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I.A.Nombrespremiersetpremiersentreeux

noeN .Direque poePc'estdirequepZestunidéalmaximal.

E￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.Lespremiers nombrespremierssont2,3,5,7,9,11,13,17,....Mais6=2◊3

n'estpaspremier.

Desentiers(a

i ioeI chacundes(a i ioeI est1. premiersentreeux. Toutentiernaturel nØ2sedécompose demanièreuniquesous laforme n=p -1 1 ...p -r r où roeN ,p 1

1AEiAEr oe(N r E￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.1663200= 2 5 ◊3 3 ◊5 2 ◊7◊11.

D￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.[PGCD,PPCM]Ondéfinitle PGCD(resp.PPCM)d'unef amilled'élé -

mentscommele plusgranddiviseur(resp .leplus petitmultiple) communàchacundeses

éléments.

A￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.PGCD(10,30)=10 ,PGCD(2,15)=1 ,PPCM(2,3,5,7)=210 .

A￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.CalculdesPGCDetPPCMd'unefamille d'élémentsenfonc tiondeleur

SoitrØ2et(a

1 ,...,a r )desentiers relatifs.Si"=PGCD((a i

1AEiAEr

),alors ilexistedes entiersrelatifsu 1 ,...,u r telsque q r i=1 u i a i Les(a i

1AEiAEr

1 ,...,u r telsque q r i=1 u i a i =1. (i)Sia|bceta·b=1,alorsa|c. (ii)Sia|bcetb·c=1,alorsa|beta|c. p k

I.C.Répartitiondesnombrespremiers

prisentre2etunentiern>2fixé.

T￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.(admis)Notons(n)=c ard( PflJ1,nK).Alors(n)/n≥

1 ln(n)

©1mod n.

SoitpoePetaoeZtelsquep-a.Alorsa

p≠1

©1mod p.

R￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.Larécipr oqueestfausse!Par exempleavec561.Enr evanche, pourtout

aoeZ,onaa p

©1mod p.

n≠1

©1mod n.

•Bobchoisitdeux entierspr emiersdis tinctsp,qoePetposen=pq,puisil choisitensuite d modn. e

T￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.[￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿W￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿]SinØ2,onanoeP≈∆(n≠1)!©≠1mod n.

III.Applicationsenalgèbre

a moùp-m.

Plusgénér alement,onappellep-sous-groupedeS￿￿￿￿￿￿￿￿(oup-S￿￿￿￿￿￿￿￿)unsous -groupede G

decardinalp a O .Alorsona: |X|= q OoeO |O|= q OoeO |G| |Stab(x O i pourtoutioeJ1,aK. (iii)notonslenombredep-S￿￿￿￿￿￿￿￿deG.Alors|met©1mod p.

PourpoeP,onnoteF

p =Z/pZ. pelécar actéristiquedeA,not écar(A),tel quelesous-anneaupr emierdeAestisomorphe

àZ/car(A)Z.

P￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.SiKestunc orpsfini,sa caractéristiqueest unnombre premierpoePet

sonsous-corpspremierestisomorpheàF p p -espacevectorieloùp=car (K),de cardinalp n oùn=dim Fp (K).Deplus, toutsous -corps deKestdec ardinalp d pourund|n d n

élémentspourtoutpoeP,noeN

.Ils'agitdu corpsdedécompositionde X q ≠XsurF p oudet outautr epolynômeirréductibledeF p .Ce q 2 [X]/(X 2 p [X]estuncorps dedécompositiondePsurF p

Frob:F

q ≠aeF q ,x'≠aex p

P￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.Frobestunaut omorphismee tlessous-corpsde F

q sontexact ementles ensemblesdespointsfixesdeFrob d pourd|n. q )=ÈFrobÍ.

III.C.Résidusquadratiquesmodulop

SoitpoeP.OnnoteF

p lecorpsZ/pZ,puisF 2 p x 2 |xoeF p etF p 2 =F 2 p flF p 2 p =F p .Sinon,ona F 2 p p+1 2 p etcoeF p ,ax 2 +by 2 =cadmetdessolutionsdansF p

Onsupposedanslasuitepimpair.

p 2 ≈∆x p≠1 2 =1. 2 ©a modpadmetounonunesolutionentière. 3 a p 4 Y 1six 2

©amodpestrésolubleetp-a

0sip|a

≠1sinon 1 a p 2 ©a p≠1 2 modppourtoutaoeZ.

E￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.≠1estuncarrémodulopsietseulementsip©1mod 4.

1 a p 2 1 a+kp p 2 pourtouta,koeZ.OnpeutdoncdéfinirxoeF p '≠ae 1 x p 2 p ,◊)vers({±1},◊). 2 =apouraoeF p est1+ 1 a p 2 1 p q 21
q p 2 =(≠1) p≠1 2 q≠1 2 1 2 p 2 =(≠1) p 2 ≠1 8 .Ainsi2estuncarrémodulo psietseulementsip©±1mod 8.

Onpeutdonccalculer

1 n p 2 pourtoutentiern: 26
307
2 307
13 307
=≠(≠1)

13≠1

2

307≠1

2 307
13 8 13 2 13 4 13 =≠1

Ainsi26n'estpasuncarrémodulo307.

P￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.Unpolynômede degré supérieurouégal à1estirréductible dansZ[X]

SoitP=

q r i=0 a i X i oeZ[X].SoitpoeP.Sip-a r ,'iE￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿.SimoeZaunf acteur premiersanscarréalorsX

n ≠mestirréductibledans

Z[X]pourtoutnoeN.

q r i=0 a i X i oeZ[X].SoitPlaréductiondePmodulo p.Sip-a n etsiPestirréductibledansF p [X],alorsPestirréductibledansQ[X]. 3 +462X
2 p ≠X≠1 pourtoutpoeP. n oeC n [X]par n (X)= r 'oeU n (X≠'). n oeZ[X]. n n estirréductiblesurZetdoncsurQ. Lesnombrespr emiersapparaissentna turellementdansdenombreuxdomainesmathéma-quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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