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Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresL'utilisation de variables instrumentales pour

l'evaluation de politiques publiques http ://pagesperso-orange.fr/pierre.andre01/Econometrie

Pierre ANDRE

pierre.andre@u-cergy.fr

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : principe

La plupart des politique publiques ne sont pas distribuees aleatoirementLes MCO permettent donc rarement de mesurer leur eet Idee des variables instrumentales : trouver des variations de la politique publique qui seraient aleatoiresOn veut estimery=xb+#. On sait quezcauseumais n'est pas lie au terme d'erreurxzy

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : Exemple du comportement

d'epargne des agriculteursOn cherche a mesurer dans quelle mesure les agriculteurs epargnent plus quand ils gagnent plusMais les variations de revenus entre agriculteurs sont dus a de multiples facteurs, comme l'epargne passee, la preference pour le present vs. le futur, etc.Il faut donc trouver une variation de revenus des agriculteurs qui serait aleatoire et generer des variations de revenus sur des agriculteurs comparablesExemple de l'eet des chocs de revenus dus aux climat sur le comportement d'epargne des agriculteurs (Paxson, 1992 - Thalande)RevenuPluiesComportement d'epargne

Stock d'epargne, preference pour le present...

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : Formalisation

On un modele a \deux" equations :

y[11]=x[1K]b[K1]+# x

[1K]=z[1K]q[KK]+uLa seconde equation comporte une ligne par variable du vecteurx.Il faut un vecteur d'instruments de tailleK.Le vecteur d'instruments est suppose ^etre exogene (Corr(z,#) =0)

et predirexSi seulx1est endogene dans la seconde equation, on aura comme

vecteur d'instrumentsz= (1,z1,x2,x3...)Si tous lesxisont endogenes, on peut (en theorie) avoir un vecteur

z= (1,z1,z2,z3...)(presque) totalement dierent dexDicile en pratique. De +, en termes de politiques publiques, on est

souvent interesses a l'eet une variable particuliere

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : premiere etape (1)

On a l'equation de premiere etape

x=zq+u

Soit, avec seulx1endogene :8>>><

>>:1=11+0z1+0x2+... x

1=q01+q1z1+q2x2+...

x

2=01+0z1+1x2+...

d=0 B

BBBB@1 0 0 0...

q

0q1q2q3...

0 0 1 0...

0 0 0 1...

...............1 C CCCCA On appellera usuellement dans ce cas l'equation de premiere etape l'estimation de : x

1=z˜q+u1

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : premiere etape (2)

Hypothese 1 :

rang(q) =KCas general ,q16=0 Un seul instrumentDans le cas general :

Aucunˆxin'est combinaison lineaire des autresˆxj.Tous lesxivarientAvec un seul instrument, cela veut dire quez1est vraiment correle a

x

1conditionnellement ax2,x3,....Exemple du climat et des agriculteurs

Si les pluies n'accroissent pas le revenu des agriculteurs, on ne pourra pas se servir des pluies pour estimer l'eet d'une hausse revenu des agriculteurs sur leur epargne

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : premiere etape (3)

x=zq+u Faisons le point : on veut verier que les revenus exceptionnels modient l'epargne des agriculteurs. On cherche a verier que les chocs de climat changaient reellement les revenus des agriculteurs.RevenuPluiesComportement d'epargne Stock d'epargne, preference pour le present...En general, on peut estimerqavec les MCO La premiere etape peut ^etre a ce stade purement predictive, et non explicative : on a besoin quezsoitcorrele ax, et non que ce predicteur soit exogene. En pratique, le plus souvent,zsera un predicteur exogene dex (x=zq+u) estime causalement avec les MCO

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresEstimation de l'eet des pluies sur les revenus des

agriculteurs Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLa forme reduite

Forme structurelle du modele :

y=xb+# x=zq+u

Forme reduite du modele :,y=zqb+ub+#

Hypothese 2 :IE(z#) =0

On peut alors generalement facilement identierqbpar les MCO :un'est pas correle azpuisqu'on n'a pas cherche a donner un sens

causal a la premiere etape des MCOx=zq+u#n'est pas correle azpar hypothese

L'estimation de cette premiere etape par les MCO :Donne le signe debsi on a estimeqpar les MCO auparavantPourrait permettre de recalculerb: on connaitd=qbetq.

b=q1d:qest inversible Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arres Figure:Estimation de l'eet des cho csde pluie sur l' epargne Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresPremiere etape : exemple

Figure:Estimation de l'eet des cho csde pluie sur l' epargneRevenu=q1Pluie+...Epargne=b1Revenu+...Epargne=q1b1Pluie+...

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLa forme reduite : conclusion

On sent qu'il est possible d'estimer le coecient d'inter^etbgr^ace a une variation exogene dexapportee parz:On peut mesurerqpar les MCO.On peut mesurerd=qbpar les MCO. Autrement dit :On sait de combien la pluie augmente les revenus des agriculteurs. On sait de combien la pluie augmente l'epargne des agriculteurs. Si les pluies ne changent pas le comportement d'epargne des agriculteurs pour d'autres raisons, on doit pouvoir trouver combien les agriculteurs epargnent pour 1ede revenu supplementaire.

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : denition

On part de l'hypothese 2 :IE(z#) =0

IE(z0#) =0

,IE(z0(yxb)) =0 ,IE(z0y) =IE(z0x)b ,IE(z0x)1IE(z0y) =b

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : denition et resultat

On denit

ˆbIV= (Z0X)1Z0Y.ˆ

bIV[K1]= (Z0[KN]X[NK])1Z0[KN]Y[N1]ˆ bIV=1N

Siz0ixi

11N

Siz0iyi

#IE(z0x)1IE(z0y)

Theoreme : si1rang(q) =K2IE(z#) =0

Alors ˆbIVest un estimateurnonbiaiseet convergent deb

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : Preuve partielle

bIV= (Z0X)1Z0Y = (Z0X)1Z0Xb+ (Z0X)1Z0e =b+ (Z0X)1Z0e

SiZ0Xest de plein rang,Z0Xest inversible. Alors, siIE(Z0#) =0,IE(ˆbIV) =bnon :IE(Z0#) =0 maisIE(Z0#jx)6=0

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresLes variables instrumentales : L'eet du revenu

supplementaire sur l'epargneFigure:Estimation de l'eet du revenu temp orairesur l' epargnedes

agriculteurs ThalandaisSource : Paxson, 1992. Je n'ai reporte que le coecient de l'eet du revenu transitoire sur l'epargne

Revenu=q1Pluie+...Epargne=b1Revenu+...

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresInterpretation des variables instrumentales

Bien comprendre l'interpretation des variables instrumentales car c'est

une des techniques indispensables en econometrieA partir des equations en forme reduite et de premiere etape

Comme une estimation en deux etapes : prediction de

ˆX, estimation

debCas des traitements heterogenes

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresForme reduite et variable instrumentales : calcul

On peut estimer le coecientqpar MCO :ˆqMCO= (Z0Z)1Z0XOn peut estimer le coecientd=qbpar les MCO :ˆdMCO= (Z0Z)1Z0YOn avait vu qued=qb,b=q1dIl est facile de montrer que

ˆbIV=ˆq1MCOˆdMCO:

q1MCOˆdMCO= (Z0Z)1Z0X 1 (Z0Z)1Z0Y = (Z0X)1Z0Z(Z0Z)1Z0Y = (Z0X)1Z0Y

ˆbIV

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresForme reduite et variable instrumentales : interpretation

bIV=ˆq1MCOˆdMCO Autrement dit, mesurerbpar les variables instrumentales est equivalent a mesurerqetdpar MCO et en deduired

Mesurer l'eet du revenu sur l'epargne via les variables instrumentales :Mesurer dans quelle mesure la pluie aecte les revenus des

agriculteurs via les MCOMesurer dans quelle mesure la pluie aecte l'epargne via les MCO En deduire la relation entre les revenus et l'epargne en calculant le \rapport" des deux coecientsCroire en la validite d'une demarche est donc similaire a croire en la validite de l'autre

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresEstimation en deux etapes et variables instrumentales :

TheoremeTheoreme : Il est equivalent de :

Mesurer le coecient de premiere etape

ˆqMCOet en deduire lesˆXRegresser par les MCOYsur lesˆXpour obtenirˆb2SLSCalculer

ˆbIV

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresEstimation en deux etapes et variables instrumentales :

Preuve (1)ˆ

qMCO= (Z0Z)1Z0X

X=ZˆqMCO=Z(Z0Z)1Z0X

X0=X0Z(Z0Z)1Z0

b2SLS=ˆX0ˆX1ˆX0Y h

X0Z(Z0Z)1Z0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0Y

h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0Y

ˆX0X1ˆX0Y

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresEstimation en deux etapes et variables instrumentales :

Preuve (2)ˆ

b2SLS=h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0Y

X'Z, Z'X, Z'Z etant carrees et inversibles, on a : = (Z0X)1Z0Z(X0Z)1X0Z(Z0Z)1Z0Y = (Z0X)1Z0Z(Z0Z)1Z0Y = (Z0X)1Z0Y

ˆbIV

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresEstimation en deux etapes et variables instrumentales :

InterpretationCalculer les

ˆXpermet d'avoir une approximation desXqui depende deZet non deuCela permet donc de prendre en compte la part deXqui vient desZ (la part de la variation du revenu des agriculteurs Thalandais qui vient du climat)Alors ˆXn'est pas correlee a#carˆX=ZˆqetZn'est pas correle a#.

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresIdee : Supposons qu'on ait plus d'instruments que de

variablesLes variables instrumentales ne marchent pas : la matricezdoit avoir autant d'instruments que la matricexLes doubles moindres carres pourraient marcher : on peut regresserxsur lesz.on peut en deduire ˆXet en deduireˆb2SLSSupposons quezest de dimensionL. b2SLS=ˆX0ˆX1ˆX0Y h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0Y

X

0[KN]Z[NL](Z0[LN]Z[NL])1Z0[LN]X[NK]

X

0[KN]Z[NL](Z0[LN]Z[NL])1Z0[LN]Y[N1]

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresValidite des doubles moindres carres

Remarque : on sait deja que les variables instrumentales sont un cas particulier de doubles moindres carres avecL=K.Les hypotheses seront donc similaires Hypotheses :1IE(z0#) =02rangIE(z0z) =L3rangIE(z0x) =K Theoreme : sous ces hypotheses, les doubles moindres carres sont un estimateursansbiaiset convergent (1) est totalement similaire aux variables instrumentales. (2) veut dire qu'il n'y a pas de collinearite stricte entre leszet que

tous varient. Sinon on ne peut faire la premiere etape.(3) veut dire qu'on preditKvariables linearement independantes en

faisant la premiere etape. Sinon on ne peut faire la seconde. ()LK)

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresValidite des doubles moindres carres : preuve

b2SLS=h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0Y

h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0(Xb+e)

h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0Xb

h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0e

=b+h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0e

OrIE(z0#) =0, maisIE(z0#jx)6=0

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresValidite des doubles moindres carres : preuve

b2SLSb=h

X0Z(Z0Z)1Z0Xi

1X0Z(Z0Z)1Z0e

1N X0Z1N Z0Z 11N Z0X# 11N X0Z1N Z0Z 11N Z0e 1N

Six0izi1N

Siz0izi

11N

Siz0ixi#

1 1N

Six0izi1N

Siz0izi

11N

Siz0i#i

Qui converge vers

h

Cov(x,z)Var1(z)Cov(z,x)i

1Cov(x,z)Var1(z)Cov(z,#)

OrIE(z0#) =0

Intro1 ?etapeF ormer eduiteD enitionInterp retationDoubles moindres c arresDoubles moindres carres : conclusion

Si on a plusieurs instruments \valables" pour une m^eme variable instrumentale, pas la peine de choisir Les Variables instrumentales sont un cas particulier des doubles moindres carres avec autant d'instruments que de variablesquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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