[PDF] Polynômes Déterminer les pgcd des





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1 Objectifs 2 Rappels de cours 3 Exemples

une fraction rationnelle. On la rencontre dans des questions du type : « Déterminer les réels a b et c tels que



Manipulations algébriques et raisonnement

Exercice 10 Déterminer les triplets de réels (a b





Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1

1) Calculer s'ils ont un sens les produits AB BA





ficall.pdf

Soient ab



Equations différentielles

On a h'(x) = 0 donc h est une fonction constante et h(x) = C. On en Déterminer la solution f de l'équation différentielle 2y' – 5y = 0 telle que f (2) ...



Devoir Surveillé n ° 6 nom : voisin : Barème : 1 ) 5 pts 2 ) 5 pts 3 ) 10

A et B sont deux points distincts tels que AB = 2. AB ; on a donc GA = ... a ) Déterminer trois réels a b et c tels que



Calcul matriciel Opérations sur les matrices

Déterminer toutes les matrices B carrées d'ordre 2 vérifiant: AB = BA. 2. Déterminer toutes les matrices Déterminer le réel c tel que N(a)N(b) = N(c).



Polynômes

Déterminer les pgcd des polynômes suivants : Quels sont les polynômes P ? C[X] tels que P divise P? Indication ? ... Soient b0...



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Déterminer les réels a b et c tels que pour tout x de R on ait : f (x) = (x ?1)(ax2 +bx +c) Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des 





[PDF] Exercice 1 Soit a b et c des réels tels que

Déterminer tous les réels t pour lesquels le polynôme P(x) = x3 + 3tx2 + (4t ? 1)x + t possède deux racines réelles dont la différence est égale à 1 Solution 



Déterminer les réels a b et c - Forum FS Generation - Futura-Sciences

On considère le polynôme P défini par P(x)=x3-8x-3 Calculer P(3) puis déterminer les réels a b et c tels que P(x)=(x-3)(ax2 





[PDF] Nombres réels - Licence de mathématiques Lyon 1

Trouver tous les réels tels que ? 1 + ? 2 = 2 Montrer que ? ?3? (C'est-à-dire de la forme ?3 multiplié par un entier naturel)



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Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : Déterminer les pgcd des polynômes suivants: Soient b0 bn des réels fixés



second degré- identification trouver a b c tels que ax+b+c div x+1

25 fév 2019 · Première spé Maths Méthode d'indentification et division euclidienne Trouver a b et c Hans Amble Durée : 16:30Postée : 25 fév 2019



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Si on note a la longueur du segment BC b celle de CA et c celle de AB alors le théor`eme de vraie pour tout réel a tel que a < 1 (ici on prend a = 1

  • Comment trouver les réels AB et C ?

    Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x ?1)(ax2 +bx +c). Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des termes de même degré. ???? a b c = = = 1 ?1 2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x ?1)(x2 ?x +2).

  • Comment déterminer des nombres réels ?

    ????Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q?) .

  • Comment faire la méthode d'identification ?

    Le principe de cette méthode est assez simple. On commence par une description, plus ou moins complète9 de l'objet inconnu et on calcule une mesure de ressemblance ou de distance quelconque entre l'objet et un ensemble de taxa.
  • Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac. Pour tout x appartenant à ]-? ; x1[ ?]x2 ; +?[, P(x) est de même signe que le coefficient a.
Polynômes Exo7

Polynômes

Corrections de Léa Blanc-Centi.

1 Opérations sur les polynômes

Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.

Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste

soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 1

2.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=

D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 1.

Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division

euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0F actoriserles polynômes sui vants: a)X2+(3i1)X2i b)X3+(4+i)X2+(52i)X+23i Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7X7aadmet-il une racine multiple réelle? Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X1)4etP1 par(X+1)4.

Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :

1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.

Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire

toutes les solutions du problème. Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? 2

Exercice 10

Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relation

P(X2) =P(X)P(X+1)

Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z n

Montrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].

1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).

Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou

égal ànqui vérifie:

P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:

Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et

1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4

Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:

8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=2

8a+4b+2c+d=4

Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-dire

P(X) =32

X32X212

X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)

3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7

(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)

1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)

(b)

1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne

X

4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca

OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si

et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.

(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49

DoncD=X2+3X+2, et on obtient

9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)

soit U=19 (Q2) =118 X16 V=19 (1+Q1Q2) =118 X2+19 X+518 (b)

On a A=BQ1+R1avecQ1=X2+1,R1=X2X1

puisB=R1Q2+R2avecQ2=X2X+1 etR2=X+2 et enfinR1=R2Q3+R3avecQ3=X1 etR3=1

DoncD=1, et on obtient

1=R1R2Q3=R1(BR1Q2)Q3=R1(1+Q2Q3)BQ3

= (ABQ1)(1+Q2Q3)BQ3 =A(1+Q2Q3)B(Q1(1+Q2Q3)+Q3) soit

U=1+Q2Q3=X3

V=Q1(1+Q2Q3)Q3=1+X+X3+X5Correction del"exer cice5 N1.Lorsqu"on ef fectuela di visioneuclidienne A=BQ+R, les coefficients deQsont obtenus par des

opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients deAetB: ils restent

donc dansQ. De plus,R=ABQest alors encore à coefficients rationnels. Alorspgcd(A;B)=pgcd(B;R)etpourl"obtenir, onfaitladivisioneuclidiennedeBparR(dontlequotient

et le reste sont encore à coefficients dansQ), puis on recommence... Le pgcd est le dernier reste non nul,

c"est donc encore un polynôme à coefficients rationnels. 6

2.Notons P1=pgcd(P;P0): commePest à coefficients rationnels,P0aussi et doncP1aussi. OrP1(X) =

(Xa)p1(Xb)q1(Xc)r1. En itérant le processus, on obtient quePr1(X) = (Xc)est à coefficients rationnels, doncc2Q. On remonte alors les étapes:Pq1(X) = (Xb)(Xc)rq+1est à coefficients rationnels, etXbaussi en tant que quotient dePq1par le polynôme à coefficients rationnels(Xc)rq+1, doncb2Q. De

même, en considérantPp1, on obtienta2Q.Correction del"exer cice6 N1.(a) X33= (X31=3)(X2+31=3X+32=3)oùX2+31=3X+32=3est irréductible surR. On cherche

ses racines complexes pour obtenir la factorisation surC: X

33= (X31=3)(X+12

31=3i2

35=6)(X+12

31=3+i2

35=6)
(b) P assonsà X121.z=reiqvérifiez12=1 si et seulement sir=1 et 12q0[2p], on obtient donc comme racines complexes leseikp=6(k=0;:::;11), parmi lesquelles il y en a deux réelles (1 et 1) et cinq couples de racines complexes conjuguées (eip=6ete11ip=6,e2ip=6ete10ip=6,e3ip=6ete9ip=6, e

4ip=6ete8ip=6,e5ip=6ete7ip=6), d"où la factorisation surC[X]:

X

121= (X1)(X+1)(Xeip=6)(Xe11ip=6)(Xe2ip=6)

(Xe10ip=6)(Xe3ip=6)(Xe9ip=6)(Xe4ip=6) (Xe8ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6) Comme(Xeiq)(Xeiq) = (X22cos(q)X+1), on en déduit la factorisation dansR[X]: X

121= (X1)(X+1)(X22cos(p=6)X+1)

(X22cos(2p=6)X+1)(X22cos(3p=6)X+1) (X22cos(4p=6)X+1)(X22cos(5p=6)X+1) = (X1)(X+1)(X2p3X+1) (X2X+1)(X2+1)(X2+X+1)(X2+p3X+1) (c) Pour X6+1,z=reiqvérifiez6=1 si et seulement sir=1 et 6qp[2p], on obtient donc comme racines complexes lesei(p+2kp)=6(k=0;:::;5). D"où la factorisation dansC[X]: X

6+1= (Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6)

(Xe9ip=6)(Xe11ip=6) Pour obtenir la factorisation dansR[X], on regroupe les paires de racines complexes conjuguées : X

6+1= (X2+1)(X2p3X+1)(X2+p3X+1)

(d)X9+X6+X3+1=P(X3)oùP(X) =X3+X2+X+1=X41X1: les racines dePsont donc les trois racines quatrièmes de l"unité différentes de 1 (i,i,1) et X

9+X6+X3+1=P(X3)

= (X3+1)(X3i)(X3+i) = (X3+1)(X6+1) On sait déjà factoriserX6+1, il reste donc à factoriser le polynômeX3+1= (X+1)(X2X+1), oùX2X+1 n"a pas de racine réelle. Donc X

9+X6+X3+1= (X+1)(X2X+1)(X2+1)

(X2p3X+1)(X2+p3X+1) Pour la factorisation surC: les racines deX2X+1 sonteip=3ete5ip=3, ce qui donne X

9+X6+X3+1= (X+1)(Xeip=3)(Xe5ip=3)

(Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6) (Xe7ip=6)(Xe9ip=6)(Xe11ip=6) 7

2.(a) Pour X2+(3i1)X2i, on calcule le discriminant

D= (3i1)24(2i) =2i

et on cherche les racines carrées (complexes!) deD:w=a+ibvérifiew2=Dsi et seulement si w=1iouw=1+i. Les racines du polynômes sont donc12 ((3i1)(1i))etP(X) = (X+i)(X1+2i). (b) Pour X3+(4+i)X2+(52i)X+23i:1 est racine évidente, etP(X) = (X+1)(X2+(3+ i)X+23i). Le discriminant du polynômeX2+(3+i)X+23ivautD=18i, ses deux racines

carrées complexes sont(3+3i)et finalement on obtientP(X) = (X+1)(Xi)(X+3+2i).Correction del"exer cice7 NSoitx2R;xest une racine multiple dePsi et seulement siP(x) =0 etP0(x) =0:

P(x) =P0(x)0()(x+1)7x7a=0

7(x+1)67x6=0

()(x+1)x6x7a=0 en utilisant la deuxième équation (x+1)6=x6 ()x6=a (x+1)3=x3en prenant la racine carrée ()x6=a x+1=xen prenant la racine cubique qui admet une solution (x=12 ) si et seulement sia=164

.Correction del"exer cice8 N1.On remarque que si Pest solution, alorsP+1= (X1)4Aet par ailleursP1= (X+1)4B, ce qui

donne 1=A2 (X1)4+B2 (X+1)4. Cherchons des polynômesAetBqui conviennent: pour cela, on écrit la relation de Bézout entre(X1)4et(X+1)4qui sont premiers entre eux, et on obtient A2 =532quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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