[PDF] Épreuve 3 avril 2018 3 avr. 2018 Montrer que

Étantdonnéesdeuxsuitesréelles

1.Montrer que la suite(an-bn)n?Nest monotone et en déduire que pour tout entier natureln,

2.Justifier que les suites(an)n?Net(bn)n?Nsont convergentes vers une même limite?vérifiant :

3.On suppose de plus les suites(an)n?Net(bn)n?Nstrictement monotones. Montrer que :

1.Montrer que les suites(an)n?N?et(bn)n?N?sont adjacentes.

2.Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul, e-an=1

3.En déduire que pour tout entier naturelnnon nul, 0 n×n!.

En déduire la limite de la suite

(an)n?N?. Indication :on pourra étudier les variation de la fonctiont?-→(1-t)et.

4.En déduire une valeur dentelle queansoit une valeur approchée de e à 10-5près.

5.On suppose que e est un nombre rationnel.

a.Montrerqu"il existeunentier naturelnonnulqtelquelenombreeq!soitunentier naturel. b.Montrer quex=q!? e-q? p=01 p!? est un entier naturel.

Épreuve1A. P. M. E. P.

c.Montrer que 0Soitfune fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvertIcontenant 0. On rappelle que

fest ditedéveloppable en série entièreau voisinage de 0 s"il existe un nombre réelR>0 et une suite

an)n?0de nombres réels tels que ]-R;R[ est inclus dansIet : ?x?]-R;R[,f(x)=+∞? n=0a nxn. III.

1.Démontrer que la fonctionx?-→1

1+xest développable en série entière au voisinage de 0.

Préciser son développement et donner le rayon de convergence de cette série entière.

2.Justifier que, pour tout nombre réelxdans l"intervalle ]-1 ; 1[,

ln(1+x)=+∞? k=0(-1)kxk+1 k+1. On énoncera avec soin le théorème utilisé.

3.Pourx?[0 ; 1] etn?N, on poseSn(x)=n?

k=0(-1)kxk+1 k+1.

Démontrer que les deux suites

(S2n(x))n?Net(S2n+1(x))n?Nsont adjacentes.

4.En déduire que, pour tout entier naturelnet tout nombre réelxdans l"intervalle [0; 1[,

S

2n+1(x)?ln(1+x)?S2n(x).

5.En déduire que, pour tout entier natureln,

S

2n+1(1)?ln(2)?S2n(1).

6.Démontrer que ln(2)=+∞?

k=0(-1)k k+1.

Partie B : écriture d"un entier en base deux

Le but de cette partie est de démontrer que tout entier naturelNsupérieur ou égal à 2 s"écrit de

manière unique

N=n-1?

k=0d k2kavecn?2et??k??0 ;n-1?,dk?{0, 1}, d n-1=1.

L"égalitéprécédentesenoteN=

s"appelle la suite des chiffres dans l"écriture deNen base deux. Dans toute cette partie,Ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

IV.On suppose queN=n-1?

k=0d k2kavec?k??0 ;n-2?,dk?{0, 1} etdn-1=1.

1.Montrer que 2n-1?N?2n-1.

2.Montrer qued0est le reste de la division euclidienne deNpar 2.

CAPES externe 3 avril 20182

Épreuve1A. P. M. E. P.

3.Démontrer que la suite(d0,...,dn-1)est déterminée de manière unique.

V.On définit deux suites d"entiers?yk?

k?Net(dk)k?Npary0=Net pour tout entier naturelk,yk+1et d kdésignent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deykpar 2.

1.On fixek?N?. ExprimerNen fonction dek,d0, ...,dk-1etyk.

2.Démontrerquelasuite?yk?

tel que dn-1dn-2...d0soit l"écriture deNen base deux.

3.Écrireunalgorithmequi,pour toutentier naturelNsupérieur ouégal2donné,renvoielasuite

d0,d1, ...,dn-1)des chiffres de son écriture en base deux.

4.Écrire en base deux le nombre qui s"écrit 391 en base dix.

VI.On se propose à présent de calculer le nombreNqui s"écrit dn-1dn-2...d0en base deux.

1.Première méthode : méthode "naïve».On écritN=n-1?

k=0d k2k. Combien d"opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer a prioripour calculerNavec cette méthode? Combien d"opérations (additions et multiplications) doit-on effectuera prioripour calculer

Navec cette méthode?

3.Écrire un algorithme qui, pour toute suite de chiffres(d0, ...,dn-1)donnée, renvoie la valeur

deNcalculée à l"aide de cette deuxième méthode.

4.Quel est le nombre dont l"écriture en base deux est

101001000100001?

Partie C : nombres dyadiques

L"ensembleD2=?a

2p;a?Z,p?N?

est appelé ensemble des nombres dyadiques. On noteD+2l"en- semble des nombres dyadiques positifs ou nuls. VII.Montrer queZest strictement inclus dansD2et queD2est strictement inclus dansQ.

Indication: on pourra montrer que1

3?D2. VIII.Soitx?D+2\N. On se propose de démontrer qu"il existe un unique entiern?1 et une unique suite (a0,a1, ...,an)aveca0?Net(a1, ...,an)?{0, 1}ntels que x=n? k=0a k2-k, avecan?=0. Le membre de droite de cette égalité s"appelle le développement dyadique dex.

1.Onsupposequ"unetellesuiteexiste.Montrerquea0=E(x)puismontrerquelasuite(a0,a1, ...,an)

est déterminée de manière unique.

2.On souhaite à présent montrer l"existence d"une telle suite. À l"aide de la partie précédente,

égaux à 0 ou 1, non tous nuls, tels que

x=a0+p-1? k=0d k2k-p.

3.Conclure.

IX.Donner le développement dyadique de35

4.

CAPES externe 3 avril 20183

Épreuve1A. P. M. E. P.

Partie D : développementdyadique illimité

On appelle suite dyadique toute suite

(ak)k?N?où pour toutk?N?,akest un élément de {O, 1}. De plus :

— une suite dyadique

(ak)k?N?est dite impropre s"il existe un entierm?N?tel que pour tout k?m,ak=1;

— une suite dyadique

(ak)k?N?est dite propre si elle n"est pas impropre.

X.On suppose quea=(ak)k?N?est une suite dyadique.

1.Démontrer que la série de terme généralak2-kest convergente. On note sa somme

s(a)=+∞? k=1a k2-k.

2.SoitNun entier naturel. Que vaut+∞?

k=N2-k?

3.Vérifier ques(a)?[0 ; 1].

4.Montrer que siaest une suite dyadique propre, alorss(a)?[0 ; 1[.

5.Montrer que siaest une suite dyadique impropre, alorss(a) est un nombre dyadique.

6.Soita=(ak)k?N?la suite définie par

a k=?0 sikest impair

1 sikest pair

Montrer ques(a)=1

3. XI.Soitxun nombre dyadique compris dans l"intervalle [0, 1[.

1.En utilisant les résultats de la partie C, montrer qu"il existe une suite dyadique propreatelle

que x=+∞? k=1a k2-k.

2.Montrer que sixest non nul, alors il existe également une suite dyadique improprebtelle que

x=+∞? k=1b k2-k. XII.Dans cette question, on considère un nombre réelxappartenant à l"intervalle [0; 1[. On lui associe la suiteα(x)=(αk(x))k?N?définie pour toutk?N* par l"égalité k(x)=E? 2kx? -2E?

2k-1x?

Pour toutn?N?, on poseun(x)=n?

k=1α k(x)2-ketvn(x)=un(x)+2-n.

1.Démontrer que la suite(αk(x))k?N?est une suite dyadique.

2.Démontrer que les deux suites(un(x))k?N?et(vn(x))k?N?sont adjacentes et prennent leurs

valeurs dansD2∩[0 ; 1].

3.Vérifier queE(2nx)=2nun(x) et en déduire que pour tout entier natureln?1,

u n(x)?x4.Quelle est la limite commune des suites(un(x))k?N?et(vn(x))k?N??

CAPES externe 3 avril 20184

Épreuve1A. P. M. E. P.

5.Montrer que(αk(x))k?N?est une suite dyadique propre et que

6.En déduire que pour tout nombre réelxdans l"intervalle [0; 1[, il existe une unique suite dya-

On note alors

0,a1a2a3...

Silasuite

7.Sid=(dn)n?N?est une suite dyadique propre, on notex=s(d) etd?=(dn+1)n?N?.

Justifier qued1=E(2x) ets?d??=2x-d1.

XIV.Démontrer queR\D2est dense dansR.

Indication: on pourra utiliser la questionVII.

0,a1a2a3....

1.Quel est le développement dyadique de 1-x?

2.On suppose que 2x?[0 ; 1[. Quel est le développement dyadique de 2x?

3.Donner le développement dyadique de2

1.Vérifier que pour tout entier natureln,

2n+s2n=1.