[PDF] Nombres dyadiques 25 févr. 2013 dans

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Au sujet des intégrales de Wallis : une

démonstration sans récurrence pour les termes d"indice pair

Claire David

25 février 2013

Claire David

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6

Laboratoire Jacques Louis Lions - UMR 7598

Boîte courrier 187, 4 place Jussieu, F-75252 Paris cedex 05, France On rappelle qu"un nombre dyadique est une fraction rationnelle de la forme 1 2 n, n∈IN. Considérons maintenant l"ensemble des rationnels dyadiques, i.e. de la formek 2 n, k∈IN,n∈IN. Une propriété remarquable de l"ensemble des rationnels dyadiques est sa densité dans IR : tout nombre réel est donc limite d"une suite de nombres rationnels dyadiques. Ainsi, tout réelrpeut être approché à1 2 n,n∈IN, par ses valeurs approchées dyadiques par défaut et par excès; comme

E(2nr)-1< E(2nr)62nr < E(2nr) + 1(1)

on obtient en effet : 1 2 nE(2nr)-1 2 n<1 2 nE(2nr)6r <1 2 nE(2nr) +1 2 n(2) On rappelle aussi que tout réelrde l"intervalle[0,1[admet un développement en base 2 de la forme : r=+∞∑ n=0r n 2 n, rn∈ {0,1}(3) L"intérêt d"une décomposition en base 2, qui est binaire - des 0 et des 1 - est la facilité d"application à des calculs numériques - l"ordinateur ne faisant que du binaire. Nous reviendrons ultérieurement sur ce point, qui est une des motivations de la théorie des ondelettes.

Considérons maintenant l"espace IR

d,d∈IN⋆.

La topologie de IR

dfait, naturellement, appel à la boule unitéB(0,1), qui permet

Claire David

facilement de se " repérer » dans IR d: il y a les élements situés à l"intérieur de cette boule, et les autres. Utilisons, maintenant, les nombres dyadiques pour cette topologie. Pour commen- cer, considérons les valeurs approchées dyadiques de 1 : ∀n∈IN⋆:1 2 nE(2nr)-1 2 n<1 2 nE(2nr)6r <1 2 nE(2nr) +1 2 n(4) et, en particulier, pourn= 2: 1 2

2E(22)-1

2 2<1 2

2E(22)61<1

2

2E(22)+1

2 2(5) et donc, bien évidemment : 1-1 2

261<1 +1

2 2(6) puis : 3 4 61(7)
ce qui conduit à considérer non plus la boule unité, mais la bouleB(O;3 4 Cherchons maintenant à obtenir un recouvrement de IR dpar des couronnes " dya- diques », centrées enO, dont le rayon intérieur tende vers zéro, et sur lesquelles ont puisse définir des distributions à supports disjoints. Il est naturel, pour la première couronne, de choisir3 4 comme rayon intérieur. Tout élémentxde cette couronne sera donc tel que : ∥x∥>3 4 (8) L"idée du recouvrement et des " supports à disjoindre » conduit alors à considérer, en même temps, les élémentsx′tels que : ∥x′∥63 4 (9) soit : 1 ∥x′∥>4 3 (10)

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et, par là-même, la bouleB( O;4 3 .CI3 4,8 3) BI0,4 3) ?2?112 ?2 ?1 1 2

La bouleB(O;4

3 )et la couronneC(O;3 4 ;8 3 Pour tout réel positifr, il existe un entier naturelnrtel que : 2 nr+263r62nr+3(11) et donc : 2 nr4 3

6r62nr8

3 (12) puis : 4 3 6r 2 nj68 3 (13) Ainsi, pour toutxde IRd, il existe un entiernxtel que : 4 3

6∥x∥

2 nx68 3 (14) ce qui signifie que x 2 nxappartient à la couronneC( O;3 4 ;8 3 xappartient donc à la couronneC(

O;2nx3

4 ;2nx8 3

Tout élément de IR

dpeut donc être " localisé » dans une couronne de la forme C( O;2n3 4 ;2n8 3

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Cela amène alors naturellement à la décomposition dyadique de l"unité [1] : il existe deux fonctions radialesχ∈ D( B( O;4 3 etφ∈ D( C( O;4 3 ;8 3 , à valeurs dans[0,1], telles que, pour toutξde IRd:

χ(x) +∑

n>0φ(x 2 n) = 1(15)?3?2?10123 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Les fonctionsφetχ.

?20?101020 ?20 ?10 10 20

Les couronnes

0.1 Application à la théorie des profils

L"idée est la suivante : montrer que la solution des équations de Navier-Stokes se décompose sous forme " dyadique » de la façon suivante :

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i.

Dans le cas de " non-explosion » :

u(x,t) =2∑ i=1 i,σ(i),...,σn-1(i)σn(i)NS(γi,σ(i),...,σn-1(i)σn(i))(x,t), n∈N⋆ (16) oùσest une permutation de l"ensemble{1,2}: ∀i∈ {1,2}:

σ(i)∈ {1,2}(17)

et où, pour tout entiernde{1,...,N},n6N, et toutide{1,2},σk(i) désigne l"itéréekemedeσ(i). NS(γi,σ(i),...,σn-1(i)σn(i))désigne la solution de l"équation de Navier-Stokes associée au profilγi,σ(i),...,σn-1(i)σn(i), et 1 t 2 i,σ(i),...,σn-1(i)σn(i)) (18) Pour alléger les écritures, on notera désormais : i,σn(i)(19) pour i,σ(i),...,σn-1(i)σn(i)(20) et i,σn(i)(21) pour i,σ(i),...,σn-1(i)σn(i)(22) Les profils intervenant dans cette décomposition sont définis de façon récur- sive et orthogonale, par :

1∈ B(0,1), γ2∈ C1(23)

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oùC1est la couronne dyadiqueC(

O;rint

2 ;2rext) , puis :

1,1∈ B(0,1)+, γ1,2∈ C1+(24)

ii. Dans le cas de l"" explosion », la solution présente une structure " fractale », de la forme : u(x,t) =2∑ i=1 avec des notations analogues à celle dui.: i,σ∞(i)(26) pour i,σ(i),...,σ∞(i)(27) et : i,σ∞(i)(28) pour i,σ(i),...,σ∞(i)(29)

Claire David

Définition 0.1.1.

Sous-profils (faibles)

On appellesous-profil (faible)un champ de vecteursx∈IRd7→~γ(x)auquel on puisse, par construction, associer un profilγ, un cœurx, et une échelleλ, tels que, grâce aux propriétés d"invariance par changement d"échelle : ∥~γ∥=∥γ∥(30)

Définition 0.1.2.

Sous-profils (forts)

On appellesous-profil (fort)un champ de vecteursx∈IRd7→~γ(x)auquel on puisse, par construction, associer une famille de profilsγj,j= 1,...,N, une famille de cœursxj,j= 1,...,N, et une famille d"échellesλj,j= 1,...,N, vérifiant les conditions d"orthogonalité : j̸=j′⇒ lim n→+∞( λj j′+λj′ j) ou j j= +∞(31)

Définition 0.1.3.

Voisinage extérieur d"une boule

On appellera voisinage extérieur d"ordreε >0d"une bouleB(xB,rB), de centre x

B∈IRd, de rayonrB∈IR⋆, l"ensemble

B(xB,rB) +ε={

x∈Rd\

B(xB,rB), rB<|x-xB|< rB+ε}

(32)

Définition 0.1.4.

Voisinage extérieur d"une couronne

On appelleravoisinage extérieur d"ordreε >0d"une couronneC(xC;rintC,rextC), de

centrexC∈IRd, de rayon intérieurrintC∈IR⋆, de rayon extérieurrextC∈IR⋆,

l"ensemble

C(xC;rintC,rextC) +ε={

x∈Rd\

C(xC;rintC,rextC), rextB<|x-xC|< rextC+ε}

(33)

Claire David

Définition 0.1.5.

Largeur d"une couronne

On appelleralargeurd"une couronneC(xC;rintC,rextC), de centrexC∈IRd, de rayon intérieurrintC∈IR⋆, de rayon extérieurrextC∈IR⋆, le réel positif r extC-rintC(34) Dans un premier temps, montrons que tout champ de vecteurs de l"espace IR d (d= 3),x7→v(x), donnée initiale de l"équation deNS, est la somme d"une série de sous-profils~γi,i∈IN. On cherche à en déduire la densité de " l"espace des profils » dans IR d, ce qui revient finalement à " orthogonaliser » la famille de sous- profils. Grâce à la décomposition dyadique, on écrit, dans un premier temps, pour toutx de IR d: v(x) =v(x)χ(x) ++∞∑ j=0v(x)φ(x 2 j) (35) oùχ∈ D( B( 0,4 3 etφ∈ D( C( 0;3 4 ,8 3

On notera, dans ce qui suit,Bu=B(

0,4 3 , qui est donc notre " boule unité », et, pour tout entier natureln: C j={ x∈IRd/3 4 6 x 2 j 68
3 (36) (Je n"exclus pas de renormaliser et considérer la boule unité et des couronnes plus " naturelles ».) On notera, dans ce qui suit,rule rayon de la boule unité.

Grâce au recouvrement de IR

dpar la bouleBuet les couronnes dyadiquesCj,j∈IN, on a donc une " décomposition dyadique en champs de vecteurs » du champ de vecteursv. Dans un premier temps, on suppose que le champ de vecteursvest_H1 2 (IR3). La décomposition infinie en sous-profils faibles est donc, finalement, une somme finie. La première possibilité est, tout simplement, d"associer à chaque sous-profil (faible)

Claire David

x7→v(x)χ(x)oux7→v(x)φ(x 2 j)un profilγjauquel on associe un cœur dans la boule unité pour le sous-profil faiblex7→v(x)χ(x), et dans la couronneCjpour chacun des sous-profils faiblesx7→v(x)φ(x 2 j). Afin que les conditions d"orthogonalité de la famille de profils ainsi obtenue soient respectées, on leur associe, comme échelles, 1 pour le profil associé au sous-profil faiblex7→v(x)χ(x), etλjpour chacun des profils respectivement associés aux sous-profils faiblesx7→v(x)φ(x 2 j), où la suite(λj)j∈INest telle que :

0= 1, λj+1=λj

2

N+j(37)

oùNest un entier choisi≫1. La famille de profils ainsi construite vérifie bien les conditions d"orthogonalité at- tendues. La question est alors la suivante : que représente la somme de la série de profils ainsi obtenue? Grâce aux conditions d"orthogonalité et d"invariance par changement d"échelle, la solution deNSobtenue par la somme de cette série de profils est globale. Evidemment, on veut montrer que la somme de cette série de profils est égale au champ de vecteursvinitial. L"extrême avantage de cette décomposition serait, aussi, à partir d"un champ de vecteurs donnée initiale deNS, d"obtenir directement la forme des profils qui nous intéressent, car, a priori, hormis le fait qu"isl vérifient des conditions d"orthogonalité et génèrent des solutions deNSvérifiant aussi un certain nombre de conditions, on ne sait pas grand chose d"eux ... A cet effet, la seule solution pour le démontrer semble être d"utiliser une décom- position des sous-profils (version forte) en profils. Là, chaque sous-profil (faible) ~γjgénère un nombreNjde profils. Il faudrait pouvoir montrer que, pour toutj, N j= 1, ce qui serait en cohérence avec la " décomposition naturelle », grâce aux sous-profils (version faible), obtenue ci-dessus. Pour le démontrer, un raisonnement par l"absurde semblerait le plus approprié. Au champ de vecteursx∈IRd7→v(x)χ(ξ), on associe donc la décomposition en profils v(x)χ(x) =N

0∑

i=11 i,0φi,0(x-xi,0 i,0) +ψN0(x)(38)

Claire David

où, pour toutide{1,...,N0},xi,0∈ Bu,λ1,0= 1, et, pour toutide{1,...,N0-1}, i+1,0=λi,0 2 N+i,N∈IN≫1, de façon à ce que les conditions d"orthogonalité soient vérifiées. Le sous-profilx∈IRd7→v(x)χ(x)se décompose donc en somme deN0profils, modulo un resteψN0. De façon très intéressante, il est à noter que, du fait de la présence de la fonc- tion indicatricex7→χ(x), qui est identiquement nulle en dehors de la boule unité, la décomposition en profils ainsi obtenue sera telle que le resteψN0sera identiquement nul en dehors de cette même boule unité; d"autre part, le profil x7→1 i,0φi,0(x-xi,0 i,0) ne sera non identiquement nul que si : x-xi,0 i,0

6ru(39)

soit : ∥x-xi,0∥6λi,0ru(40) ce qui revient à se placer sur une couronne centrée enxi,0, de largeurλi,0ru. x i,0étant donné, il existe donc une unique couronne du recouvrement considéré qui contienne l"ensemble desx∈IRdvérifiant cete dernière condition. Il faut, ensuite, déterminer une décomposition du deuxième sous-profil x∈IRd7→v(x)φ(x 2 1) en somme deN1profilsx7→i i,1φi,1(x-xi,1 i,1) , modulo un resteψN1, de façon à ce que les conditions d"orthogonalité avec lesN0premiers profils soient vérifiées : on choisit de considérer un premier cœurx1,1situé dans un voisinage extérieur d"ordre 1 2

Nde la forme

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