[PDF] Géométrie Vectorielle 2.2 Produit scalaire et

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Géométrie Vectorielle

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RenfJean-Philippe Javet

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Table des matières

1 Vecteurs, composantes - points, coordonnées 1

1.1 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 La notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Opérations sur les vecteurs du plan ou de l"espace . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3 La géométrie vectorielle pour démontrer... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.4 Tests de colinéarité et de coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2 Bases et composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.3 Tests de colinéarité et de coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3 Repères et coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.1 Dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.2 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.3.3 Point milieu et centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2 Norme et produit scalaire 37

2.1 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Produit scalaire et perpendicularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3 Applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.3.1 Projections orthogonales (plan - espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.3.2 Angle de deux vecteurs (plan - espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.3.3 Calculs d"aires (plan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3 Produit vectoriel 57

3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2 Applications du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.2.1 Produit vectoriel et calcul d"angles (espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2.2 Calculs d"aires (espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.2.3 Test de coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.2.4 Calculs de volumes (espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Bibliographie69

I II

A Quelques éléments de solutions I

A.1 Vecteurs, composantes - points, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I A.2 Norme et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI II A.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV

IndexXVIIIMalgré le soin apporté lors de sa conception et surtout parce qu"il n"a jamais été utilisé en classe, le polycopié que

vous avez entre les mains contient certainement quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à son amélioration

en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.com

Merci;-)

1

Vecteurs, composantes - points, coordonnées

1.1 Les vecteurs

1.1.1 La notion de vecteurDéfinition:Unvecteurnon nul est caractérisé par la donnée de trois éléments :

unedirection, unsenset unelongueur(appelée aussinorme). Pour dessiner un vecteur, on choisit un point à partir duquel on trace une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. de même directionde même sensde même longueur Unvecteur nulest un vecteur de longueur zéro. Sa direction et son sens ne sont pas définis. Un tel vecteur se dessine à l"aide d"un point. On note généralement les vecteurs à l"aide de minuscules surmontées d"une flèche :# - a,# - b, ...,# - u,# - v, ... Pour deux pointsAetB, on note# - ABle vecteur qui peut se dessiner à l"aide d"une flèche joignantAàB.

Le vecteur nul est noté

# - 0. Pour tout pointP, on a# - PP"# - 0. 1

2 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES

Définition:On noteV2l"ensemble de tous les vecteurs du plan etV3l"ensemble

de tous les vecteurs de l"espace.3 critères:Citons trois critères exprimant l"égalité entre deux vecteurs :

AB"# - DCðñABCDest un parallélogramme (éventuellement dégénéré). ðñLa translation qui envoieAsurBenvoie aussiDsurC. ðñLes segmentsrACsetrBDsont le même point milieu. De cette manière, un vecteur peut être considéré comme unensemble de flèchesqui ont : a)même direction, b)même sens, c)même longueur. Généralement, on dessine un tel vecteur à l"aide d"une seuleflèche, appeléereprésentant.Exemple 1: SoitABCDun parallélogramme. Regrouper tous les représentants de chaque vecteur que l"on peut définir à l"aide des lettres de cette figure. CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 3 Exercice 1.1:Pour chaque paire de flèches, dire si elles sont le représentant d"un même vecteur ou pas. Justifier vos réponses en termes de : "direction" "sens" et "longueur". a)b) c)d)

Exercice 1.2:

Donner un représentant pour chaque vecteur pouvant se définir à l"aide des sommets de chacune des figures ci-dessous. a)ParallélogrammeABCDEFb)Pyramide à base carréeABE DC Dans la figure qui suit, donner le nombre de représentants différents que l"on peut définir à l"aide des différentes lettres. c)Hexagone régulierOAEF BD C

4 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES

1.1.2 Opérations sur les vecteurs du plan ou de l"espace

Définition:Soit# - aet# - bdeux vecteurs.

'Lasomme(addition)# - a`# - b:On choisit un pointA, et l"on note parBle point tel que# - AB"# - aet parCcelui pour lequel# - BC"# - b.

Ainsi # - a`# - b"# - AC: 'L"opposé´# - ade# - a: On choisit un pointA, on note parBle point tel que# - a"# - AB. Ainsi, le vecteur opposé, noté´# - a, sera défini par :´# - a"# - BA. 'Ladifférence(soustraction)# - a´# - b: À l"aide de ce qui précède, on définit lasoustractionpar : a´# - b"# - a` p´# - bqExercice 1.3: a)Construire la somme des trois vecteurs ci-dessous. b) Représenter trois vecteurs non nuls, n"ayant pas la même direc- tion, et dont la somme est le vecteur nul.# - a# - b# - c CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 5 Exercice 1.4:Construire dans chacun des deux cas le vecteur demandé.# - a# - c# - b# - a# - b# -

ca)le vecteur# - v"# - a`# - b`# - cb)le vecteur# - w"# - b´# - c`# - ac)le vecteur# - z"# - a´ p# - b`# - cqd)le vecteur# - xtel que# - x`# - a"# - b

6 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES

Propriétés:

Michel Chasles

(1793 - 1880)Pour tous pointsA,BetC, on a : # - AB`# - BC"# - AC(règle de Chasles)

´ # - AB"# - BA

Quels que soient les vecteurs

# - a,# - bet# - c, on a : # - a`# - b"# - b`# - a(commutativité) p # - a`# - bq `# - c"# - a` p# - b`# - cq(associativité) # - a`# - 0"# - a(# - 0est élément neutre)

# - a` p´# - aq "# - 0(´# - aest l"opposé de# - a)Justification:Les deux premières égalités découlent immédiatement des définitions.

Les autres sont illustrées ci-dessous :

'commutatitivé :# - a# - b# - b# - a# - a`# - b# - b`# - a'associativité :# - a`# - b# - b`# - c# - b# - ap # - a`# - bq `# - c# - a` p# - b`# - cq# - c'élément neutre : évident. 'opposé :# - a´ # - a CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 7 Exemple 2:SoientA,B,C,Ddes points quelconques de l"espace. Simplifier l"expression :# - AC´# - AD`# - CB´# - DBExercice 1.5: SoitA,B,C,DetEdes points quelconques du plan ou de l"es- pace. En utilisant la règle de Chasles, simplifier le plus possible les expressions suivantes : a) # - BD`# - AB`# - DCb)# - BC`# - DE`# - DC`# - AD`# - EB c)

# - DA´# - DB´# - CD´# - BCd)# - EC´# - ED`# - CB´# - DBExercice 1.6:

On considère le parallélépipèdeABCD EFGHreprésenté sur la figure. Exprimer plus simplement les vecteurs suivants : a) # - a"# - AB`# - FG b)# - b"# - AG`# - CD c) # - c"# - EB`# - CA d)# - d"# - EH`# - DC`# - GA e) # - e"# - AH`# - EB f)# - f"# - AB`# - CC`# - BH`# - GFDAEH CBGF

8 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES

Définition:Soit# - aun vecteur etkun nombre réel. Le vecteurk¨# - a(que l"on peut également écrirek# - a) est défini par : a)la direction du vecteur# - a, b)le sens du vecteur# - asiką0et le sens opposé sikă0, c) une longueur égale au produit de celle du vecteur# - apar la valeur absolue dek.Propriétés: Quels que soient les vecteurs# - a,# - bet les nombres réelsk,m, on a : 'kp# - a`# - bq "k# - a`k# - b' p´1q# - a" ´# - a ' pk`mq# - a"k# - a`m# - a'kp´# - aq " p´kq# - a" ´pk# - aq 'kpm# - aq " pkmq# - a'0# - a"# - 0 '1# - a"# - a'k# - 0"# - 0Exercice 1.7: Reproduire le vecteur# - vdans votre cahier puis construire (règle et compas) les vecteurs : a"12 # - v# - v# - b" ´3# - v# - v# - c" ´35 # - v# - v# - d"?2 # - v# - v# - e"?3 # - v# - v CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 9 Exercice 1.8:Représenter le pointPpour lequel les égalités vectorielles ci-dessous sont vérifiées : a) # - AP" ´3# - ABA Bb) # - PA"12 # - ABA B c) # - AP" ´2# - PBA Bd) # - PA" ´12 # - PBA B Exercice 1.9:Reprendre les vecteurs de l"exercice 1.4 et représenter le vecteur : v"# - a`2# - b´32

# - cDéfinition:On dit que le vecteur# - aestcombinaison linéairedes vecteurs# - e1, ...,# - en, s"il existe des nombres réelsa1, ...,antels que :

a"a1# - e1`...`an# - en Les nombresa1,...,ans"appellent lescoefficientsde la combinaison linéaire.

10 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES

Exemple 3:Construire ci-dessous les vecteurs# - vet# - wdéfinis par les combinaisons linéaires suivantes : v"3# - a´32 # - bet# - w"2# - a`# - b# - b# - a Exprimer ensuite les vecteurs# - aet# - bcomme combinaisons linéaires des vecteurs# - vet# - w.

Exemple 4:

Décomposer graphiquement le vecteur# - xcomme combinaison li- néaire des vecteurs# - aet# - b.# - a# - b# - x CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES 11 Exercice 1.10:Par rapport aux vecteurs de la figure ci-dessous : a)Exprimer# - cpuis# - dcomme combinaison linéaire de# - aet# - b. b)On considère le vecteur# - x" ´12 # - c´5# - d.

Exprimer

# - xcomme combinaison linéaire de# - aet# - b. c)Exprimer# - apuis# - bcomme combinaison linéaire de# - cet# - d.# - d# - b# - c# - aExercice 1.11:SoitABCD EFGHun cube pour lequel on pose :

# - a"# - AB,# - b"# - ADet# - c"# - AE.SoitMle milieu derFGs,Ncelui derHGsetPle centre deABCD.

Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires de# - a,# - bet# - c:# - EP,# - EM,# - EN,# - NM,# - PN,# - NP,# - PMExercice 1.12:SoitABCDun parallélogramme pour lequel on pose :

# - a"# - ABet# - b"# - AD. SoitMle milieu derBCsetPun point tel que# - PA" ´2# - PC. Exprimer les vecteurs# - PB,# - PMet# - DMcomme combinaisons li- néaires de# - aet# - b.Exercice 1.13: Représenter un carréOABC, puis construire les pointsE,F,Get

Htels que :

# - AE"# - AC`# - BC,# - AF"12 # - AO´# - OC

CG"2# - CB`12

# - BO,# - OH" ´?2 # - OB

12 CHAPITRE 1. VECTEURS, COMPOSANTES - POINTS, COORDONNÉES

Exercice 1.14:Exprimer# - ven fonction de# - aet de# - bsi :quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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