[PDF] DIVISIBILIT´E. DIVISION EUCLIDIENNE

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DIVISIBILIT´E. DIVISION EUCLIDIENNE

Table des mati`eres

1 Divisibilit´e dansZ2

1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.2 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

1.4.1 Montrons que la somme de 3 entiers cons´ecutifs est divisible par3 . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 D´eterminons les entiersntels que 2n3 divisen+ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.3 Trouvons les diviseurs communs possibles aux entiers a et b lorsquea= 9k+ 2 etb= 12k+ 1,

aveckentier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Division Euclidienne4

2.1 Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

2.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 4

2.3 Algorithme de recherche des diviseurs d"un entier . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5

2.4.1 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de (n+2)2par

n+ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

2.4.2 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de 2n2+npar

n+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

2.4.3 Montrons que pour tout n entier relatif, l"entierN=n(n2+ 5) est divisible par 3. . . . . . . . 6

2.4.4 Montrons que pour tout entier naturelnl"entierN= 4n1 est divisible par 3 . . . . . . . . 6

1

Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes

1 Divisibilit´e dansZ

1.1 D´efinition

Soitaetbdeux entiers relatifs.

On dit quebdiviseaou queaest un multiple deb, s"il existe un entier relatifktel quea=kb.

Exemple 1

3 divise 12 car 12=43

Notationsbdivisease noteb/a. L"ensemble des multiples debest not´ebZ. On a alorsbZ=...3b,2b,b,0,b,2b,3b...

Exemple 2

L"ensemble des multiples de3est 3Z=...18,15,12,9,6,3,0,3,6,9,12,15,18...

Remarques :

0 est divisible par tout entier relatifa: 0 =a0 Tout entier relatifaest divisible par 1 ou1 :a=a1 ou

a= (a)(1)

1.2 Th´eor`eme

Soita, betctrois entiers relatifs.

Siadivisebetc, alorsadivise toute combinaison lin´eairebu+cv, o`uuetvsont des entiers relatifs.

En particulieradiviseb+cou encoreadivisebc.

D´emonstration 1

Siadivisebetcalors il existe deux entiers relatifsketktels queb=kaetc=ka.

Et doncbu+cv=kau+kav= (ku+kv)a.

1.3 Propri´et´es

Siadivisebetbdiviseaalorsa=boua=b.

Siadivisebetbdivisecalorsadivisec( transitivit´e )

D´emonstration 2

Siadivisebalors il existe un entier relatifktel queb=ka et de mˆeme sibdiviseail existe un entier relatifktel quea=kb. D"o`uab= (kb)(k a) =k kabsoitk k= 1, et donck=k= 1ouk=k=1. Siadivisebetbdivisecalors il existe deux entiers relatifsketktels queb=kaetc=kb.

D"o`uc=kkaet doncadivisec

Arithm´etique 1Page 2Francis Rignanese

Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes

1.4 Exemples

1.4.1 Montrons que la somme de 3 entiers cons´ecutifs est divisible par 3

3 entiers cons´ecutifs peuvent s"´ecriren1, netn+ 1 o`unest lui-mˆeme un entier.

On a alors (n1) +n+ (n+ 1) = 3n. CQFD

1.4.2 D´eterminons les entiersntels que2n3divisen+ 5

Sinest tel que 2n3 divisen+ 5 alors 2n-3 divise 2(n+ 5) = 2n+ 10 ou encore (2n+ 10)(2n-3) = 13 .

Or les diviseurs de 13 sont13,1,1 et 13.

On devrait donc avoir :

soit 2n3 =13 d"o`un=5 soit 2n3 =1 d"o`un= 1 soit 2n-3 = 1 d"o`un= 2 soit 2n-3 = 13 soitn= 8.

Nous avons agi par implication ( si...........alors ) nous devons v´erifier la r´eciproque En effet nous avons trouv´e

des valeurs de n tels que 2n-3 divise la diff´erence (2n+ 10)-(2n-3).

Or nous savons que si un entiers divise une diff´erence il ne divise pasn´ecessairement chaque terme de cette diff´erence

( 2 divise 7 - 3 mais ne divise ni 7, ni 3 ) Il faut donc v´erifier que les valeurs trouv´ees pournsont bien solutions. Sin=5,2n3 =13, n+ 5 = 0 et -13 divise 0 : 0 = 0(13)

Sin= 1,2n3 =1, n+ 5 = 4 et -1 divise 4 : 4 =4(1)

Sin= 2,2n3 = 1, n+ 5 = 7 et 1 divise 7

Sin= 8,2n3 = 13, n+ 5 = 13 et 13 divise 13.

1.4.3 Trouvons les diviseurs communs possibles aux entiersa et b lorsquea= 9k+ 2etb= 12k+ 1,

aveckentier Notonsdun diviseur commun `aaetb. Siddiviseaetbalorsddivise 4a-3b= 4(9k+ 2)-3(12k+ 1) = 5

Doncd=5 oud=1 oud= 1 oud= 5.

Nous ne v´erifions pas la r´eciproque puisque nous r´epondons `a d"´eventuelles solutions

Arithm´etique 1Page 3Francis Rignanese

Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes

2 Division Euclidienne

2.1 Th´eor`eme

Soitaun entier relatif etbun entier naturel non nul. Il existe un couple d"entiers unique (q;r), q´etant un entier

relatif etrnaturel, tel que a=bq+ravec 0r < b

Exemple 3

Sia= 21etb= 5,(q;r) = (4;1)car21 = 54 + 1

D´emonstration 3

Nous d´emontrons l"existence du couple(q;r)puis son unicit´e.

1. Existence :

SoitbZ=...3b,2b,b,0,b,2b,3b...,l" ensemble des multiples deb. SiabZalors il existe un entier relatifqtel quea=bqet icir= 0. SiabZalors on peut encadreraentre deux ´el´ements debZ. On ´ecritbq < a < b(q+ 1) On r´esume les deux cas pr´ec´edents en ´ecrivantbqa < b(q+ 1)soit0abq < b. En posantr=abq(rd´esignant la distance entreaetbq) on obtienta=bq+ravec0r < b -3b -2b -b 0 b 2b 3b qb (q+1)ba

2. Unicit´e : par l"absurde

On suppose qu"il existe deux couples(q;r)e t(q;r)tels quea=bq+r=bq+r.

Et on suppose de plus par exemple quer> r.

On obtientrr=b(qq)doncrrest un multiple deb.

Or0r < bet0r< boub r <0et par additionbrr < b.

0 ´etant le seul multiple de b compris entre -b et b, on en d´eduit que r" - r = 0 d"o`u r = r" et q = q ".

2.2 D´efinitions

Soitaun entier relatif et b un entier naturel non nul.

Arithm´etique 1Page 4Francis Rignanese

Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes

Effectuer la division euclidienne deaparbc"est d´eterminer l"unique couple (q,r) tel que a=bq+ravec 0r < b aest le dividende,ble diviseur,qle quotient etrle reste.

Exemple 4

Sia= 356etb= 17on a356 = 1720 + 16soitq= 20etr= 16 Sia=356etb= 17on a356 = 17(21) + 1soitq=21etr= 1il ne faut pas perdre de vue que le reste d´esigne une distance donc est toujours positif.

Sia= 356etb=17on a356 =17(20) + 16soitq=20etr= 16

Ici nous envisageons un cas plus g´en´eral que celui ´etudi´e pr´ec´edemment car b est n´egatif,0r

2.3 Algorithme de recherche des diviseurs d"un entier

D´ebut

Lire N

d1

Tant qued?Nfaire

RReste (N/d)

SiR= 0 alors ´ecrire d. Fsi

dd+ 1 Ftq FIN

2.4 Exemples

2.4.1 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de(n+2)2par

n+ 4 (n+ 2)2=n2+ 4n+ 4 = (n+ 4)n+ 4 avec 0?4< n+ 4

2.4.2 n d´esignant un entier naturel non nul, quel est le reste de la division euclidienne de2n2+npar

n+ 1

2n2+n= (n+ 1)(2n1) + 1 avec 0?1< n+ 1

Arithm´etique 1Page 5Francis Rignanese

Divisubilit´eLyc´ee Marie Curie de Tarbes

2.4.3 Montrons que pour tout n entier relatif, l"entierN=n(n2+ 5)est divisible par 3.

M´ethode exhaustive ou de disjonction des cas

Les restes possibles dans la division euclidienne denpar 3 sont 0, 1, 2. Donc tout entierns"´ecrit de l"une des

fa¸cons suivantes : 3k, 3k+ 1, 3k+ 2. Sin= 3kalorsN=n(n2+ 5) = 3k?(3k)2+ 5?, et doncNest divisible par 3. Sin= 3k+1 alorsN=n(n2+5) = (3k+ 1)?(3k+ 1)2+ 5?= (3k+ 1)?9k2+ 6k+ 1 + 5?= (3k+ 1)?9k2+ 6k+ 6? D"o`uN= 3(3k+ 1)?3k2+ 2k+ 2?, et doncNest divisible par 3. Sin= 3k+2 alorsN=n(n2+5) = (3k+ 2)?(3k+ 2)2+ 5?= (3k+ 2)?9k2+ 12k+ 4 + 5?= (3k+ 2)?9k2+ 12k+ 9? D"o`uN= 3(3k+ 2)?3k2+ 4k+ 3?, et doncNest divisible par 3.

Conclusion les 3 cas pr´ec´edents permettent de dire que pour tout entier relatifn,Nest divisible par 3.

2.4.4 Montrons que pour tout entier naturelnl"entierN= 4n1est divisible par 3

Par r´ecurrence

Soit la propri´et´ePn:N= 4n1 est divisible par 3. - Pourn= 0, N= 401 = 11 = 0 Et 0 est divisible par 3. Donc la propri´et´e est vraie pourn= 0.

- On suppose la propri´et´e vraie au rangnet montrons qu"elle est alors vraie au rangn+ 1,autrement dit

montrons que 4 n+11 est divisible par 3 . 4 n+11 = 4n41 = 4n44 + 3 = 4(4n1) + 3. Or 4 n1 est divisible par 3 (hypoth`ese de r´ecurrence) et 3 aussi donc,4n+11 est divisible par 3.

- On a montr´e que la propri´et´e est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rangnelle est aussi au rangn+1 .

Cette propri´et´e est donc vraie pour toutnentier naturel

Arithm´etique 1Page 6Francis Rignanese

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