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CYCLE D'ORIENTATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

MATHÉMATIQUES

7 E

DÉPARTEMENT DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE

GENÈVE 1997

02.656

Rédaction:

Les éditions de 1986 - 1991 de ce manuel ont été rédigées et mises au point par un groupe d'enseignant-e-s et de représentant-e-s de bâtiment émanant du groupe de mathématiques du cycle d'orientation de Genève. L'édition de 1993 a bénéficié de la contribution de Monsieur John Steinig, professeur à la section de mathématiques de l'Université de Genève, ainsi que de celles de Madame Jocelyne Durler et Monsieur Alain Emery, présidents du groupe de mathématiques. L'édition 1997 a été revue et améliorée par Monsieur John Steinig, avec la collaboration de Madame Sylviane Coquoz, enseignante de mathématiques. Pour l'édition 1997, les exercices comportant des données statistiques ont été mis à jour en utilisant des renseignements fournis par l'Office cantonal de la statistique (Genève) et l'Office fédéral de la statistique (Berne).

Couverture:

Création: Pierre -Yves Jetzer,

Daniel Menotti

Photolitho: D. Hiestand

Graphisme et mise en pages:

Konrad Pfister

Coordination de l'édition:

Gérard Etique

Flashage:

D. Hiestand

Impression:

Roto-Sadag, S.A., Genève

© État de Genève, département de l'instruction publique.

AVANT-PROPOS

Ce manuel est le premier d'une série d'ouvrages conformes au plan d'études de

mathématiques adopté par le Conseil de direction en avril 1985. Il est destiné à tous les

élèves de 7e année du cycle d'orientation. Les caractéristiques essentielles de ce manuel sont les suivantes: - Il tient compte des conclusions de CIRCE III ainsi que des recommandations de la Commission genevoise de l'enseignement des mathématiques. - Il est essentiellement conçu comme un recueil contenant de nombreux exercices dans lequel chaque enseignant-e effectue un choix en fonction du niveau de ses élèves, ce qui lui permet de différencier, voire d'individualiser son enseignement. - La plupart des chapitres comportent quatre parties: •un résumé théorique destiné à l'élève qui veut revoir les connaissances indispensables pour résoudre les exercices, •des exercices oraux qu'il est possible d'effectuer mentalement,

•des exercices écrits,

•des exercices de développement qui dépassent le cadre strict du programme. - Les élèves n'écrivent pas dans le manuel; ils font leurs exercices dans leur cah- ier. - Le manuel est complété par un cahier de géométrie dans lequel les élèves effectuent des constructions géométriques. La consultation des maîtres, suite à l'expérimentation de l'ouvrage en 1986 ainsi qu'à sa généralisation en 1987, a conduit le groupe de mathématiques à entreprendre le remaniement de la première version du manuel. Une deuxième version, présentant des modifications secondaires, entra en vigueur en 1988. Une troisième version, parue en 1991, fut le fruit d'un travail de longue haleine effectué par une dizaine d'enseignant-e-s de mathématiques du cycle d'orientation. Elle offrait principalement une mise à jour des parties théoriques, l'adjonction d'un nombre important d'exercices et une modification sensible du

cahier de géométrie. La présente édition a été revue en profondeur et considérablement

améliorée, principalement au niveau de la théorie. C'est un plaisir pour nous de remercier toutes celles et tous ceux qui ont contribué à conférer à ce moyen d'enseignement une efficacité accrue, notamment Monsieur John

Steinig, professeur à la section de mathématiques de l'Université de Genève, pour son très

grand investissement dans cette nouvelle édition. L'enseignant-e saura apprécier les

améliorations apportées à cet ouvrage, tout en se rappelant qu'il n'est qu'un outil et qu'il est

indispensable de se référer au plan d'études pour y trouver les objectifs à atteindre ainsi que

les savoir-faire que les élèves doivent maîtriser.

Maurice BETTENS

Directeur du service

de l'enseignement

TABLE DES MATIÈRES

ENSEMBLES DE MULTIPLES,

ENSEMBLES DE DIVISEURS

PAGE EXERCICES

THÉORIE 9

EXERCICES ORAUX 17 1 à 14

EXERCICES ÉCRITS 19 15 à 43

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 25 44 à 51

NOMBRES, NUMÉRATION,

LES QUATRE OPÉRATIONS

THÉORIE 33

EXERCICES ORAUX 43 52 à 98

EXERCICES ÉCRITS 53 99 à 192

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 73 193 à 204

UTILISATION

DES QUATRE OPÉRATIONS

THÉORIE 81

EXERCICES ORAUX 83 205 à 233

EXERCICES ÉCRITS 89 234 à 320

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 103 321 à 335

LES FRACTIONS

THÉORIE 111

EXERCICES ORAUX 117 336 à 354

EXERCICES ÉCRITS 121 355 à 419

1 3 4 2

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 137 420 à 429

LES NOMBRES RELATIFSPAGE EXERCICES

THÉORIE 141

EXERCICES ORAUX 145 430 à 449

EXERCICES ÉCRITS 149 450 à 492

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 157 493 à 506

LES RELATIONS

THÉORIE 163

EXERCICES ORAUX 179 507 à 526

EXERCICES ÉCRITS 183 527 à 600

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 217 601 à 616

LONGUEURS ET AIRES

THÉORIE 229

LONGUEURS - EXERCICES ORAUX 243 617 à 624

AIRES - EXERCICES ORAUX 245 625 à 634

LONGUEURS - EXERCICES ÉCRITS 247 635 à 684

AIRES - EXERCICES ÉCRITS 261 685 à 756

LONGUEURS ET AIRES

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 283 757 à 793

5 6 7

Remarque importante

Les élèves sont invités à ne porter

aucune inscription dans ce livre, qui leur est prêté. Les exercices proposés doivent être résolus dans le cahier prévu à cet effet. 1

ENSEMBLES

ENSEMBLES

DE

MULTIPLES,

DE

DIVISEURS

THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E9

THÉORIE

1. LES ENSEMBLES

- Voici deux ensembles importants: = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ... } s'appelle l'ensemble des nombres naturels, ou encore l'ensemble des entiers naturels. = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... } s'appelle l'ensemble des nombres naturels positifs, ou encore l'ensemble des entiers positifs.

- Certains ensembles peuvent être définis en énumérant leurs éléments (c'est-à-dire,

en les écrivant tous).

Exemple A = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }

- Certains ensembles peuvent être définis en donnant une ou plusieurs propriétés qui caractérisent leurs éléments. Exemple L'ensemble E des entiers positifs plus petits que 9 Dans cet exemple, on peut aussi énumérer les éléments de l'ensemble:

E{ 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }

-L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B; on le note A ∩ B.

Exemple Diagramme de Venn

A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }

B = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 }

A ∩ B = { 1 ; 2 ; 4 }

AB 3 6 121
2 48

10MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

-Un ensemble C est inclus dans un ensemble D si tous les éléments de C appartiennent à D.

Si C est inclus dans D, on note: C ? D .

Exemple Diagramme de Venn

C = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 }

D = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 }

C ? D CD 1 2 3 6 18 9 THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E11

2. L'ENSEMBLE DES DIVISEURS D'UN ENTIER POSITIF

2.1 LA DIVISION EUCLIDIENNE (OU DIVISION AVEC RESTE)

Prenons deux entiers positifs, par exemple 42 et 4. Faire la division euclidienne (ou division avec reste) de 42 par 4, c'est chercher le quotient entier de la division de 42 par 4, ainsi que son reste, de la manière suivante:

On peut alors écrire:

Le reste 2 est plus petit que le diviseur 4

Voici d'autres exemples:

42 : 5 = 8 et le reste est 2 c'est-à-dire 42 = 5 · 8 + 2

42 : 9 = 4 et le reste est 6 c'est-à-dire 42 = 9 · 4 + 6

42 : 6 = 7 et le reste est 0 c'est-à-dire 42 = 6 · 7 + 0

Le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Dans le dernier exemple, on peut écrire plus simplement 42 = 6 · 7 . Dans ce cas-là, où le reste de la division euclidienne est 0, le quotient 7 et le diviseur 6 sont appelés tous les deux des "diviseurs de 42". 42 4
- 410 02 - 0

2dividende diviseur

reste quotient

42 = 4·10 + 2

dividende = diviseur·quotient + reste

12MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

2.2 LES DIVISEURS D'UN ENTIER POSITIF

Reprenons l'entier positif 42.

Chaque fois qu'on peut trouver deux entiers positifs dont le produit est 42, on dira que ces deux entiers sont des diviseurs de 42. Par exemple, puisque

42 = 3 · 14

3 et 14 sont des diviseurs de 42.

Mais on a vu que la division euclidienne de 42 par 4 s'écrit

42 = 4 · 10 + 2

Là, le reste n'est pas 0, donc 4 n'est pas un diviseur de 42. Formons de cette manière l'ensemble des diviseurs de 42, qu'on notera Div42 :

Diviseur Quotient

42 : 1 = 42 1 42

42 : 2 = 21 2 21 On continue aussi long-

42 : 3 = 14 3 14 temps que le quotient est

42 : 6 = 7 6 7 plus grand que le diviseur.

42 : 7 = 6 7 6

Div

42 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 }

Pour trouver tous les diviseurs d'autres entiers, on fera comme pour trouver les diviseurs de 42.

VocabulaireAu lieu de " 6 est un diviseur de 42"

on peut dire aussi" 6 divise 42 " , ou" 42 est divisible par 6 " , ou encore" 42 est un multiple de 6 " . RemarqueIl ne faut pas confondre les deux emplois du mot "diviseur".

Dans la division euclidienne

42 = 4 · 10 + 2

4 est le diviseur; mais 4 n'est pas un diviseur de 42, car le reste est 2.

Mais dans la division euclidienne

42 = 6 · 7 + 0

6 est à la fois le diviseur de la division, et un diviseur de 42.

THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E13

3. LE PGCD DE DEUX ENTIERS POSITIFS

Considérons les entiers positifs 36 et 54. Un diviseur commun de 36 et 54 est un entier positif qui divise 36, et aussi 54. Par exemple, 1 et 2 sont des diviseurs communs de 36 et 54.

Formons les ensembles Div

36 et Div54

Div

36 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 }

Div

54 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54 }

Div

36 ∩ Div54 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 }

Div

36 ∩ Div54 est l'ensemble des diviseurs communs de 36 et 54.

Le plus grand de ces diviseurs est 18. On exprime ce fait en disant que 18 est le plus grand commun diviseur de 36 et 54, ou encore, en abrégé, que 18 est le pgcd de 36 et 54. On constate que l'ensemble des diviseurs communs de 36 et 54 est aussi l'ensemble des diviseurs de 18, constatation qu'on peut noter: Div

36 ∩ Div54 = Div18 .

Div 36

12 4 36
54
Div 54
2 27
1 18 93
6

14MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

4. L'ENSEMBLE DES MULTIPLES D'UN ENTIER POSITIF

On a vu que 6 est un diviseur de 42, et qu'on exprime aussi ce fait en disant que

42 est un multiple de 6.

Plus généralement, un multiple d'un entier positif est le résultat de sa multiplication par un autre entier positif. Par exemple, 42 est le résultat de la multiplication de 6 par 7. On obtient l'ensemble des multiples d'un entier positif donné, en le multipliant à tour de rôle par chaque entier positif.

Exemples

Formons M

3, l'ensemble des multiples de 3 :

M

3 = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; ... }

De même

M

5 = { 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; ... }

THÉORIE 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS

MATHÉMATIQUES 7E15

5. LE PPCM DE DEUX ENTIERS POSITIFS

Considérons les entiers positifs 3 et 5. Un multiple commun de 3 et 5 est un entier positif

qui est à la fois un multiple de 3, et un multiple de 5; autrement dit, qui est divisible par 3 et

aussi par 5.

Reprenons les ensembles M

3 et M5. On voit que

M

3 ∩ M5 = { 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; ... } ;

M

3 ∩ M5 est l'ensemble des multiples communs de 3 et 5. Le plus petit de ces multiples

communs est 15. On exprime ce fait en disant que 15 est le plus petit commun multiple de 3 et 5, ou encore, pour abréger, que 15 est le ppcm de 3 et 5. On constate que l'ensemble des multiples communs de 3 et 5 est aussi l'ensemble des multiples de 15, constatation qu'on peut noter: M

3 ∩ M5 = M15 .

Voici un autre exemple: le ppcm de 4 et 6 est 12, et M

4 ∩ M6 = { 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; ... } ;

dans cet exemple-ci, on constate que M

4 ∩ M6 = M12 .

M3 M5 24
15 4510
20 25
35
40
12 21
27
18 5 339
63
30
60

16MATHÉMATIQUES 7E

1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS THÉORIE

6. NOMBRES PREMIERS, NOMBRES COMPOSÉS

Div1 = { 1 }

Div

13 = { 1 ; 13 }

Div

17 = { 1 ; 17 }

Div

6 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 }

Div

15 = { 1 ; 3 ; 5 ; 15 }

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