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7. Économétrie spatiale sur données de panel

BOUAYADAGHASALIMA

GAINS (TEPP) et Crest

Le Mans Université

LEGALLOJULIE

CESAER, AgroSup Dijon, INRA,

Université de Bourgogne Franche-Comté, F-21000 Dijon

VÉDRINELIONEL

CESAER, AgroSup Dijon, INRA,

Université de Bourgogne Franche-Comté, F-21000 Dijon7.1 Spécifications184

7.1.1 Modèle standard : modéliser les effets spécifiques individuels

. 184

7.1.2 Les effets spatiaux dans les modèles en données de panel

. 186 7.1.3 Interprétation des coefficients en présence d"un terme autorégressif spatial . 189

7.2 Méthodes d"estimations190

7.2.1 Modèle à effets fixes

. 191

7.2.2 Modèle à effets aléatoires

. 192

7.3 Tests de spécification194

7.3.1 Choisir entre effet fixe et effet aléatoire

. 194

7.3.2 Tests de spécification des effets spatiaux

. 194

7.4 Application empirique195

7.4.1 Le modèle

. 195

7.4.2 Les données et la matrice de poids

. 198

7.4.3 Les résultats

. 199

7.5 Extensions203

7.5.1 Modèles dynamiques spatiaux

. 203

7.5.2 Modèles multidimensionnels spatiaux

. 205

7.5.3 Modèles de panels à facteurs communs

. 206Résumé

Ce chapitre propose une présentation synthétique des méthodes d"économétrie spatiale appliquées

aux données de panel. Nous insistons principalement sur les spécifications et les méthodes implé-

mentées dans le packagesplmdisponible sous R. Nous illustrons notre présentation par une analyse

de la deuxième "loi" de Verdoorn avant de présenter des extensions récentes des modèles spatiaux

sur données de panel.

184Chapitre 7. Économétrie spatiale sur données de panelRLa lecture préalable du chapitre 6 : "économétrie spatiale : modèles courants" est recomman-

dée.

Introduction

Les données de panel concernent des observations liées à un ensemble d"individus (firmes,

ménages, collectivités locales) observés à plusieurs dates (HSIAO2014). Relativement aux données

en coupe transversale, on considère que le fait de pouvoir disposer d"informations dans les dimen-

sions individuelles et temporelles présente trois avantages principaux. Le gain d"information lié à

l"exploitation de la double dimension des données permet de contrôler la présence d"hétérogénéité

inobservable. La taille des échantillons généralement plus élevée permet d"améliorer la précision

des estimations. Enfin, les données de panel permettent de modéliser des relations dynamiques.

Après une première génération de modèles spatiaux spécifiés pour données en coupe transver-

sale (ELHORST2014b), de nombreuses applications en économétrie spatiale reposent aujourd"hui

sur des données de panel. En effet, si les spécifications a-spatiales sur données de panel permettent

effectivement de contrôler une certaine forme d"hétérogénéité inobservée, la dépendance des coupes

est prise en compte sans toujours être identifiée ou modélisée et ces modèles ne captent pas le cas

particulier des effets de dépendance spatiale. De manière similaire aux modèles en coupe, l"intro-

duction d"effets spatiaux dans les modèles en données de panel permet ainsi de mieux prendre en

compte l"interdépendance entre les individus.

Dans ce chapitre, nous présentons les principales spécifications des panels spatiaux, en partant

des spécifications standard en données de panel (section 7.1). La section 7.2 est consacrée à la

présentation des méthodes d"estimation, et la section 7.3 décrit les principaux tests de spécifications

spécifiques aux panels spatiaux. Nous proposons une application empirique en testant la deuxième

loi de Verdoorn dans le cadre d"un panel de régions européennes (NUTS3) entre 1991 et 2008 (section 7.4). La section 7.5 présente quelques extensions récentes des panels spatiaux. 7.1

Spécifica tions

Cette section présente les principales spécifications utilisées pour les modèles statiques sur

données de panel avec prise en compte des interactions spatiales. Nous ne considérons que le

cas des panels cylindrés : les individus sont observés à toutes les périodes. Les travaux portant

sur les méthodes d"estimation sur panels spatiaux non cylindrés sont encore peu développés. Les

modèles dynamiques seront brièvement évoqués dans la section 7.5.1. Après un bref rappel de ce

qui caractérise les spécifications standard sur données de panel (sans dépendance spatiale) et de ce

qui distingue les effets spécifiques fixes des effets aléatoires, nous présentons les différentes façons

de prendre en compte l"autocorrélation spatiale dans le contexte de ces modèles. 7.1.1 Modèle standar d: modéliser les ef fetsspécifiques individuels Relativement aux données en coupe transversale, les données de panel,i.e.plusieurs observa-

tions pour les mêmes individus, permettent de tenir compte de l"influence de certaines caractéris-

tiques non observées invariantes dans le temps de ces individus.

Pour un échantillon comportant des informations sur un ensemble d"individus indicés pari=1;:::;N

que l"on suppose observables pendant toute la période d"étudet=1;:::;T(i.e.il n"y a ni attrition,

ni observations manquantes), le modèle standard (a-spatial) s"écrit : y it=xitb+zia+eit(7.1) Leskvariables explicatives du modèle sont regroupées danskvecteursxitde dimension(1;k)(qui n"inclut pas de vecteur unitaire) et sont supposées exogènes. Le vecteurbde dimension(k;1)

7.1 Spécifications 185désigne le vecteur des paramètres inconnus à estimer. L"hétérogénéité, ou effet spécifique individuel,

est captée par le termezia. Le vecteurzicomprend un terme constant et un ensemble de variables

spécifiques aux individus, invariantes dans le temps, qui peuvent être observées (sexe, éducation,

etc.) ou non (préférences, compétences, etc.). Les hypothèses formulées sur les termes d"erreureit

dépendent du type de modèle considéré. En effet, selon la nature des variables prises en compte

dans le vecteurzi, on peut considérer trois classes de modèle : le modèle sur données empilées, le

modèle à effets fixes et le modèle à effets aléatoires. Le premier type de modèle, sur données empilées, correspond au cas pour lequelzine comprend qu"une constante : y it=xitb+a+eit(7.2)

oùeiti:i:d:N(0;s2). L"hétérogénéité individuelle n"est pas modélisée; la spécification conduit à

un simple empilement des données en coupes transversales. Dans ce cas un estimateur convergent et efficace debet deaest obtenu par la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO).

Dans le second modèle, dit à effets fixes, l"hétérogénéité individuelle est modélisée par la prise

en compte d"effets spécifiques individuels constants dans le temps. Ce modèle s"écrit : y it=xitb+ai+eit(7.3) où l"effet fixeaiest un paramètre (moyenne conditionnelle) à estimer constant dans le temps eteiti:i:d:N(0;s2). Dans ce modèle, les différences de comportement inobservables sont ainsi

captées par ces paramètres estimables. Ce modèle est alors particulièrement adapté dès lors que

l"échantillon est exhaustif au regard de la population qu"il concerne et que le modélisateur souhaite

restreindre les résultats obtenus à l"échantillon qui a permis de les obtenir. Les effets individuelsai

peuvent être corrélés avec les variables explicativesxitet l"estimateurwithin(i.e.l"estimateur des

MCO obtenu à partir d"un modèle où les variables explicatives et expliquée sont centrées sur leur

moyenne individuelle respective, voir équation 7.20) reste convergent.

Dans le troisième modèle, à effets aléatoires, l"hétérogénéité individuelle est modélisée par la

prise en compte d"effets spécifiques individuels aléatoires (constants au cours du temps). On fait

l"hypothèse que cette hétérogénéité individuelle inobservable n"est pas corrélée avecxit:

y it=xitb+a+uit u it=ai+eit(7.4) oùeiti:i:d:N(0;s2).

Contrairement au modèle à effets fixes, les effets individuels ne sont plus des paramètres à esti-

mer, mais les réalisations d"une variable aléatoire. Ce modèle est donc adapté si les spécificités

individuelles sont reliées à des causes aléatoires. Il est également préférable au modèle à effets

fixes lorsque les individus présents dans l"échantillon sont tirés d"une population plus large et que

l"objectif de l"étude empirique est de généraliser les résultats obtenus à la population. Ce modèle

présente l"avantage de fournir des estimations plus précises que celles obtenues à partir du modèle à

effets fixes. Il s"estime usuellement à l"aide de la méthode des Moindres Carrés Généralisés (MCG).

Dans la suite de ce chapitre, nous adoptons une présentation générale de la spécification de la

nature des effets individuels en distinguant les effets individuels fixes des effets aléatoires. Nous

présentons également les tests usuels de spécification permettant de choisir la bonne méthode

d"estimation et donc la spécification la plus adaptée pour modéliser l"hétérogénéité. Cependant,

si ces modèles permettent de prendre en compte l"hétérogénéité individuelle, ils ont en commun

186Chapitre 7. Économétrie spatiale sur données de panelavec le modèle standard en coupe transversale de reposer sur l"hypothèse que les individus sont

indépendants les uns des autres. Si les données portent sur des individus pour lesquels on dispose

d"informations géolocalisées et que l"on suppose l"existence d"interactions spatiales, cette hypothèse

n"est plus acceptable. Il convient donc d"étendre les spécifications présentées précédemment en

prenant en compte l"autocorrélation spatiale. 7.1.2 Les ef fetsspa tiauxdans les modèles en données de panel Comme pour les modèles en coupe transversale, la prise en compte de l"autocorrélation spatiale

peut se faire de plusieurs manières : par des variables spatiales décalées, endogènes ou exogènes,

ou par une autocorrélation spatiale des erreurs. Les effets spatiaux dans les modèles sur données empilées Dans un premier temps, nous reprenons le modèle empilé en incorporant ces trois termes spatiaux potentiels : y it=rå i6=jw ijyjt+xitb+å i6=jw ijxjtq+a+uit u it=lå i6=jw ijujt+eit(7.5) w ij est un élément d"une matrice de pondération spatialeWNde dimension(N;N)dans laquelle

sont définies les relations de voisinage entre les individus de l"échantillon. Par convention, les

éléments diagonauxwiisont tous fixés à zéro. La matrice de poids est généralement normalisée

en ligne. La plupart des travaux académiques considèrent une matrice de pondération spatiale fixe

dans le temps. La variableåi6=jwijyjtdésigne la variable endogène spatialement décalée; elle est

égale à la valeur moyenne de la variable dépendante prise par les voisins (au sens de la matrice de

poids) de l"observationi. Le paramètrercapte l"effet d"interaction endogène. L"interaction spatiale

est également prise en compte par la spécification d"un processus autorégressif spatial dans les

erreursåi6=jujtselon lequel les chocs inobservables affectant l"individuiinteragissent avec les

chocs affectant son voisinage. Le paramètrelcapte un effet corrélé des inobservables. Enfin, un

effet contextuel (ou d"interaction exogène) est capté par le vecteurqde dimension(k;1). Comme précédemment, on suppose queeiti:i:d:N(0;s2).

En empilant les données pour chaque périodet, le modèle précédent s"écrit de la façon suivante :

yt=rWNyt+xtb+WNxtq+a+ut u t=lWNut+et(7.6)

oùytest le vecteur de dimension(N;1)des observations de la variable expliquée pour la périodet,

xtest la matrice(N;k)des observations sur les variables explicatives pour la périodet. Enfin, en

empilant les données pour tous les individus, le modèle s"écrit sous forme matricielle de la façon

suivante : y=r(IT

WN)y+xb+(IT

WN)xq+a+u

u=l(IT

WN)u+e(7.7)

où désigne le produit Kronecker et(IT

WN)est une matrice de dimension(NT;NT)de la forme

suivante :

7.1 Spécifications 187

0 B @W N:::0

0:::WN1

C

AComme vu dans le chapitre précédent : "économétrie spatiale : modèles courants", les para-

mètres de ce modèle ne sont généralement pas identifiables (MANSKI1993). Il convient de faire des

choix sur la nature des termes spatiaux à privilégier dans le modèle. Ces choix peuvent s"appuyer

sur une modélisation théorique et/ou reposer sur une stratégie de spécification allant du spécifique

au général à partir des résultats des tests du multiplicateur de Lagrange utilisés pour les modèles en

coupe transversale.

Cependant, l"intérêt du modèle sur données empilées reste limité, puisque celui-ci ne permet

pas de considérer la présence d"hétérogénéité individuelle alors que les individus sont susceptibles

de différer du fait de caractéristiques inobservables ou difficilement mesurables. Selon la manière

dont est modélisée l"hétérogénéité inobservable (fixe par opposition à aléatoire) l"omission de

ces caractéristiques peut compromettre la convergence des estimateurs pour les paramètresb,

qeta. En conséquence, les modèles à effets spécifiques, fixes ou aléatoires, sont à privilégier.

Nous présentons, dans ce cadre, les spécifications faisant intervenir simultanément un ou deux des

termes spatiaux présentés plus haut, pour lesquels nous disposons d"estimateurs documentés dans

la littérature. Les effets spatiaux dans les modèles à effets fixes

Plusieurs spécifications spatiales peuvent être considérées pour tenir compte de l"autocorrélation

spatiale dans le modèle à effets fixes. La première spécification est le modèle autorégressif spatial

(SAR) , qui s"écrit : y it=rå i6=jw ijyjt+xitb+ai+uit(7.8)

oùuiti:i:d:N(0;s2). L"interaction spatiale est ici modélisée à travers l"introduction de la variable

dépendante spatialement décalée (åi6=jwijyjt). Comme dans les modèles en coupe transversale,

l"introduction de cette variable implique des effets de débordement globaux : en moyenne, la valeur deyau tempstpour une observationin"est pas seulement expliquée par les valeurs des

variables explicatives pour cette observation, mais aussi par celles associées à toutes les observations

(voisines deiou non). C"est l"effet de multiplicateur spatial. Un effet global de diffusion spatiale

est également à l"oeuvre : un choc aléatoire dans une observationiau tempstaffecte non seulement

la valeur deyde cette observation à la même période mais a également un effet sur les valeurs dey

des autres observations. Le deuxième modèle est connu sous le nom de modèle à erreur spatiale (SEM) : y it=xitb+ai+uit u it=lå i6=jw ijujt+eit(7.9)

oùuiti:i:d:N(0;s2). L"interaction spatiale est captée à travers une spécification autorégressive

spatiale du terme d"erreur (låi6=jwijujt). Seul l"effet de diffusion spatiale est présent dans un

modèle SEM, il reste cependant global.

Un troisième modèle, préconisé parLESAGEet al. 2009, est le modèle spatial de Durbin (SDM)

qui contient une variable dépendante spatialement décalée (åi6=jwijyjt) et des variables explicatives

spatialement décalées (åi6=jwijxjt) : y it=rå i6=jw ijyjt+xitb+å i6=jw ijxjtq+ai+uit(7.10)

188Chapitre 7. Économétrie spatiale sur données de paneloùuiti:i:d:N(0;s2).Une alternative à ce modèle est le modèle de Durbin spatial dans les erreurs (SDEM) , qui est

composé d"un terme d"erreur spatialement autocorrélé (åi6=jwijujt) et des variables explicatives

spatialement décalées (åi6=jwijxjt) : y it=xitb+å i6=jw ijxjtq+ai+uit u it=lå i6=jw ijujt+eit(7.11)

oùeiti:i:d:N(0;s2). À travers l"autocorrélation spatiale des erreurs, il existe bien un effet de

diffusion globale mais il n"y a pas d"effet multiplicateur. En effet, introduire des variables spatiales

explicatives décalées induit des effets de débordements locaux et non globaux (voir chapitre 6 :

"économétrie spatiale : modèle courants").

Enfin, certains auteurs utilisent une modélisation faisant intervenir simultanément un processus

autorégressif spatial de la variable dépendante et du terme d"erreur (SARAR), les pondérations

spatiales (wijetmij) étant distinctes pour chacun des processus (LEEet al. 2010b;ERTURet al.

2015) :

y it=rå i6=jw ijyjt+xitb+ai+uit u it=lå i6=jm ijujt+eit(7.12) oùeiti:i:d:N(0;s2). Les effets spatiaux dans les modèles à effets aléatoires

Dans les modèles à effets aléatoires, les effets individuels non observés sont supposés non

corrélés avec les autres variables explicatives du modèle et peuvent donc être traités comme des

composants du terme d"erreur. Dans ce contexte, le modèle SAR s"écrit de manière similaire à ce

qui a été proposé dans le cadre du modèle à effets fixes, à l"exception du terme d"effet individuel :

yit=rå i6=jw ijyjt+xitb+a+uit u it=ai+eit(7.13) oùeiti:i:d:N(0;s2).

L"effet aléatoire étant une partie du terme d"erreur, deux spécifications SEM sont proposées

dans la littérature. Dans la première (SEM-RE), l"effet de diffusion spatiale n"est considéré que

pour le terme d"erreur idiosyncratique1et non pour l"effet individuel aléatoire (BALTAGIet al.

2003). On peut donc écrire :

y it=xitb+uit u it=ai+lå i6=jw ijujt+vit(7.14) oùviti:i:d:Niid(0;s2).

1. ie. le terme d"erreur individuel temporel.

7.1 Spécifications 189Dans une seconde spécification (RE-SEM), suggérée parKAPOORet al. 2007 (on désigne

souvent cette spécification par KKP), on considère que la structure de corrélation spatiale s"applique

à la fois aux effets individuels et à la composante restante du terme d"erreur : y it=xitb+a+uit u it=lå i6=jw ijujt+vit v it=ai+eit(7.15) oùeiti:i:d:N(0;s2).

Ces deux spécifications impliquent des effets de reports spatiaux assez différents régis par des

matrices de variances-covariances de structure différente, ce qui a des implications en matière

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