Fonctions de deux variables
A deux variables c'est pareil sauf que la dérivée est remplacée par le gradient. Définition. Les points critiques d'une fonction f de deux variables sont
Math2 – Chapitre 2 Dérivées Taylor
http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/Math2/Math2-diapo-chapitre2-handout.pdf
LA DÉRIVÉE SECONDE
La rubrique précédente nous a permis d'analyser une fonction par sa dérivée première. Les points stationnaires critiques
Exercice 1. Déterminer tous les points critiques (les points où ?f (x
(comme la fonction est de classe C2 les dérivées secondes croisées sont égales) . Maintenant exprimons xy en fonction de u et de v en remarquant que u2?v2 = (
OPTIMISATION À UNE VARIABLE
Points stationnaires et points critiques . point critique si la dérivée de s'existe pas en ce point. Exemple. / ? ?.
Diapositive 1
ii) Point critique : point où la dérivée n'existe pas ii) Comment identifier les points critiques et leur nature? Identification? cas 1 : dérivée tend ...
Fonctions de plusieurs variables
Calculer les deux premi`eres dérivées f/ et f// de f. Vérifier que f a trois points critiques : un minimum local un maximum local et un point critique dégénéré
Chapitre 10. Fonctions de deux variables réelles
Si f admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à x en tout point de Pour chaque point critique il faudra vérifier si c'est un extremum ou non.
TRACER LE GRAPHE DUNE FONCTION
La valeur de la fonction aux points stationnaires critiques et à ceux pour lesquels point critique puisque la dérivée est bien définie pour tout .
Cours 14
dérivée seconde et positive et ou elle est négative. Ce qui nous amène à parler des points critiques non pas de la fonction mais de sa dérivée.
[PDF] Exercice 1 Déterminer tous les points critiques (les points où ?f
Déterminer tous les points critiques (les points où ?f ?x (x y) = ?f ?y (x y)=0) de la fonction f(x y) = xy(x + y ? 1) Réponse : comme f(x
[PDF] Fonctions de deux variables
Définition Les points critiques d'une fonction f de deux variables sont les points o`u son gradient s'annule Page 13 Points critiques : exemples Exemple
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En un point critique la fonction f a un plan tangent horizontale Si le point n'est pas un extremum local quelle est la forme de f ? Définition – Soit pabq
[PDF] TD4 – Extrema libres Exercice 1 Trouver les points critiques et
Exercice 1 Trouver les points critiques et discuter leur nature pour f : R2 ? R a) f(x y)=(x ? 1)2 + 2y2 b) f(x y)=2x3 ? 6xy + 3y2
[PDF] Introduction `a la Théorie des Points Critiques
Dérivées et points critiques Il existe plusieurs notions de dérivées pour des fonctions définies sur des espaces de Banach Nous commençons par celle de la
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On recherche les points critiques donnés par l'équation f ?(x) = 0 2 Pour chaque point critique x0 on calcule la dérivée seconde :
[PDF] Extremums locaux gradient fonctions implicites - Exo7
f(xy) = x3 +2xy2 ?y4 +x2 +3xy+y2 +10 au point critique (00) Indication ? Correction ? [002641] Exercice 2 Trouver les points critiques de
[PDF] Dérivées dordres supérieurs Application à létude dextrema
et un point critique qui n'est pas un extremum local On suppose maintenant que f est de classe C2 et que a est un point critique de f D'après la formule de
[PDF] Chapitre 10 Fonctions de deux variables réelles
Si f admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à x en tout point de R2 tion la réciproque est fausse; il peut exister des points critiques de f
[PDF] Feuille dexercices n°13 : Fonctions réelles de deux variables réelles
f(x y)=2x2 + 2y2 + 2xy ? x ? y 1 a) Calculer les dérivées partielles premières de f b) En déduire que le seul point critique de f est A =
![[PDF] Fonctions de deux variables [PDF] Fonctions de deux variables](https://pdfprof.com/Listes/17/59060-17deuxvar.pdf.pdf.jpg)
Fonctions de deux variables
D´edou
Mai 2011
D"une `a deux variables
Les fonctions mod`elisent de l"information d´ependant d"un param`etre. On a aussi besoin de mod´eliser de l"information d´ependant de plusieurs param`etres, et c"est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu"on sait faire pour les fonctions d"une variable s"´etend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir.Exemple de fonctions de deux variables
Comme les fonctions d"une variable, celles de deux variables s"´ecrivent avec "?→". En voici une :d:= (x,y)?→ |x-y|. Je l"appelledparce que d(x,y) est la distance entrexety. En voici une autre :p:= (R,R?)?→RR?R+R?. C"est la fonction qui donne la r´esistance d"un montage en parall`ele de deux r´esistances. C"est pour ¸ca que j"ai appel´e les variablesRetR?, mais j"aurais aussi bien pu ´ecrire la mˆeme fonction (x,y)?→xyx+y.Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables.Domaine de d´efinition
Certaines fonctions sont d´efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d"autres non. On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications deR2dansR?, ce qui permet de d´efinir le domaine de d´efinition par la formule :DDf:={(x,y)?R2|f(x,y)?=?}.Exemple
Posonsf:= (x,y)?→ln(x-y2)-2?y-x2.
C"est une partie du plan et ¸ca se dessine.Exo 2Dessinez le domaine de d´efinition de
f:= (x,y)?→xln(x+y)-y⎷y-x.Graphe
Le grapheGrfd"une fonctionfde deux variables, c"est une partie deR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z)?R3|z=f(x,y)}.Exemple
a) Le graphe de (x,y)?→x+y+ 1 est le plan passant par (0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2). b) Le graphe de (x,y)?→?1-x2-y2est "l"h´emisph`ere nord" de la sph`ere unit´e.Ca se dessine ou se visualise.D´eriv´ees partielles
Pour une fonction de deux variables, il y a deux d´eriv´ees, une "par rapport `ax" et l"autre "par rapport `ay". Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) : (a,b)?→(x?→f(x,b))?(a) (a,b)?→(x?→f(a,x))?(b). La premi`ere est not´eef?xou parfois∂f∂xet la seconde est not´eef?y ou parfois ∂f∂y. On a donc f ?x(a,b) = (x?→f(x,b))?(a)f?y(a,b) = (x?→f(a,x))?(b).Calcul de la premi`ere d´eriv´ee partielle
Pour calculer la premi`ere d´eriv´ee partielle, on consid`ereycomme un param`etre et on d´erive comme d"habitude.ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?x(x,y) =y-ysinxy.Exo 3Calculezf?x(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Calcul de la seconde d´eriv´ee partielle
Pour calculer la seconde d´eriv´ee partielle, on consid`erexcomme un param`etre et on d´erive "eny".ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?y(x,y) =x+ 2y-xsinxy.Exo 4Calculezf?y(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Le gradient
Si on met les deux d´eriv´ees partielles ensemble, on obtient le gradientdef, qu"on note?f, ce qui se lit aussi "nablaf" :Posonsf:= (x,y)?→xy+y2.On af?x(x,y) =yet
f ?y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc (10,23).Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)?→xey-3yx2en (1,1).Le dessin du gradient
Le gradient?f(M) defau pointMest un ´el´ement deR2qu"on voit comme un vecteur. Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u on veut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voir l"origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a un gradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradient d"une fonction est un "champ" de vecteurs.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+ 2y2, on a?f(2,1) = (4,4) et ¸ca se dessine.Exo 6Pourf:= (x,y)?→xy-y2, dessinez?f(1,1).
Le sens du gradient
A une variable, la d´eriv´ee dit dans quel sens varie la fonction et `a quelle vitesse : plus la d´eriv´ee est grande, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation"). A deux variables, le gradient pointe dans la direction o`u la fonction augmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation").Points critiques
On a compris qu"une fonction d´erivable d"une variable atteint ses bornes l`a o`u sa d´eriv´ee s"annule (ou au bord de son DD). A deux variables c"est pareil, sauf que la d´eriv´ee est remplac´ee par le gradient.D´efinition Les points critiques d"une fonctionfde deux variables sont les points o`u son gradient s"annule.Points critiques : exemples
Exemple
Les points critiques def:= (x,y)?→x3-3x+y2sont ceux qui v´erifient les deux ´equations 3x2-3 = 0 et 2y= 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (-1,0).Exo 7 Trouver les points critiques def:= (x,y)?→x2-4x+y3-3y.Courbes de niveau
Les courbes de niveau d"une fonctionfde deux variables sont les lieux o`ufest constante, il y en a une par valeur prise : Niv c:={M?R2|f(M) =c}.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etcpositif, la courbe de niveaucest le cercle de rayon⎷ccentr´e en l"origine.Courbe de niveau par un point
SiAest un point du domaine de d´efinition def, il y passe une courbe de niveau def, celle de niveauf(A). L"´equation de la courbe de niveau defpassant parAest f(M) =f(A).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation de la courbe de niveau passant parAestx2+y2= 25 , c"est donc le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine.Exo 8 Pour la mˆeme fonction, quelle est la courbe de niveau passant par (1,2)?Courbe de niveau et gradient
L`a o`u le gradient est non nul, il est perpendiculaire `a la courbe de niveau. Autrement dit, la tangente `a la courbe de niveau est perpendiculaire au gradient. "Pour monter (ou descendre) le plus vite, il faut partir perpendiculairement `a la courbe de niveau".Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), la courbe de niveau passant parAest le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine. Et on a ?f(3,4) = (6,8), qui est bien proportionnel au rayon.Plan tangent au graphe
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"´equation de la tangente au graphe au point (a,f(a)) est y=f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"´equation du plan tangent au point (a,b,f(a,b)) est z=f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation du plan tangent est z= 25 + 6(x-3) + 8(y-4).Approximation lin´eaire
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"approximation lin´eaire au pointaest la fonction dont le graphe est la tangente, `a savoir : x?→f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"approximation lin´eaire au point (a,b) est la fonction dont le graphe est le plan tangent, `a savoir : (x,y)?→f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exo 9 Calculez l"approximation lin´eaire def:= (x,y)?→x2+y2enA:= (3,4).
D´eriv´ees partielles sup´erieures
Pour faire des approximations quadratiques et autres, il faut des d´eriv´ees sup´erieures. Bien entendu, on peut par exemple d´eriver deux fois, et ce de quatre fa¸cons. Ces quatre d´eriv´ees sont not´eesf??x2,f??xy,f??yx,f??y2sauf que les deux du milieu sont toujours ´egales, donc on n"´ecrit jamaisf??yx.Exo 10 Calculezf??xyetf??yxpourf:= (x,y)?→exy+xsiny.Extrema
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle;alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du
rectangle, soit en des points critiques.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→x2+y2-2x-4ysur le On af(x,y) = (x-1)2+ (y-2)2-5. On voit qu"elle atteint son maximum en (3,5) qui est sur le bord du rectangle, et son minimum (-5) en (1,2) qui est un point critique.Exo 11Trouver le maximum et le minimum de la fonction
f:= (x,y)?→x2+y2-3x-3ysur le rectangle d´efini par les deuxInterm`ede : mauvaise foi
On a dit :
Sifest une fonction d´erivable sur un rectangle, alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du rectangle, soit en des points critiques.Exo 12 Donner une interprˆetation fausse (et de mauvaise foi!) de cet´enonc´e.
Extrema sur le bord
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle.On trouve les extrema defsur le bord du rectangle en examinant
les quatre cˆot´es, et en gardant le meilleur de ce qu"on trouve.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur le Cette fonction est nulle sur deux des quatre cˆot´es du rectangle. Sur le bord d"en haut, on a la fonctionx?→2x+ 2x3qui est croissante et varie de 0 `a 4. Sur le bord de droite, on a la fonction y?→y2qui est croissante et varie de 0 `a 4. Donc, sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4.Extrema tout court : exemple
Exemple
On consid`ere encore la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur Sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4. Pour trouver le minimum de cette fonction sur tout le rectangle, on calcule ses points critiques, qui sont d´efinis par y2-y+ 3x2y= 2xy-x+x3= 0.En dehors des axes, on trouve
y+ 3x2= 1 et 2y+x2= 1 En r´esolvant ce syst`eme, on trouve, dans notre rectangle, le point critique ( 25,1⎷5 En ce point,fprend la valeur n´egative10⎷5-42125 ⎷5 qui est donc son minimum.
Extrema tout court : exercice
Exo 13
Calculer le maximum et le minimum de
f:= (x,y)?→2xy2-xy+x3ysur le mˆeme rectangle d´efini par lesquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] on prépare un volume v=0.200 l d'une eau iodée
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