Exercice 1 Développement décimal Exercice 2 Code secret
Exercice 1. Développement décimal La division posée permet d'obtenir une écriture décimale périodique illimitée du quotient.
4 Développement décimal dun réel
Exercice 4.1 Montrer qu'un nombre rationnel non nul r = On dit alors que cette écriture est un développement décimal illimité du réel x et les an pour.
Développements décimaux des nombres réels
et développement décimal illimité d'un nombre rationnel ou réel (cf. 3) Un bon exercice d'utilisation de la calculatrice consiste `a calculer ...
Devoir Seconde
Exercice 3. 1) Considérons un rationnel non décimal comme. 22. 7. Ce nombre a un développement décimal illimité c'est-à-dire que la division de 22 par 7 ne
TD : Numération – Arithmétique
Exercice 5. Trouver les décimaux s'écrivant a b avec ab=780. Exercice 6. Déterminer les nombres rationnels dont le développement décimal illimité est :.
TD 1 : Correction dexercices
Exercice 3. On rappelle qu'un nombre décimal est un nombre réel pour lequel il existe un développement décimal fini. (On peut aussi définir les nombres
Démonstrations 1 3 nest pas un nombre décimal Les compétences
Exercice 1 : Nombres `a suite décimale illimitée périodique on note P l'ensemble des nombres qui ont un développement décimale illimité périodique on a.
Diviseurs et multiples.
Exercice 1. Exercices 86 et 88 page 68 du manuel Indice 2019. ... (c) Écrivez le développement décimal illimité de chacun des quotients 14. 11 et 1 427.
Développement décimal des nombres réels
2.2 Exercices d'application et d'approfondissement . l'écriture décimale (éventuellement illimitée) de x = m a1a2...an... où donc m ? Z et (an)n?N.
1 Le développement décimal dun nombre réel
notée dans la vie courante sous la forme du développement décimal a = a0d1d2d3 ··· . Exercice pour réfléchir : montrer que le cas où ?n0 ? N tel que
[PDF] TD 1 : Correction dexercices
Exercice 3 On rappelle qu'un nombre décimal est un nombre réel pour lequel il existe un développement décimal fini (On peut aussi définir les nombres
[PDF] Développement décimal des nombres réels
Nous exhiberons en exercice des nombres transcendants (les nombres de Liouville) 4 Exercices Exercice 1 1 Soit p un nombre premier Démontrer que le
[PDF] Devoir Seconde
Exercice 3 1) Considérons un rationnel non décimal comme 22 7 Ce nombre a un développement décimal illimité c'est-à-dire que la division de 22 par 7 ne
[PDF] Solution exercice 8
Conclusion : Les parties I et II donnent une caractérisation des nombres rationnels par leur écriture décimale illimitée : Un nombre est rationnel si et
[PDF] 4 Développement décimal dun réel
Exercice 4 8 Montrer que pour tout entier n ? 5 le premier chiffre après la virgule du déve- loppement décimal illimité propre de ? n2 + 2n est égal à 9
[PDF] Les ensembles de nombres - Meilleur En Maths
Donner les nombres rationnels qui ne sont pas décimaux Donner les nombres irrationnels EXERCICE 2 Donner le développement décimal illimité périodique de
[PDF] DM1 Intégration Probabilités Élémentaires2006-07
23 oct 2006 · On appelle « développement décimal illimité propre » d'un réel x un développement qui ne comporte pas la répétition indéfinie du chiffre 9 à
[PDF] Feuille dexercices 8 : Rationnels et décimaux
Exercice 7 Dans cet exercice la calculatrice ne doit pas être utilisée 1 Déterminer par un calcul le développement décimal du nombre rationnel
[PDF] ENSEMBLES DE NOMBRES : exercices - page 1 - Pierre Lux
2 ) Réciproquement tout développement décimal illimité périodique correspond à l'écriture d'un rationnel a ) Compléter : y =000723723723
[PDF] Démonstrations 1 3 nest pas un nombre décimal Les compétences
Exercice 1 : Nombres `a suite décimale illimitée périodique on note P l'ensemble des nombres qui ont un développement décimale illimité périodique on a
![[PDF] TD 1 : Correction dexercices [PDF] TD 1 : Correction dexercices](https://pdfprof.com/Listes/17/59340-17Correct1.pdf.pdf.jpg)
TD 1 : Correction d"exercices
Exercice 3.On rappelle qu"un nombre d´ecimal est un nombre r´eel pour lequel il existe un d´eveloppement
d´ecimal fini. (On peut aussi d´efinir les nombres d´ecimaux comme les nombres r´eels qui admettent
exactement deux d´eveloppements d´ecimaux, exemple : 0,257 = 0,256999···.)1. Montrer qu"un nombre r´eel est rationnel si et s. si il admet un d´eveloppement d´ecimal p´eriodique
`a partir d"un certain rang. Exemple: 6722475= 0,27151515···
Ici je ne ferai que le cas non trait´e en TD, `a savoir qu"un nombre rationnel admet un d´eveloppement
d´ecimal p´eriodique `a partir d"un certain rang. Soit doncp/qun nombre rationnel. Quittes `a translater ce nombre par un entier, on peut supposer quep/q?[0,1[ ou encore quep < q. De plus on peut supposer quep/q?= 0.´Ecrivons p q=? k≥1aRemarquons que si `a partir d"un certain rang, lesaksont tous ´egaux `a 0 ou tous ´egaux `a 9 alors
p/qest un nombre d´ecimal et son d´eveloppement est ´evidemment p´eriodique `a partir du rang
en question. On peut donc sans perte de g´en´eralit´e supposer que l"on n"est pas dans ce cas.
Pour tout entierm≥1, on peut consid´erer la division euclidienne suivante : 10 mp=qn+r. Dans une telle division, on a :r? {0,...,q-1}, i.e.rne peut prendre qu"un nombre fini de 10 mp=nq+ret 10m+m?p= (n+n?)q+r. On soustrait ces deux ´egalit´es et on obtient : (10 m+m?-10m)p=n?q puis (10 m+m?-10m)p q=n??N. En utilisant l"´ecriture d´ecimal dep/q, on obtient la suite de relations suivantesN?n?= 10m+m??
k≥1a k10-k-10m? k≥1a k10-k k≥m+m?+1a k10m+m?-k-? k≥m+1a k10m-k k≥1a m+m?+k10-k-? k≥1a m+k10-k.Ceci est la diff´erence de deux nombres compris strictement entre 0 et 1. Cette diff´erence est
enti`ere ce qui implique que ces nombres sont ´egaux. Rappelons que nous avons suppos´e que 1 lesakne sont pas constants ´egaux `a 0 ou 9 `a partir d"un certain rang. Donc les deux nombrespr´ec´edents ne sont pas d´ecimaux donc leur ´ecriture d´ecimal est unique d"o`u l"on peut conclure
que pour toutk≥1, a m+m?+k=am+k. 4 #. Montrer queRest complet en utilisant le d´eveloppement d´ecimal. Remarques.Dans la suite, je vais utiliser des sous-suites. J"adopteraiselon les cas deux no- tations. Pour une suite (xn) je noterai (xnk)k?Nou bien (x?(n))n?Nune sous-suite. Dans le premier cas, il faut comprendre quenkest une suite strictement croissante deN. Dans le sec- ond,?est une fonction deNvers lui-mˆeme qui est strictement croissante. Tout d"abord, montrons le r´esultat interm´ediaire suivant : soit (xn) une suite de Cauchy ad- mettant une valeur d"adh´erence. Alors (xn) converge. Puisque (xn) admet une valeur d"adh´erence, cela signifie qu"il existel?Ret une sous-suite (xnk) qui converge versl. Soitε >0. La suite (xn) ´etant de Cauchy, il existeN?Ntel que si n,m≥Nalors|xn-xm|< ε/2 (on comprendra apr`es pourquoi on prendε/2 au lieu deε). D"autre part, la sous-suite (xnk) converge versldonc il existeK?Ntel que sik≥K, |xnk-l|< ε/2. Soit alorsN?= max{N,nK}et soitn≥N?. Soitkun entier sup´erieur `aKet tel quenk≥N (ceci est possible puisquenkest une suite d"entiers strictement croissante, donc en particulier qui tend vers +∞). On a alors :Revenons `a la question initiale sur la compl´etude deR. Nous allons utiliser le r´esultat pr´ec´ecent
et montrer l"existence d"une sous-suite convergente ce qui permettra de conclure imm´ediatement.Nous pr´esentons deux variantes:
Variante 1
Soit donc (xn) une suite r´eelle de Cauchy. Par l"exercice 2, la suite (xn) est born´ee. Par l"exercice 11 (question 3) limsupxn(qui est donc fini) est une valeur d"adh´erence de (xn).Variante 2
Ici, on fait une preuve plus directe et donc aussi plus compliqu´ee. Soit (xn) une suite r´eelle de
Cauchy.
Dans un premier temps, nous allons montrer qu"on peut se ramener au cas o`u tous lesxnsont entraine en particulier que lesxn(avecn≥N) ne sont pas tous entiers sauf si (xn) est constante `a partir du rangNauquel cas (xn) est ´evidemment convergente. Ainsi il existeN?≥Ntel quexN?/?N. Soit alorsε?>0 assez petit pour que l"intervalle ]xN?-ε?,xN?+ε[ ne contienne aucun entier. Par Cauchy, il existeN??tel que sin,m≥N??alors|xn-xm|< ε?. Ainsi en particulier (en prenantm=N?) pour toutn≥max{N?,N??},xn?]xN?-ε?,xN?+ε[et donc pour cesn, tous lesxnsont entre deux entiers cons´ecutifs fix´es, i.e. par exemple entre
jetj+ 1. Via une translation par-jon peut donc supposer que lesxnsont dans [0,1[. C"est ce que nous supposerons d´esormais. 2 Dans la suite nous noteronsdk(xn) lak-i`eme d´ecimale dexn. Ainsi par exemple pourx0, nous aurons x 0=? k≥1d k(x0)10-k.Consid´erons la suite (d1(xn))n?N. C"est une suite de{0,1,...,9}. Donc il existe n´ecessairement
une valeur qui est atteinte une infinit´e de fois. Ainsi il existe une sous-suite (x?1(n)) telle que
la premi`ere d´ecimaled1(x?1(n)) est constante. Notonsa1cette constante. Consid´erons la suited2(x?1(n)). Comme pr´ec´edemment, cette suite prend ses valeurs entreles entiers 0 et 9 donc il existe une sous-suite (x?1(?2(n))) de la pr´ec´edente dont la seconde
d´ecimale est constante. Notonsa2cette constante. En fait dans cette sous-suite, non seulementla seconde d´ecimale est constante, mais la premi`ere ´egalement (puisque c"est une sous-suite de
(x?1(n))).En continuant ainsi on construit, pour toutk, une sous-suitex?1(···(?k(n))···)telle que lesk
premi`eres d´ecimale soient constantes.Notons alorsl= 0,a1a2···et notons, pour toutn?N,yn=x?1(···(?n(n))···). La suite (yn) est
une sous-suite de (xn) ayant la propri´et´e que lesnpremiere d´ecimales deynsonta1,a2,...,an.
En cons´equence,
d"o`u l"on d´eduit que (yn) est une sous-suite de (xn) convergente. Exercice 11.Soit (un) une suite r´eelle. On d´efinit limsupun= limn→+∞sup{uk;k≥n} ?R? {+∞,-∞}, liminfun= limn→+∞inf{uk;k≥n} ?R? {+∞,-∞}.1. Justifier l"existence des ces limites.
Notons dans la suite,
u n= sup{uk;k≥n}etu-n= inf{uk;k≥n}. Ce sont des suites prenant leurs valeurs dansR? {+∞,-∞}.La suite (u+n) est ou bien constante ´egale `a +∞ou bien d´ecroissante dansR. Elle admet donc
une limite dansR?{-∞}(dansRsi elle minor´ee). On fait de mˆeme avec (u-n) qui est ou bien constante ´egale `a-∞ou bien croissante dansR.2. Calculer limsup(-1)n(1 +1
n) et liminf(-1)n(1 +1n).On trouve facilement limsupun= 1 et liminfun=-1.
3. Montrer que limsupunest la valeur d"adh´erence maximale de la suite (un).
Remarque :une valeur d"adh´erence de (un) est la limite d"une sous-suite convergente de (un). Ici il y a deux choses `a montrer. En premier lieu, il faut montrer que limsupunest une valeur d"adh´erence. En second lieu, il faut montrer que toute valeur d"adh´erence de (un) lui est inf´erieure ou ´egale. 3 Commen¸cons par montrer que limsupunest bien une valeur d"adh´erence de (un). Notons l += limsupun. Nous ne traiterons que le cas o`ul+est fini (je vous laisse en exercice le cas o`ul+= +∞).Soitkun entier positif. Posonsε=1
2k. Par d´efinition de la limitel+, il existe un entierNktel
que pourn≥Nk,|u+n-l+|< ε=12k, autrement dit :
?n≥Nk, l+-ε < u+n< l++ε. Posonsn0= 0 et supposons construit (par induction) un entiernk-1>0 tel que|unk-1-l+|< 12(k-1).
Soit alorsn >max{Nk,nk-1}. Par hypoth`ese,u+n= sup{uj|j≥n}. Donc, par d´efinition du sup, il existenk≥n > nk-1tel que uEn cons´equence,
k. Ainsi on a construit une sous-suite (unk) de (un) qui converge versl+et ce dernier est donc bien une valeur d"adh´erence de (un). Montrons maintenant quel+est sup´erieure ou ´egale `a toute autre autre valeur d"adh´erence de (un). Soit doncαune valeur d"adh´erence de (un). Soit (unk) une sous-suite de (un) qui converge versα. Pour tout entierk≥0, on ank≥k(carnkest une suite d"entiers strictement croissante) d"o`u u4. Montrer que (un) converge (dansR? {+∞,-∞}) si et s. si limsupun= liminfun.
Supposons que les limites inf et sup co¨ıncident. On a de mani`ere triviale que pour toutn, u d"o`u l"on conclut que (un) converge. R´eciproquement, supposons que (un) converge. Notonslsa limite. Alors toute sous-suite de (un) converge ´egalement versl. Donc par la question pr´ec´edente, limsupun=l. Comme dansla question pr´ec´edente on peut montrer que liminfunest la plus petite valeur d"adh´erence de
(un). On en d´eduit comme pr´ec´edemment quel= liminfun, d"o`u la conclusion voulue. 4quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] coopération au développement définition
[PDF] coopération internationale définition
[PDF] developpement local et amenagement du territoire
[PDF] planification stratégique des ressources humaines pdf
[PDF] gestion des ressources humaines en milieu hospitalier
[PDF] patron de cube avec languettes ? imprimer
[PDF] patron cube ? imprimer
[PDF] développement psychomoteur définition
[PDF] physiologie foetale pdf
[PDF] physiologie de la croissance foetale pdf
[PDF] période foetale définition
[PDF] phase embryonnaire
[PDF] le sport féminin
[PDF] féminisation du sport en france