DIVISIBILIT´E. DIVISION EUCLIDIENNE
1.4.2 Déterminons les entiers n tels que 2n ? 3 divise n + 5 . pour tout entier naturel n l'entier N = 4n ? 1 est divisible par 3 . . . . . . . . 6.
Contrôle : divisibilité division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n +5 divise 3n +4. E 3 . correction. 1. n ? N effectuer la division euclidienne
TSspémaths TS spé maths
Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4 Démontrer que pour tout entier relatif m on a 27m ? 5 ? m ? 5 [26].
n3 + 5 2 Corrigé
(d) en colonne 4 : le message "oui" lorsque n + 5 divise n3 + 5 et un message vide sinon. 2. Relever la liste des entiers naturels (non nuls) obtenus.
Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2010
2) Déterminer l'ensemble des entiers n tels que n + 2 divise 5n3 – n. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 5 on considère les nombres :.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Tous les diviseurs de 60 sont : 1 2
Contrôle de mathématiques
D810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90; 135; 162; 270; 405; 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5 ****. Montrer que pour tout entier naturel n
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Exercice 2 (Saint-Petesbourg 04) Déterminer tous les entiers positifs n tels que 5n?1 +. 3n?1 divise 5n + 3n. Exercice 3 Montrer que pour tout entier n
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Arithmétique : nombres premiers et division euclidienne. 4. 2. Déterminer les entiers relatifs n tels que 2n + 3 divise 12.
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Déterminer les entiers relatifs n tels que 2n + 3 divise n ? 5 3 n est un entier naturel a = 9n + 2 et b = 12n + 1 Prouver que les seuls diviseurs positifs
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n + 5 divise n3 + 5 et divise n + 5 donc n + 5 divise la combinaison linéaire à coefficients entiers (CLCE) suivante de ces deux entiers : (n3 + 5) ? n2(n +5)=
Divisibilité dans Z ! aider moi svp exercice de arithmétique - 15024
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Déterminer les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles n?7 divise n2?n?24 Corrigé en vidéo Exercices 9: Raisonnement par récurrence et Arithmétique -
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On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divi- sibles par 7 a) Vérifier que 103 ? ?1(modulo 7) On a : 1001 = 7 × 143
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Donc il existe un entier relatif l = mk + nk' tel que ma + nb = lc Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N
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1 4 2 Déterminons les entiers n tels que 2n ? 3 divise n + 5 pour tout n entier relatif l'entier N = n(n2 + 5) est divisible par 3 6
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TS spécialité mathssujet 43 2007-2008-version 11 Recherche des entiers naturelsntels quen+ 5|n3+ 5
1. Décrire les form ulesà utiliser dans une feuille de tableur qui con tiendrait: (a) en colonne 1 : les en tiersnde 1 à 500; (b) en colonne 2 : les en tiersn+ 5; (c) en colonne 3 : les en tiersn3+ 5; (d) en colonne 4 : le message "oui" lorsqu en+ 5divisen3+ 5et un message vide sinon. 2. Relev erla liste des en tiersnaturels (non n uls)obten us. 3. Cette liste con tient-elletous les en tiersstri ctementp ositifsntels quen+ 5|n3+ 5? Démontrer.2 Corrigé
1.F euilletableur (Op enOffice Calc) : ABCDE
1Valeur denValeur den+ 5Valeur den3+ 5Test
21=A2 + 5=A2?3 + 5=SI(MOD(C2;B2)=0;"oui";"")
32=A3 + 5=A3?3 + 5=SI(MOD(C3;B3)=0;"oui";"")
43=A4 + 5=A4?3 + 5=SI(MOD(C4;B4)=0;"oui";"")
..La fonction MOD(cellule1; cellule2) renvoie le reste de la division euclidienne du contenu de la cellule1 par le
contenu de la cellule2 et vaut donc 0 lorsque l"entier de la cellule2 divise l"entier de la cellule1.
2.La liste obten ue:
L={1;3;5;7;10;15;19;25;35;55;115}
3. (a)Soit nun entier vérifiantn+ 5|n3+ 5.
n+ 5divisen3+ 5et divisen+ 5doncn+ 5divise la combinaison linéaire à coefficients entiers (CLCE)
suivante de ces deux entiers :(n3+ 5)-n2(n+ 5) = 5-5n2. n+5divise5-5n2et divisen+5doncn+5divise la CLCE suivante de ces deux entiers :(5-5n2)+5n(n+5) =25n+ 5.
n+5divise25n+5et divisen+5doncn+5divise la CLCE suivante de ces deux entiers :(25n+5)-25(n+5) = -120. On recherche donc les entiersnvérifiantn+ 5|n3+ 5parmi les entiersntels quen+ 5est un diviseur de 120.Commenest un entier naturel non nul, on an >0etn+ 5>6.
Les diviseurs de 120 supérieurs ou égaux à 6 sont les suivants : 6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120.
En enlevant5, on en déduit que sinvérifien+ 5|n3+ 5alorsn?L. D"après les calculs faits à la machine, tous ces entiers sont effectivement solutions. Ainsi la liste des solutions est exactement la listeL. (b)P ourréduire la rec hercheaux diviseurs de 120, on p eutaussi utiliser un logiciel de calcul formel.
Avec le logiciel Maxima, on entre la ligne suivante : divide(n^3+5, n+5);Le logiciel renvoie :
[n2-5n+ 25,-120] ce qui signifie que l"on a : n3+ 5 = (n+ 5)?n2-5n+ 25?-120
Un entierntel quen+ 5divisen3+ 5divise la CLCE?n3+ 5?-?n2-5n+ 25?(n+ 5) =-120et on poursuit comme précédemment. Les heureux possesseurs de la ti 89 peuvent aussi essayer ceci : expand((x^3+5)/(x+5))j2m TS spécialité mathssujet 43 2007-2008-version 1ou encore ceci : propFrac((x^3+5)/(x+5)) cette sympathique petite machine renvoie : -120x+ 5+x2-5x+ 25 ce qui s"interprète comme ci-dessus.3 Calculatrice
La partie test des capacités logiciels devient plus intéressante si un programme sur calculatrice est imposé : utilisation
d"une boucle et d"un test conditionnel.TraitementPournallant de1à500Sin+ 5divisen3+ 5Alors affichernFinSiFinPour
Ce que l"on peut aussi écrire :
TraitementPournallant de1à500SiE?n3+ 5n+ 5?
=n3+ 5n+ 5Alors affichernFinSiFinPourSur machine :Ti
For(N,1,500)If int((N?3 + 5)/(N+ 5)) = (N?3 + 5)/(N+ 5)ThenPauseNEnd
EndCasio
For 1-→NTo 500If Intg((N?3 + 5)÷(N+ 5)) = (N?3 + 5)÷(N+ 5)ThenNIfEnd NextUn exemple de fonction sur ti 89 :
Ti 89 obelix(n) FuncLocal i,liste
{0}→listeFor i,1,n If (i?3+5)/(i+5)=floor((i?3+5)/(i+5)) Thenaugment(liste,{i})→listeEndIfEndFor
Return liste
EndFunc
obelix(500) renvoie la liste demandée (avec 0 qui n"est pas demandé dans l"énoncé mais qui est bien solution).
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