[PDF] [PDF] Estimation des modèles à plus de deux régimes avec des données

View - Download [PDF] Estimation des modèles à plus de deux régimes avec des données

Previous PDF

Next PDF

Math-Recherche et Application,Vol.16, (2017-2018), pp. 18-31Revue ofMaroccanMathematicalSociaty forteaching andreseach

http ://revues.imist.ma/?jounal=MRA

Estimation des modèles à plus de deux régimes avec des données depanel : Application sur les prix des cultures vivrières dans l"espaceUEMOA

Ichaou MOUNIROU

Laboratoire d"Economie Publique (LEP), Faculté des Sciences Economiques et de Gestion (FASEG), Université de Parakou (UP), Universités du CAMES

Email:ichaou_bassir@yahoo.fr.

Résumé :

Cet article fournit une méthodologie d"estimation des paramètres d"un modèle avec sélection

et régresseurs endogènes dans le cas de données de panel. La matrice de variance-covariance

asymptotique des paramètres est calculée, en adaptant l"étude établit par Boumahdi et Tho-

mas (1992) aux données de panel. Une application du modèle au calcul des prix des cultures

vivrières dans l"espace UEMOA est proposée; on montre en particulier la supériorité des ma-

trices d"instruments de Breusch-Mizon-Schmidt (1989) et Amemiya Macurdy (1986) sur celle de

Hausman-Taylor (1981).

Mots clés : UEMOA -productions agricoles - superficies agricoles - données de panel - estimation

Abstract :

This paper show a methodology for estimating parameters of a sample selection model with endogenous regressors is proposed for the case of panel data. The variance-covariance matrix is computed by adapting the Boumahdi and Tomas (1992) approach to panel data. An application of the model to the computation of returns to education is proposed; the instrumental matrices of Breusch-Mizon-Schmidt (1989) and Amemiya Macurdy (1986) are shown to be superior to the one of Hausman-Taylor (1981). Keywords : MEUWA- agricultural production- agricultural field -panel data -estimation [2010] Classification : D84, G13, L11 18

1 Introduction

Les modèles à variable dépendante tronquée ont connu un développement considérable depuis

l"article de Tobin (1958). Ce dernier proposait une procédure d"estimation par maximum de vrai-

semblance d"un modèle à une seule équation. L"idée de base derrière ces modèles est l"existence

d"un seuil au-delà duquel la variable dépendante n"est plus observable ou n"a pas de signification

économique.

L"estimation des modèles avec variable dépendante tronquée a été étudiée notamment par Heck-

man (1976, 1979). Ce courant n"a cependant pas, à notre connaissance, encore intégré le domaine

de l"économétrie des données de panel, qui s"est limitée à l"estimation de modèles à un seul ré-

gime. Boumahdi et Thomas (1992) font une extension au cas de deux régimes, une seconde source d"endogénéité peut alors apparaître.

Dans cet article, une procédure d"estimation des paramètres d"un modèle avec sélection et ré-

gresseurs endogènes est proposée dans le cas de données de panel pour plus de deux régimes.

L"hétéroscédasticité provenant de la structure du modèle à erreurs composées est tout d"abord

éliminée par la diagonalisation de la matrice de variance-covariance. Le biais de sélection est en-

suite corrigé par la méthode classique de l"introduction dans la forme structurelle de l"espérance

conditionnelle des erreurs. L"endogénéité de certaines variables explicatives nécessite enfin le re-

cours à des matrices d"instruments. Les paramètres de la forme structurelle sont présentés et la

matrice de variance-covariance asymptotique des paramètres est calculée, en adaptant l"approche

Boumahdi et Thomas (1992) aux données de panel.

L"article présente d"abord le modèle à plus de deux régimes avec sélection et introduit les nota-

tions utiles. La méthode d"estimation utilisée pour la forme structurelle de notre modèle, ainsi

que l"expression de la matrice de variance-covariance asymptotique des paramètres figure. A

titre d"illustration, l"article présente une application du modèle au calcul des prix des cultures

vivrières dans l"espace UEMOA. Une équation des prix de cultures est estimée en utilisant des

données d"enquête individuelles et en discriminant les individus en fonction de leur production

et superficie. Le calcul des estimateurs de la variance des erreurs est fourni.

2 Modèle

On considère une population d"individus de tailleN, constituée de sous-ensembles disjoints deux à deux, de sorte queN1+N2+...+Nk=N. Le comportement d"un individu peut être

représenté par l"un des régimesIj,j= 1,2,,...,k,selon qu"il appartient à la sous populationN1,

ou,...,Nk. Cette appartenance est observée ex ante. L"affectation de l"individu à l"un de ces régimes est déterminée par une équation de sélection de la forme : y ?i=ωiλ+υi(1)

Oùy?iest une variable latente non observable etωiun vecteur de variables exogènes. On suppose

que l"individuiappartient au premier régime siy?i>0.On a par conséquent :

Pr[i?Ik] =Pr[y?i>0]P[ωiλ >-υi](2)

et

L"équation de sélection ne dépend pas du temps, ce qui signifie que l"individu est affecté à l"un des

régimes de façon définitive. La variable dépendante, notéeYjit(observation à la périodetpour

19 l"individuiappartenant au régimej) est expliquée par des variablesXjitetZjit, respectivement

variantes et non variantes dans le temps, et contenant des endogènes. Le modèle à plus de deux

régimes considéré s"écrit : Y it=Ykit=βk?Xkit+γ? kZki+αki+εkitsiωiλ >-υi(4) Y it=Yk+1it=β? k+1Xk+1itγ? oùi= 1,...,N1, N1+ 1,...,N;t= 1,...,T. Dans la suite de l"article, on utilisera la forme plus compacte suivante : Y k=Xkβk+Zkγk+αk+εk,i?Ikk(6) Y oùYj=?Yjk1,...,YjkT,Yjk+11,...,Yjk+1T,...,YjN1,...,Y(jNjT??est un vecteurTNjX1;Xj estTNjXKj,ZjestTNjXGj.αjest le vecteurTNjX1des effets individuels etεjle vecteur TN jX1des termes d"erreur variant dans le temps.

3 Méthode d"estimation

Trois problèmes doivent être traités, de façon séquentielle, afin de fournir des estimateurs

non biaisés et convergents. Tout d"abord, le modèle à erreurs composées implique une structure

hétéroscédastique que l"on corrige en diagonalisant les matrices de variance-covariance. Ensuite,

la corrélation entre les effets individuels et les erreurs de l"équation de sélection introduit un

biais de sélection. Ce problème est résolu en utilisant une méthode de type probit, consistant

à calculer l"espérance du terme d"erreur structurel. Enfin, l"existence de régresseurs endogènes

dans le modèle doit être prise en compte dans le calcul des estimateurs; il est donc nécessaire

d"utiliser la méthode des variables instrumentales.

Considérons tout d"abord le cas d"un modèle à un régime (équation 6) avec régresseurs endogènes.

Il n"y a pas de problème de biais de sélection et HT ont proposé un estimateur efficace des deux paramètresβketγk. Cet estimateur exploite l"hypothèse selon laquelleXketZksont

indépendants de l"effetαk. AM ont suggéré un estimateur plus efficace que celui de HT, fondé

sur des hypothèses d"exogénéité très fortes. En fait, la différence entre les deux estimateurs réside

dans le traitement des variables variantes dans le temps non corrélées avec les effets individuels.

A cet égard, HT supposent que la moyenne desXkest indépendante deαk; ils utilisent chaque variable dansXkcomme deux instruments : comme moyenne et comme écart à la moyenne. En

revanche, AM imposent une hypothèse d"exogénéité selon laquelleXkest indépendant deαkà

chaque périodet,t= 1,...,T. Les auteurs utilisentXkcomme(T+1)instruments : comme écart

à la moyenne et séparément pour chaque période. Plus récemment, BMS ont prolongé l"analyse

de AM pour dériver un estimateur plus efficace que les deux précédents.

Du travail de BT avec deux régimes, le passage à plus de deux régimes introduit une corrélation

supplémentaire, celle entreαketν. La méthode de BT est incomplète dans ce cas, car elle

fournirait des estimateurs biaisés.

On a :

E[αki+εkit|Xkit,Zki,ωiλ >-νi] =E[αki|Xkit,Zki,ωiλ >-νi] +E[εkit|Xkit,Zki,ωiλ >-νi](8)

=E[αki|Xkit,Zki,ωiλ >-νi]?= 0 20

Dans le contexte d"un modèle à plus de deux régimes (coupe instantanée), LMT ont proposé

l"estimation de deux systèmes d"équations simultanées (pour une coupe instantanée) en présence

de biais de sélection. Leur procédure consiste à estimer les formes réduite et structurelle de

chaque système en tenant compte du biais de sélection et à dériver une matrice asymptotique

de variance-covariance des paramètres pour les deux formes réduite et structurelle. Pour estimer

le système d"équations (6) et (7), nous pouvons donc procéder de la même manière que LMT.

Notre approche va consister à utiliser conjointement les deux méthodes de HT et LMT.

Une première étape consiste à corriger l"hétéroscédasticité en diagonalisant la matriceΩk. Soit :

-1/2 k=QMk+θkPMk où ?k=σεk?

σ2εk+Tσ2αk?

1/2

La matrice

ˆΩ-1/2

ktransformeΩken matrice diagonale; en d"autres termes, -1/2 kΩkΩ-1/2 k=σ2ε kITN

En fait, on utilise un estimateur convergent

ˆΩ-1/2

kdeΩ-1/2 k, basé sur un estimateurˆσ2ε kobtenu par la méthode de HT, et un estimateurσ2ε kcalculé en tenant compte du biais de sélection.

Estimation deΩ-1/2

ketΩ-1/2 k+1

L"estimation deΩ-1/2

kexige alors le calcul d"un estimateur convergent deθk, c"est-à-dire deσ2ε ketσ2α k. HT propose un estimateur convergent deσ2ε kbasé sur une transformation des équations

(6) et (7) par la matrice des projecteursQMk. Les effets individuels étant ainsi éliminés, il n"y a

plus de corrélation entre ces derniers et le terme de perturbationν. Nous pouvons donc utiliser

cet estimateur dans le cas présent.

Pour obtenir un estimateur convergentε2α

k, on définit, suivant HT, le vecteur de résidusˆhk: hk=PMkYk-PMkXkˆβksii?Ik(9)

En remplaçant

ˆβkpar son expression, on a :

hk=PMkYk-PMkXk? X? kQMk? (10) X k-1X? kQMkYksii?Ik

Après simplification, on obtient :

hk=Zkγk+αk+? P

Mk-PMkXkX?

kQMkXk? -1X? kQMkεksii?Ik(11)

Considérons à présent l"estimation deλkdans l"équation (11). Puisqueαkest corrélé avec¨Z1et

ν, il faut calculer l"espérance deαkaprès avoir transformé les données par la matrice.

On obtient :

E ?ˆhk|i?Ik? =˜Zkλk-σ2ν˜αkηk(12) 21
En multipliant l"équation (6) parΩ-1/2, on obtient : -1/2 kYk= Ω-1/2 kXkβk+ Ω-1/2 kZkγk+ Ω-1/2 kαk+α-1/2 kεksii?Ik(13)

Considérons à présent le problème du biais de sélection. L"équation structurelle corrigée de l"hé-

téroscédasticité se réécrit : -1/2 kYk= Ω-1/2 kXkβk+ Ω-1/2 kZkγk+ Ω-1/2 k(αk+εk)(14) où de façon équivalente : -1/2 kYk= Ω-1/2 kXkβk+ Ω-1/2 k¨Xk¨βk+ Ω-1/2 kZkγk+ Ω-1/2 k¨Zk¨γk+ Ω-1/2 k(αk+εk)(15) où V ar?

Ω-1/2

k(αk+εk)? = Σ2ε k et 2ε k=( 2ε kcov(αk;εk)... cov(αk;εk) cov(αk;εk)σ2ε k... cov(αk;εk) . . ... cov(αk;εk) cov(αk;εk)cov(αk;εk)... σ2ε k) k=( . . ... .βk1¨βk1βk2¨βk2...β2kk) k=(

L"espérance conditionnelle deY?kest :

E[Y?k|i?Ik] =X?kβk+¨X?k¨βk+Z?kγk+¨Z?k¨γk+E?

Ω-1/2

kαk+ Ωk-1/2εk|i?Ik? (16) oùY?k= Ω-1/2 kYk;X?k= [X?k:¨X?k] = Ω-1/2 kXk;Z?k= [Z?k:¨Z?k] = Ω-1/2 kZk

On a :

E?

Ω-1/2

kεk|i?Ik? = 0etE?

Ω-1/2

kαk|i?Ik? =E[θkαk|i?Ik] =σνα? k?φ oùσνα? k=cov(ν;θkαk) =cov(ν;α?k)et?φ est le ratio de Mill, défini comme un vecteurTNkX1

dont l"élément générique représente le rapport entre la densité et la fonction de répartition de la

loi normale centrée réduite au point-νi, lequel provient de l"estimation préalable de l"équation

de sélection. 22

λest tout d"abord calculé par maximum de vraisemblance. En remplaçantλpar son estimationˆλon obtient :

Y k?φ + ˜μk(17) où˜μkest un vecteurTNkX1de perturbations tel que :

E[˜μk|i?Ik] = 0

On pose :

H=? X ?k;Z?k;-ˆ?ˆ k k k) L"estimateur de la variable instrumentale ou des doubles moindres carrés est donné par :

H?PAkH?

-1HP

AkY?k(18)

avecPAk=Ak? A? kAk? -1A k?, oùAkest la matrice des instruments. Pour HT par exemple, on a :Ak=?QMk,PMkXk,Zk?. L"estimateurˆθest un estimateur convergent. La matrice de variance-covariance asymptotique est : V ar =?σ2α k+σ2ε k??

H?PAkH?

-1-σνα? k?

H?PAkH?

-1 H ?PAk×?

B-BWk?

W?ΛW?

-1W? kB? -1 P AkH?

H?PAkH?

-1(19) oùW,W1,BetΛsont définies comme suit : W= (w11,....,w1T,...,wNk1,...,wNkT,...,wN1,...,wNT)est la matrice de dimension(Nk+Nk+1)X1 des variables exogènes dans l"équation de sélection; B=( ((w kλ?φ kθ k? 2...0 0...0

0... wNkλφNkΦ

Nk+?φNkΦ

Nk? 2) ))?I T de dimensionTNkXTNk. 2 kΦ k(1-Φk)...0 0...0

0...φ2

NΦ

N(1-ΦN))

)?I T est la matrice de dimensionTNXTNdont le terme générique représente la contribution de chaque observationi,i= 1,...,N.

BT montrent que cette matrice de variance-covariance est la seule pertinente pour les modèles à

équations simultanées avec sélection. Par rapport à l"approche de BT, les dimensions des matrices

H,W,BetΛdoivent bien entendu être adaptées au cas des données de panel. 23

4 Application au calcul des prix de certaines cultures vi-

vrières de première nécessité dans l"espace UEMOA Dans cette partie, on propose une application du modèle décrit ci-dessus au calcul des prix de

certaines cultures vivrières de première nécessité dans l"espace UEMOA avec biais de sélection

(voir Willis et Rosen (1979), Boumahdi et Thomas (1992)). Ce modèle permet de mesurer l"avan-

tage relatif en termes de prix de vente d"une culture dans les facteurs déterminants le prix. L"un

des points les plus intéressants est de pouvoir comparer les performances relatives des méthodes

de HT, AM et BMS, qui diffèrent dans la construction de la matrice de variance-covariance des paramètres estimés. On considère cinq niveaux de cultures (C1: Igname;C2: Maïs;C3: Manioc;C4: Riz;C5: Sor-

gho);Y1àY5indiquent les logarithmes des productions et des superficies. La conditionωiλ >-νi

désigne ici le passage du régimeC1àC5de l"individui. La matriceW= (ω1?,...,ωN?)comprend

des variables d"aptitude et d"opportunité :

- CV1 à CV5 : variables indicatrices liées à la culture vivrière indiquée. CV1 = 1 pour

l"igname; CV2 = pour le maïs; CV3 = Manioc; CV4 = Riz; CV5 = Sorgho. - PSR1 à PSR8 : variables indicatrices liées au pays de l"espace UEMOA. PSR1 = Bénin; PSR2 = Burkina Faso; PSR3 = Côte d"Ivoire; PSR4 = Guinée-Bissau; PSR5 = Mali; PSR6 = Niger; PSR7 = Sénégal; PSR8 = Togo. - PRO : la production annuelle de la culture. - SUP : la superficie annuelle emblavée pour la culture.

La disponibilité des données a été déterminante dans le choix de la formulation de l"équation

de sélection. En effet, en absence d"une mesure spécifique de l"aptitude, on a admis que cette

dernière pouvait être captée par les deux variables : la production annuelle de la culture PRO et

la superficie annuelle emblavée pour la culture SUP. La deuxième catégorie de variables jouant

un rôle déterminant sur la probabilité du passage d"un pays pour une culture est représentée par

les variables d"opportunité mesurées notamment par la culture du pays,CVj,PSRi,j= 1,...,5 eti= 1,...,8. Le logarithme des productions et des superficies est expliqué par les variables suivantes : - Exogènes et variant dans le temps(Xk): la production ou superficie (Production =

1; Superficie = 0).

- Exogènes et variant dans le temps(Zk): pays (PSR1= 1; PSR2 = 2; PSR3 = 3; PSR4 = 4; PSR5 = 5; PSR6 = 6; PSR7 = 7; PSR8 = 8). - Endogènes et variant dans le temps(¨Xk): culture (CV1 = 1; CV2 = 2; CV3 = 3;

CV4 = 4; CV5 = 5 ).

- Endogènes et invariants dans le temps(¨Zk): système politique agricole (Oui = 1;

Non = 0).

L"effet individuelαjreprésente ici l"aptitude, qui est corrélé avec la culture d"une part, avec

νd"autre part (voir Chamberlain et Griliches (1975), Griliches (1977), Boumahdi et plassard (1992), Boumahdi et Thomas (1992)). Remarquons que la corrélation entreαj(variable non

observable) etνapparaît très justifiée. En effet, le passage du niveau de cultureCVk+1àCVk

peut être expliqué par la matrice W (variables d"aptitude et d"opportunité) mais aussi par l"effet

24
individuelαk.

Il existe dans différents pays des ensembles de données très complets permettant d"estimer notre

modèle. Par exemple aux Etats-Unis, l"enquête PSID (voir Hausman-Taylor(1981)) permet des

études économétriques sur des cultures identiques suivis pendant plus de vingt ans dans 20 états.

Malheureusement, dans l"espace UEMOA, l"on ne dispose pas de données aussi complètes. L"une des bases de données les plus exhaustives concernant les cultures vivrières, leurs productions

et leurs superficies emblavées est l"enquête de la FAO, qui est réalisée avec des pays différents,

tous les ans. Pour appliquer les méthodes préconisées ci-dessus, nous avons donc construit trois

coupes (1990, 2000, 2010) à partir d"une première coupe (1989) comportant des données réelles.

Les valeurs des variables variant dans le temps ont été simulées pour chaque pays en utilisant

des données statistiques agrégées. L"on disposera donc de quatre coupes instantanées portant sur

les mêmes pays. Les variables devant être simulées sont PRO, SUP et CV (toutes les autres variables sont soit invariantes dans le temps, soit déterministes). Les valeurs du logarithme de la production, PRO de 1960 à 1990 sont calculées en utilisant les taux de croissance annuels de la production en fonction de la superficie et de la culture du pays.

Pour les variables SUP et CV, la procédure est la suivante. A partir de statistiques sur les pays,

on calcule tout d"abord les probabilités de changement de culture en utilisant les fréquences correspondantes dans le pays de l"espace UEMOA. De telles fréquences varient bien entendu selon, en particulier, le climat et la politique agricole. Pour chaque pays i et chaque culture susceptible de varier (SUP et CV), nous tirons ensuite une variable aléatoire à partir d"une

distribution uniforme U [0; 1]. La culture du pays d"une année sur l"autre est changée si la valeur

tirée est inférieure à la probabilité théorique correspondant à cette même culture, étant donné

le climat, la politique agricole du pays.

Les probabilités de changement de pays (pays non propice à la culture vers pays propice et vice-

versa, variable SUP) sont calculées d"après les données de la FAO en 2013. Nous supposons que la culture, CV, n"est pas modifiée qu"en cas de catastrophe climatique; de plus si un pays abandonne la culture, on suppose qu"il adopte une autre culture durant le reste de la période pour combler le déficit. Les probabilités individuelles correspondantes : Prob[CVit= 1|CVi,t-1= 0]etProb[CVit= 0|CVi,t-1= 1]

Des précautions doivent être prises pour empêcher des modifications trop fréquentes de la culture

du pays. Puisque l"on dispose de quatre périodes, il est raisonnable de supposer qu"une caractéris-

tique particulière ne peut changer qu"une seule fois de 1960 à 1990. Une telle procédure est bien

sûr critiquable mais elle est néanmoins utilisée ici pour donner au lecteur une idée des méthodes

et de leur applicabilité, plutôt que des résultats numériques précis.

A cet égard, l"on peut s"interroger sur l"effet de la procédure de construction des données simulées

sur les résultats d"estimation. Le fait de simuler des valeurs pour la variable dépendante PRO,

par un argument d"erreur sur les variables, entraîne une sous-estimation des écart-types. En effet,

l"erreur de " mesure » due à la simulation vient s"ajouter au terme d"erreur structurel de notre

modèle, ce qui augmente la variance de la perturbation totale. Comme cet effet n"est pas pris en

compte, les écarts-types des paramètres sont sous-estimés. Ce problème ne nous semble pas trop

important, dans la mesure où cette situation est valable pour les trois méthodes décrites (HT,

AM et BMS), et que notre objectif est de comparer ces trois dernières. En ce qui concerne les

régresseurs, les variables PRO et PRS ne sont pas corrélées avec l"effet individuel, puisqu"elles

sont exogènes dans le modèle. Leur estimation ne devrait donc pas avoir un effet trop néfaste sur

25
la comparaison entre les deux instruments. Notons que l"objectif majeur de cette application empirique, sur le calcul des prix des cultures

vivrières, est de montrer le gain efficace potentiel lié à l"utilisation des différents instruments

pour traiter la covariance entre les effets individuels et certaines variables explicatives.

L"échantillon utilisé comprend des actifs. Dans ce qui suit, on considèrera l"estimation. Les ré-

sultats figurent dans le tableau 1 de tous les régimes.

Le tableau 2 donne les résultats d"estimation de l"équation de sélection. A partir de ces estima-

tions, le rapport est aisément calculé; il sera utilisé plus tard comme régresseur dans l"équation structurelle. La matriceWsera également nécessaire, pour le calcul de la matrice de variance- covariance.

Les valeurs qui ont un coefficient négatif sont significatives; par conséquent, les pays dont la poli-

tique agricole est faible, toutes choses égales par ailleurs, la probabilité de passage à une culture.

Les variables d"opportunité donnent elle aussi des résultats cohérents avec ce que l"on était en

droit d"attendre. Les pays à bonne politique agricole ont un effet positif sur la production par

contre les pays à politique agricole faible ont un effet positif sur la superficie. Ce groupe de pays

utilise plus de superficie pour compenser leurs productions afin d"obtenir un gain à la culture.

L"estimation de l"équation de sélection permet de calculer le ratio de Mill utilisé ensuite comme

variable explicative dans l"équation structurelle du régime (équation 17). L"étape suivante consiste à calculer les variancesσ2α ketσ2εquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

[PDF] estimation des modèles ? équations simultanées

[PDF] exercices corrigés sur les modèles ? équations simultanées

[PDF] économétrie équations simultanées

[PDF] double moindre carré ordinaire

[PDF] équations simultanées stata

[PDF] méthode des variables instrumentales

[PDF] la question démographique et l'inégal développement 5e

[PDF] cours système d'exploitation linux pdf

[PDF] activités apc ce2

[PDF] cours systeme d'exploitation 2

[PDF] cours systeme d'exploitation 3eme année informatique

[PDF] comment installer un système d exploitation sur un pc

[PDF] comment installer un système dexploitation avec une clé usb pdf

[PDF] la peau de chagrin questionnaire

[PDF] cours de systeme d'exploitation windows 7 pdf