11|{z} 1 A2 `(x)24a11+q2(x) |{z}

1(x)q3(x)

=a11`21(x) +q3(x) x ??? ?a q(x) =a12x1x2+x1X 3ja 1jxj |{z} +x2X 3ja 1jxj |{z} +X 3i1(x)2(x)q2(x) q(x) =a12 x

1x2+x11a

12+x22a

12 +q2(x) =a12 x 1+2a 12 x 2+1a 12 12a

12+q2(x)

a124 0 x1+x2+2+1a

12|{z}

1 A2 a124 0 x1x2+21a

12|{z}

1 A2 +q3(x)

1(x)`2(x)

a124 `21(x)a124 `22(x) +q3(x) ?? ??????? ???q=1`21++n`2n? ??f`1;;`ng??? ????? ????E??? ??????? ?? B @x 01??? x 0n1 C A=0 B 1(x) n(x)1 C ???? ??x???? ?? ????e? ???????q(x) =1x012++nx0n2? ?? ????e0=fe01;:::;e0ng??E i=1xiei=Pn i=1x0ie0i???? ??? ???0 B @x 01??? x 0n1 C A=P1 e!e00 B @x 1??? x n1 C

A? ????? ??????? ??0

B @x 1??? x n1 C

A=Pe!e00

B @x 01??? x 0n1 C A? q(x) = (x1+x22x3|{z} )22 (x2+x3|{z} )22(x3|{z})2 x

01x02x03

0 @x01x02x031 A =0 @x

1+x22x3

x 2+x3 x 31
A =P1 e!e00 @x 1 x 2 x 31
A 0 @x 1 x 2 x 31
A =0 @x01x023x03x02x03x031 A =0 @113 0 11

0 0 11

A0 @x01x02x031 A =Pe!e00 @x01x02x031 A ????e01=0 @1 0 01 A ?e02=0 @1 1 01 A ??e03=0 @3 1 11 A ? ???? ?? ????e? ????? ??? ??x=Pn i=1xi"i? q(x) =x21+:::+x2r; M(b)"=0 B

BBBBBBB@1 0

0 1 0 01 C

CCCCCCCA

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(R[X];hP;Qi=R1

2(R) =fx:N!R;P

i=pjxiyij Pq i=pjxij2+ jyij2?????? ??? ?? ?????Pn x;y2E??2R? ??kxk= 0,x= 0? ??kxk=jjkxk? ??kx+yk kxk+kyk? kx+yk2+kxyk2= 2kxk2+kyk2;8x;y2E????? jhx;yijkxkkyk1? ?? ?????? ???? ?? ??????2[0;]??? ???cos() =hx;yikxkkyk? kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2cos(^(x;y))kxkkyk; E ??? ?? ???? ?????? ?????e[i=ei? i=1xiei?????kxk2=Pnquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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