[PDF] Diapositive 1 ii) Point critique : point où

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Modélisation et optimisation 1-611-09

Séance 1

variable Plan

1.1 Introduction

1.3 Nature des optima locaux

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 2 HEC Montréal

1.1 Introduction

Cours 1-611-09 3

f atteint un maximum absolu en Ax* si )()(*xfxf Ax f atteint un minimum absolu en Ax* si )()(*xfxf Ax f admet un maximum local en Ax* si )()(*xfxf Ax voisin de *x f admet un minimum local en Ax* si )()(*xfxf Ax voisin de*x. HEC Montréal

1.1 Introduction

Cours 1-611-09 4 -100

0 100
200
300
400
500
600
-6-4-202468x f(x)

Optimum Minimum ou maximum Local ou absolu

x = -6 x = -4 x = 2 x = 8

HEC Montréal

1B2 FRQGLPLRQV G·RSPLPXP GX SUHPLHU

ordre

Cours 1-611-09 5

Un optimum peut se retrouver en 3 types de points : i)Bornes ii)Point critique iii)Point stationnaire Théorème 1.1 : Condition (nécessaire) d'optimum du premier ordre Si oAf: admet un optimum local en *x et si )(*xf existe, alors on a nécessairement0)(*cxf. HEC Montréal

1.3 Nature des optima locaux

Cours 1-611-09 6

i) Comment identifier les bornes et leur nature?

Identification?

Borne inférieure : ext. de gauche du domaine fermé Borne supérieure : ext. de droite du domaine fermé

Nature ?

Borne inférieure : signe de dérivée à droite Borne supérieure : signe de dérivée à gauche

HEC Montréal

1.3 Nature des optima locaux

Cours 1-611-09 7

i) Comment identifier les bornes et leur nature?

Ex 1 :

Identification?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

Nature ?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

@100,0pour 2)( xxxfHEC Montréal

1.3 Nature des optima locaux

Cours 1-611-09 8

i) Comment identifier les bornes et leur nature?

Ex 2 :

Identification?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

Nature ?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

1,5pour164)(2

34
xxx xxxxf -150 -100 -50 0 50
100
-6-4-20246

HEC Montréal

1.3 Nature des optima locaux

Cours 1-611-09 9

ii) Comment identifier les points critiques et leur nature?

Identification?

cas 1 : dérivée) cas 2 :

Nature ?

cas 1 : pas vu dans ce cours cas 2 : Comparer le signe de la dérivée à gauche et de la dérivée à droite

HEC Montréal

1.3 Nature des optima locaux

Cours 1-611-09 10

51pour122

15pour124)('

23
xx xxxxf -150 -100 -50 0 50
100
-6-4-20246 ii) Comment identifier les points critiques et leur nature?

Identification?

Nature ?

1,5pour164)(2

34
xxx xxxxfHEC Montréal

1.3 Nature des optima locaux

Cours 1-611-09 11

iii) Comment identifier les points stationnaires et leur nature?

Identification?

Trouver les points qui annulent la dérivée première (résolution

Nature ?

supérieur (sections 1.4 à 1.6) .

HEC Montréal

1B4 FRQGLPLRQV G·RSPLPXP GX VHŃRQG

ordre

Cours 1-611-09 12

Théorème 1.2 : Condition (suffisante) d'optimum du second ordre Soit *x un point stationnaire et f dérivable deux fois : si

0)(*ccxf

, alors *x est un minimum local. si 0)(*ccxf, alors *xest un maximum local. HEC Montréal

1B4 FRQGLPLRQV G·RSPLPXP GX VHŃRQG RUGUH

Cours 1-611-09 13

Ex 3 :

Identification des points stationnaires :

1B4 FRQGLPLRQV G·RSPLPXP GX VHŃRQG RUGUH

Cours 1-611-09 14

Suite ex 3 :

Nature des points stationnaires :

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200
400
600
-5-3-11357f(x) f''(x)

HEC Montréal

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 15

Théorème 1.3 : Soit

*x un point stationnaire de )(xf Si )(xf est convexe, alors *x est un minimum absolu. Si )(xf est concave, alors *x est un maximum absolu.

Théorème 1.4 : Soit

)(xf une fonction deux fois dérivable sur A. )(xf est convexe

0)(ccxf

Ax )(xf est concave 0)(ccxf, Ax. HEC Montréal

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 16

Ex 4 :

Identification des points stationnaires:

Nature des points stationnaires :

-5 0 5 10 15 20 25
-4-20246810

HEC Montréal

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 17

Ex 5 :

Identification des points stationnaires:

Nature des points stationnaires :

@8,0où)4(2)(4 xxxf

HEC Montréal

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 18

Ex 6 :

Identification des points stationnaires:

Nature des points stationnaires :

HEC Montréal

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 19

Ex 7 :

Identification des points stationnaires:

Nature des points stationnaires :

-250 -200 -150 -100 -50 0 50
100
-6-4-20246

HEC Montréal

Retour sur ex 3 :

Max local en

Min locaux en

Intervalles de convexité?

1.5 Analyse de convexité

Cours 1-611-09 20

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200
400
600
-5-3-11357f(x) f''(x)

722412)(2 ccxxxf0x6et 3 xx

HEC Montréal

1B6 FRQGLPLRQV G·RSPLPXP G·RUGUH

supérieur

Cours 1-611-09 21

Théorème 1.5 :

Soit )(xf dérivable n fois et *x un point stationnaire :

1. Trouver la première dérivée non nulle de

)(xf en *x et soit nr

2. Si r est pair alors

*x est un : maximum local si

0)(*)(xfr

minimum local si

0)(*)(xfr

Si r est impair, alors *xest un point singulier.

HEC Montréal

1B6 FRQGLPLRQV G·RSPB G·RUGUH VXSpULHXU

Cours 1-611-09 22

Fin ex 2 :

Identification des points stationnaires:

51pour122

15pour124)('

23
xx xxxxf@

1,5pour164)(2

34
xxx xxxxfHEC Montréal

1B6 FRQGLPLRQV G·RSPB G·RUGUH VXSpULHXU

Cours 1-611-09 23

Fin ex 2 :

Nature des points stationnaires :

-150 -100 -50 0 50
100
-6-4-20246

1,5pour164)(2

34
xxx xxxxf 51pour122

15pour124)('

23
xx xxxxfHEC Montréal

1B7 ePMSHV G·RSPLPLVMPLRQ

Soit une fonction f(x), suivre les étapes suivantes pour optimiser cette fonction : Étape 1 : Identification des points stationnaires

Étape 2 : Identification des points critiques

dans le domaine sans déterminer leur nature : Si la fonction possède un seul point stationnaire et

Cours 1-611-09 24 HEC Montréal

1B7 ePMSHV G·RSPLPLVMPLRQ

Étape 3 : Nature des points par la convexité Si f(x) est convexe partout, le point stationnaire est un minimum absolu et les deux bornes des maximums absolu. Si f(x) est concave partout, le point stationnaire est un maximum absolu et les deux bornes des minimums absolu.

Cours 1-611-09 25 HEC Montréal

1B7 ePMSHV G·RSPLPLVMPLRQ

Étape 4 : Nature locale des points

identifier la nature locale de chaque candidat individuellement : Borne inférieure : regarder le signe de la dérivée à droite pour déterminer si le point est un min. local ou un max. local; Borne supérieure : regarder le signe de la dérivée à gauche pour déterminer si le point est un min. local ou un max. local; Point critique : comparer les signes des dérivées à gauche et à droite pour déterminer si le point est un min. local, un max. local

Point stationnaire

supérieur (théorème 1.5) pour déterminer si le point est un min. local, un max. local ou un point singulier. Une fois la nature locale de chaque candidat identifiée, aller à

Cours 1-611-09 26 HEC Montréal

1B7 ePMSHV G·RSPLPLVMPLRQ

Étape 5 : Identification des min et max absolus Si la fonction est définie et continue partout sur le domaine et que le domaine est fermé, il suffit de calculer la valeur de f(x) en chacun des minimums locaux pour trouver le minimum absolu et calculer la valeur de f(x) en chacun des maximums locaux pour trouver le maximum absolu. Remarque : Si le domaine est ouvert ou non-borné, la fonction pourrait ne pas posséder de minimum absolu et/ouquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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