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Table des matieres
I Introduction3
I.1 Denitions algebriques generales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II Hierarchie algebrique10
II.1 Proto-nombres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2 Entiers naturelsN?etN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3 Entiers relatifsZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.4 RationnelsQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.5 Nombres reelsR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.6 ComplexesC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III Variations sur la hierarchie algebrique
66III.1 DecimauxD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III.2 Entiers de GaussZ[i]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III.3 Nombres entiers d'EisensteinZ[j]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.4 Dyadiques?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.5 Nombres constructiblesC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.6 Entiers modulo pZ=pZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III.7 Nombresp-adiquesZp,QpetCp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
III.8 Compactication des Entiers Naturels!+ 1;N;N?;N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.9 Droite reelle acheveeR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.10 SupernaturelsSN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV Methodes de construction
96IV.1 MulticomplexesMCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.2 MulticomplexesCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV.3 Hypercomplexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100IV.4 Cayley-DicksonCD(A;). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
IV.5 Algebres de CliordC`p;q(R) etC`n(C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
IV.6 TessarinesT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
V Innitesimaux115
V.1 Hyperreels
R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115V.2 SurreelsNo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
V.3 SuperreelsR(David Tall). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
V.4 Corps de Levi{CivitaR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VI Theorie des ensembles ZF(C)
130VI.1 OrdinauxOrd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
VI.2 CardinauxCard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
VI.3 Ordinaux de HessenbergH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
VI.4 Reels denissables, calculables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141VII Algebres de dimension 2 surR144
VII.1 Nombres DuauxD1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
VII.2 Complexes fendusC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
VIII Algebres de dimension 4 surR151
VIII.1 QuaternionsH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
VIII.2 Quaternions de HurwitzeH(Z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
VIII.3 Quaternions hyperboliques (Macfarlane)M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
VIII.4 CoquaternionH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
VIII.5 BicomplexesC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Table des Matieres1
Ensembles de Nombres
IX Algebres de dimension 8 surR169
IX.1 OctonionsO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
IX.2 Octonions FendusO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
IX.3 BiQuaternionsB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
IX.4 BiQuaternions de CliordB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
IX.5 Quaternions duauxD4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
X Algebres de dimension 32 surR186
X.1 TrigintaduonionsT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
XI Algebres de dimension 64 surRet au-dela190
XI.1 SexagintaquatronionsX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
(Certains chapitres prevus ne sont pas encore disponibles)Table des Matieres2Ensembles de Nombres
I Introduction
Dieu t le nombre entier, le reste est l'oeuvre de l'HommeLeopold Kronecker (1823-1891)
1Si l'origine empirique des nombres entiers naturels est incontestable, la volonte de perfectionner le raison-
nement necessite la formalisation du langage, et la clarication de ses fondements. C'est dans cette optique
que les nombres entiers furent construits sur une axiomatique moderne 2.Methode axiomatique qui permit de nombreuses constructions abstraites de nombres tres divers : nombres
relatifs, decimaux, rationnels, reels, irrationnels, algebriques, transcendants, complexes, multicomplexes, hy-
percomplexes, quaternions, octonions, supernaturels, superreels, surreels... cette liste est elle-m^eme surreelle,
et n'est pourtant pas exhaustive!Ce document est une tentative d'introduction aux ensembles de nombres dont cette liste encyclopedique
n'est qu'une faible partie...1. Cite dans Eric Temple Bell,Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1986, p. 527.
2.The A xiomaticMetho d
.I . Introduction3Ensembles de Nombres
I.1 Denitions algebriques generales
Le but de ce chapitre est de xer certaines denitions utilisees dans les chapitres ulterieurs. Le choix de la
terminologie est arbitraire et varie d'un ouvrage a un autre.I.1.1 Lois de composition internes et externes
Denition :SoitEun ensemble non vide. Une loi de composition interne (ou operation) surEest une application:EE!E. En general, on notexyau lieu de(x;y). Un ensemble muni d'une operation est appele magma (on trouve aussi les noms de monade et de groupode).Proprietes usuelles des lois de composition internes :Commutativite8(x;y)2E2(xy=yx)Associativite8(x;y;z)2E3(xy)z=x(yz)Regularite8(x;y;z)2E3(((xy=xz)^(yx=zx)))y=z)eest un element neutre8x2E(xe=ex=x)x
0est le symetrique dexeest l'element neutre etx0x=xx0=eaest un element absorbant8x2E(xa=ax=a)iest un element idempotentii=iRemarques :
Les notions de regularite, d'elements neutre, d'element symetrique et d'element absorbant peuvent ^etre
precisees a gaucheoua droite, mais ces distinctions ne sont pas pertinentes ici. Six0est le symetrique dexpour la loi *, alorsxest le symetrique dex0pour cette m^eme loi *. Le symetrique pour une operation notee additivement est generalement appeleoppose. Le symetrique pour une operation notee multiplicativement est generalement appeleinverse.Dans le cas general le symetrique dexest notex1.
Certaines proprietes sont moins connues, mais seront utiles par la suite.Alternativite8(x;y)2E2((x(xy) = (xx)y)^((xy)y=x(yy)))Associativite des puissances8x2E(x(xx) = (xx)x)Flexibilite8(x;y)2E2(x(yx) = (xy)x)Permutativite8(x;y;z;t)2E4(xy)(zt) = (xz)(yt)Neutroactivite8(x;y;z)2E3((x(yz))x= (xy)(zx))Identite de Moufang8(x;y;z)2E3(xy)(zx) =x(yz)xRemarques :
Associativite)Alternativite)Flexibilite)Associativite des puissances. L'associativite des puissances permet de denir la notationxn, et au dela la notion de polyn^ome.Associativite + Commutativite)Permutativite.
Associativite)Neutroactivite.
Denition :SoitEetKdeux ensembles non vides. Un loi de composition externe est une application :KE!E. La encore, on note usuellementx, voirexau lieu de(;x). I.1.2 Structures algebriques avec une loi de composition interneSoit (E;) un magma.
Denition :On dit que (E;) est un demi-groupe siest associative.Denition :On dit que (E;) est un monode siest associative et possede un element neutre.I . Introduction4
Ensembles de Nombres
Denition :On dit que (E;) est un semi-groupe siest associative, possede un element neutre et est reguliere. Denition :On dit que (E;) est un groupe siest associative, possede un element neutre et si tout element admet un symetrique pour la loi. Si, de plus,est commutative, on parle de demi-groupe, de monode, de semi-groupe ou de groupe com- mutatif. Un groupe commutatif est aussi appele groupe abelien.Remarque :Soit (E;) un magma. Alors
(E;) groupe)(E;) semi-groupe)(E;) monode)(E;) demi-groupe. Denition :Soit (E;) et (F;?) deux magmas. Un morphisme de magmas est une application:E!F veriant8(x;y)2E2; (xy) =(x)? (y)
Si (E;) et (F;?) sont deux groupes (resp. deux demi-groupes, deux monodes, deux semi-groupes), on parle plut^ot de morphisme de groupes (resp. de morphisme de demi-groupes, de morphisme de monodes,de morphisme de semi-groupes) ce qui represente un abus de langage (tres repandu) dans la mesure ou les
proprietes de la loi de compostion interne n'interviennent pas dans la denition d'un morphisme.Il existe de nombreuses autres structures, mais qui ne seront pas utiles ici (paragroupe, antigroupe, etc.)
Citons neanmoins :
Denition :On dit que (E;) est un quasigroupe si (E;) est un magma non vide veriant :1.8x8y9!z(xz=y)
2.8x8y9!z(zx=y)
Un quasigroupe est regulier, mais l'inverse n'est pas certain. Denition :On dit que (E;) est un quasigroupe unitaire (loop en anglais) si (E;) est un quasigroupe etpossede un element neutre. Denition :On dit que (E;) est un quasigroupe de Moufang si (E;) est un quasigroupe unitaire et que verie en plus l'identite de Moufang. I.1.3 Structures algebriques avec deux lois de composition interneUn ensembleAmuni de deux lois de composition interne est un annelide. Il est d'usage de noter les lois
d'un annelide + et; de plus, s'ils existent, les elements neutres de + et desont notes respectivement 0 et 1
(eventuellement 0Aet 1Asi on veut preciser l'annelide).
Proprietes usuelles avec deux lois de composition interne (+ et).distributive sur +8(x;y;z)2A3(((x+y)z= (xz) + (yz))^(z(x+y) = (zx) + (zy)))x est un diviseur de 09y2E((x6= 0)^(y6= 0)^(xy= 0))x est nilpotentPour un certain nxn= 0Dans la suite, (A;+;) designe un annelide.
Denition :On dit que (A;+;) est un semi-anneau si : (A;+) est un monode commutatif. est associative. est distributive par rapport a +.I . Introduction5Ensembles de Nombres
Denition :On dit que (A;+;) est un anneau si :
(A;+) est un groupe commutatif est associative est distributive par rapport a +. Un anneau (ou un semi-anneau) dont la multiplication possede un element neutre est appele anneau (ousemi-anneau) unitaire. Si la multiplication est commutative, on parle d'anneau (ou de semi-anneau) commu-
tatif. Denition :On dit qu'un anneau sans diviseur de 0 est un anneau integre.Denition :On dit que (A;+;) est un corps si (A;+;) est un anneau unitaire tel que les elements neutres
0 et 1 sont distincts, et tel que tout element non nul (i.e tout element dierent de l'element neutre 0) admet
un symetrique. De maniere equivalente, (A;+;) est un corps si (A;+) est un groupe abelien et si (Anf0g;)
est un groupe. Un corps dont la multiplication est commutative est appele corps commutatif. Denition :Soit (A;+;) et (B;+;) deux anneaux. Un morphisme d'anneaux (c'est a nouveau un abus de langage, morphisme d'annelides serait plus approprie) est une application:A!Bveriant8 (x;y)2A2((x+y) =(x) +(y))
8 (x;y)2A2((xy) =(x)(y))
De plus, siAetBsont unitaires, on impose souvent la condition supplementaire(1A) = 1B.Si (A;+;) et (B;+;) sont deux semi-anneaux (resp. deux corps), on parle plut^ot (toujours pas abus de
langage) de morphisme de semi-anneaux (resp. de morphisme de corps).I.1.4 Modules et espaces vectoriels
Un ensembleEmuni d'une loi interne et d'une loi externe est appele modulode. On note usuellement + la
loi interne etla loi externe. L'element neutre de +, s'il existe, se note generalement 0 (eventuellement, 0E).
Dans la suite (A;+;) est un anneau commutatif unitaire et (E;+;) un modulode. Denition :On dit que (E;+;) est unA-module si (E;+) est un groupe commutatif et si les conditions suivantes sont veriees :8 2A8(x;y)2E2(((x+y)) = (x) + (y))
8 (;)2A28x2E((+)x= (x) + (x))
8 (;)2A28x2E(()x=(x))
8 x2E(1Ax=x)
Denition :On dit que (E;+;) est unA-espace vectoriel si (E;+;) est unA-module et (A;+;) est un corps.I.1.5 Treillis et algebres de Boole
Soit (A;^;_) un annelide.
Denition :On dit (A;^;_) est un treillis si les lois_et^sont commutatives et associatives et verient aussi les lois d'absorption :8(a;b)2A2(a_(a^b) =a^(a_b) =a)
De plus, le treillis est distributif si_est distributif par rapport a^3. Il est borne s'il existe un element
absorbant, 0, pour la loi^et un element absorbant, 1, pour la loi_. Enn, un treillis borne est complemente
si pour tout elementx, il existeytel quex_y= 1 etx^y= 0.3. Ou si^est distributif par rapport a_, ces deux proprietes etant equivalentes dans un treillisI . Introduction6
Ensembles de Nombres
Denition :Un treillis distributif, borne et complemente est appele algebre de Boole. Denition :Un treillis est dit complet si8XA(VXexiste), ou, de facon equivalente, si8XA(WX existe). Denition :Soit (A;^;_) un treillis, etIA,Iest un ideal deAsi et seulement si :8x8y(((x2I)^(y2I)))((x_y)2I)):
8x8y(((x2A)^(y2I)))((x^y)2I)):
A noter que la denition de treillis peut ^etre donne avec le langage des relations d'ordre (cf. infra), aussi il
est courant de trouver le vocabulaire inf et sup en place de^et_(respectivement).Denition :On peut aussi denir la notion de demi-treillis, qui, comme son nom l'indique n'est muni que
d'une seule des deux lois de composition qui composent un treillis, cette loi etant associative, commutative et
idempotente, on notera^-treillis et_-treillis selon que le demi-treillis est muni de l'operation inf ou sup.
Dans les demi-treillis, on peut denir une relation d'ordre : (xy),(x^y=x) ou (xy),(x_y=y).Bien que la denition habituelle de la distributivite necessite deux lois de composition interne, on peut
donner la denition de la distributivite dans un demi-treillis :8x8y8z((x^yz)) 9x09y0((xx0)^(yy0)^(x0^y0=z)))
ou8x8y8z((x_yz)) 9x09y0((xx0)^(yy0)^(x0_y0=z)))
I.1.6 Relations binaire sur un ensemble
Denition :SoitEun ensemble non vide. Une relation (binaire)RsurEest une partie deEE. On notexRysi (x;y)2R.Proprietes usuelles des relations binaires :Re
exivite8x2E;xRxIrreexivite8x2E;:(xRx)Transitivite8(x;y;z)2E3;((xRy)^(yRz)))(xRz)Symetrie8(x;y)2E2;(xRy))(yRx)Antisymetrie8(x;y)2E2;((xRy)^(yRx)))(x=y)Totalite8(x;y)2E2;(xRy)_(yRx)Denition :On dit que (E;R) est une relation d'equivalence (ou queRest une relation d'equivalence sur
E) siRest re
exive, transitive et symetrique. Denition :On dit que (E;R) est une relation de pre-ordre siRest re exive et transitive (donc un pre-ordre symetrique est une relation d'equivalence, et un pre-ordre antisymetrique est un ordre). SoitE;un pre-ordre, alors la relation denie parx'y,((xy)^(yx)) est une relationd'equivalence telle que l'ensemble quotientE='peut ^etre naturellement muni d'une relation d'ordredenie
par (xy),(xy) (il est aise de verier que cette denition est coherente, c'est a dire ne depend des representants de chaque classe). Denition :On dit que (E;R) est une relation d'ordre strict siRest irre exive et transitive (ce qui entraine l'antisymetrie). Denition :On dit que (E;R) est une relation d'ordre siRest re exive, transitive et antisymetrique. Denition :On dit que (E;R) est une relation d'ordre (resp. strict) total siRest une relation d'ordre (resp. strict) veriant l'axiome de totalite (resp.8(x;y)2E2;(xRy)_(x=y)_(yRx)).I . Introduction7Ensembles de Nombres
Denition :On dit que (E;R) est une relation de bon ordre siRest une relation d'ordre telle que toute partie non vide deEadmet un minimum.Denition :SoitEun ensemble muni d'une relation d'equivalence. Soitxun element deE. L'ensemblex=fy2E = xygest la classe d'equivalence dexdansE, on dit aussi quexest un representant dex.
L'ensemble des classes d'equivalence est appele ensemble quotient deEpour la relationet se noteE=. Soit (E;) un ensemble ordonne, c'est-a-dire queest une relation d'ordre surE; on denit une relation d'ordre strictsurEparxy,(x6=y)^(xy). De m^eme, soit (E;) un ensemble strictement ordonne, c'est-a-dire queest une relation d'ordre strict surE; on denit une relation d'ordresurEparxy,(x=y)_(xy). Denition :SiAest une partie non vide deE, on dit queM2EmajoreA(resp.m2EminoreA) si8a2A;aM(resp.8a2A;ma), on dit aussi queMest un majorant (resp. m est un minorant) deA.
Denition :Sia2Aon dit queaest un element minimal, ou un minimum (resp. un element maximal, ou maximum) deAs'il n'existe pas d'elementbdeAtel queba(tel queab). Denition :S'il existe, un majorant (resp. minorant) qui est element minimal (resp. element maximal)de l'ensemble des majorants (resp. de l'ensemble des minorants) deAest appele borne superieure (resp. borne
inferieure) deA. Remarquons que si l'ordreest total, alors une partieAa au plus un minimum, un maximum, une borneinferieure et une borne superieure; s'ils existent, on note respectivement min(A);max(A);inf(A) et sup(A) ces
elements. Denition :Soit (E;) un ensemble ordonne, pourxetydansE, etAE, on note : "x=fyjxyg, l'ensemble des majorants de x, appele section nissante. #x=fyjyxg, l'ensemble des minorants de x, appele section commencante. A est appele partie nissante si :8x2E8y2A((yx))(x2A)) A est appele partie commencante si :8x2E8y2A((xy))(x2A)) Soit (E;) est un ensemble ordonne tel que min(fx;yg) et max(fx;yg) soient denis pour tousxety, en posantx^y= min(fx;yg) etx_y= max(fx;yg), alors (E;^;_) est un treillis. Inversement, si (E;^;_) est un treillis, on peut denir une relation d'ordresurEparxy,x_y=y. Cette relation d'ordre est telle que min(fx;yg) et max(fx;yg) sont denis pour tousxetydansE. Le treillis (E) est borne si et seulement siEadmet un minimum et un maximum.I.1.7 Ideal et Anneau quotient
Denitions : Ideaux
Soit (A;+;) un anneau. On dit qu'une partieIdeAest un ideal a gauche (resp. a droite) deAsi : (I;+) est un sous-groupe de (A;+)8 (x;a)2IA(ax2I) (resp.xa2I)
On dit queIest un ideal bilatere deAsi il est un ideal a gauche et a droite deA.Theoreme :
Soient (A;+;) un anneau etIun ideal bilatere deA. La relationRdenie par8(x;y)2A2;xRy,(xy)2I est une relation d'equivalence surAcompatible avec les lois + et.Denition : Anneau quotient
Soient (A;+;) un anneau,Iun ideal bilatere deAetRla relation d'equivalence denie par8(x;y)2 A2;xRy,(xy)2I. On appelle anneau quotient deAparI, et on noteA=I, l'ensemble quotient deApar
la relation d'equivalenceR. Denition : Lois de composition interne dans un anneau quotient Soient (A;+;) un anneau,Iun ideal bilatere deAetRla relation d'equivalence denie par :8(x;y)2A2;xRy,(xy)2I.I . Introduction8
Ensembles de Nombres
Soient (a;b)2(A=I)2etetdes representants deaetb, on denit les lois d'addition interne+ et de multiplication internesurA=Ipar :a+b=(+) etab=()Remarque : l'unicite d'une telle denition provient de la compatibilite deRavec les lois + etet du fait
quey2x,x=y.Theoreme :
Avec les notations de la denition precedente : (A=I;+;) est un anneau.Remarque importante :
Les proprietes citees precedement, a l'exception de celles concernant la loi, restent vrai pour un sous-groupe
(note additivement)GdeAau lieu d'un ideal. La relationRdenie par8(x;y)2A2(xRy,(xy)2G) est une relation d'equivalence surA, compatible avec la loi +.On denit alors l'ensemble quotientA=G, que l'on peut munir de la loi d'addition interne+. (G;+) a alors
une structure de groupe. Un exemple de groupe quotient est l'ensembleR=aZavecaun reel etaZle sous-groupe additif deRdeni paraZ=fakjk2Zg.R=aZest isomorphe a tout segment deRde la forme [x;x+a[ et donc notamment a [0;a[. Les sous-ensemblesR=2ZetR=Z, confondus avec les segments [0;2[ et [0;[, sont souvent utiles pourla resolution d'equations trigonometriques et la denition des fonctions trigonometriques inverses. Ainsi,
l'equation cos(x) =yavecy2[1;1[, admet une unique solution dansR=Z.I.1.8 References
1.Structure alg ebriques urwikip edia
2.J. Lafon taine,
Quelques informations sur l'origin ede la t erminologie ,CNRS, 2011 3. P .T auvel,Algebre Pour L'agregation Interne, Masson, 1996I . Introduction9Ensembles de Nombres
II Hierarchie algebrique
Introduction
Dans cette partie la, nous verrons dierents ensembles de nombres et nous verrons que ce qui peut justier
le passage de l'un a l'autre est tout simplement le desir de resoudre des equations algebriques de plus en plus
compliques, nous allons donc voir dierents ensembles inclus les uns dans les autres : NZQ8 >>:Q[p2]Q[p2;3p2]Q[p2;3p2;3p3]Q[p3]Q[p3;]Q[p3;;3p3]
Q[i]Q[i;]Q[i;;3p3]
............9 >>;QDans la liste d'inclusions ci-dessus, chaque ensemble permet de resoudre des equations algebriques de plus
en plus compliquees (X+ 1 = 0 n'a pas de solution dansN, alors que toutes les equations algebriques a
coecients dansQa des solutions dansQ.Nous avons aussi range dans cette partie deux ensembles supplementaires obtenus a partir des precedents
a l'aide de notions topologiques (elementaires) et non algebriques : QRCDans les inclusions ci-dessus, le passage deQaRse fait par des considerations topologiques, alors que le
passage deRaCse fait (comme celui deQaQ) par des consideraions algebriques.Ce qu'il faut noter c'est que du double point vue algebrique et topologique, il est inutile d'aller plus loin,
Cest complet sous ces deux aspects.II . Hierarchie algebrique10Ensembles de Nombres
II.1 Proto-nombres
II.1.1 Denition
On appelle proto-nombres les ensembles de la forme 1, 2, 3, ..., n, Beaucoup, c'est-a-dire un ensemble
ni, ordonne, sur lequel deux operations peuvent ^etre denies, la table des operations pour n = 5 est donnee
ci-dessous, pour l'exemple.Un ensemble de proto-nombres etant ni, l'application qui a n fait correspondre n + 1, nit toujours par
tomber surBeaucoup, puis est stationnaire.
II.1.2 Table de multiplication+12345Beaucoup
12345BeaucoupBeaucoup
2345BeaucoupBeaucoupBeaucoup
345BeaucoupBeaucoupBeaucoupBeaucoup
12345Beaucoup
112345Beaucoup
224BeaucoupBeaucoupBeaucoupBeaucoup
II.1.3 Proprietes algebriques
L'addition et la multiplication sont commutatives et associatives, mais non regulieres, la multiplication
possede un element neutre (1); du point de vue algebrique (P, +) est un demi-groupe commutatif, et (P,)
est un monode commutatif. La relation d'ordre naturelle est compatible avec les operations.II.1.4 Synonymes, Isomorphismes, Exemples
On peut ajouter 0 a un ensemble de proto-nombres, an d'avoir un element neutre pour l'addition.II.1.5 Utilisation en physique
D'une certaine facon tout le monde utilise des proto-nombres (generalement avec 0). Ils s'en distinguent
toutefois car le proto-nombre qui precede Beaucoupest rarement identie, et c'est lui qui caracterise l'ensemble des proto-nombres. De plus, son choix depend des circonstances et peut fortement varier. Mais m^eme quand nous utilisons des proto-nombres, cela n'eace pas notre connaissance des nombresentiers naturels, qui reste presente, ce qui fait que nous avons deux intuitions dierentes et concomitantes dans
notre apprehension des grands nombres.Pour prendre un exemple simple, mais forcement personnel : pour mesurer les fortunes, m^eme donnees sous
formes de nombres par les journeaux, si je veux avoir une perception de ces montants, au-dela de 100 000 000
d'euros, je ne fais pas la dierence tous ces nombres sont Beaucoup.Je fais bien la dierence entre 100 000 euros (qui me permettrait de faire quelques achats, de faire un beau
voyage ...) et 1 000 000 (je peux arr^eter de travailler et continuer a vivre comme aujourd'hui (et m^eme mieux)
avec les inter^ets) et 10 000 000 (non seulement j'arr^ete de travailler mais ma vie va radicalement changer)
mais au-dela je suis incapable de faire la dierence (du point de vue de ce que cela changerait a ma vie), par
exemple entre 100 000 000 et 17 000 000 000 (m^eme si la dierence comptable ne m'echappe pas). Les enfants commencent la ma^trise de la notion de nombre d'elementsd'une collection sous la forme de proto-nombres (sans les operations) :Extrait du livreLe comptage : vers la construction du nombrePar Catherine Van Nieuwenhoven :II . Hierarchie algebrique11
Ensembles de Nombres
Au depart les enfants peuvent compter des collections de deux ou trois objets correctement, mais pas des collections plus importantes. Ce type de comptage a d'ailleurs ete caracterise par certains auteurs (Sophian, 1995) comme etant "1, 2, 3, beaucoup" suggerant que les grandes collections sont de maniere indierenciee considerees comme etant des "beaucoup". On retrouve aussi les proto-nombres dans certains langages :Heiltsuk
Guana etc.II.1.6 References
1. INRP ,1, 2, b eaucoup...passionn ement!,Rencon tresp edagogiques,cahier N 21.2. Children's n umbers,Catherine Sophian, Bro wn& Benc hmarkPublishers (ISBN 0697131351) 3. Le comptage : v ersla construction du nom breII . Hierarchie algebrique12
Ensembles de Nombres
II.2 Entiers naturelsN?etN
II.2.1 Introduction
Les nombres naturels ont une histoire vieille de pres de douze mille ans. De la numeration sumerienne
a la numeration indo-arabe que nous utilisons de nos jours, en passant par la numeration mesopotamienne,
maya, romaine, hebraque, chinoise, etc., les nombres "naturels", independamment de la base de numeration
ou des symboles utilises, sont profondements lies au besoin d'ordre, et de comptage, et sont des piliers de la
connaissance mathematique. Leur construction rigoureuse, grace aux travaux de Grassman, de Dedekind et de Peano, fut une despremieres etapes historiques de l'etablissements des fondements - au sens moderne - des mathematiques.
II.2.2 Denition
L'ensemble des entiers naturelsNpeut ^etre deni comme un ensemble veriant les axiomes de Peano (formalises ici, dans la logique du 2 ndordre, donc non soumis au theoreme d'incompletude de Godel) :Il existe un entier naturel 0.
Tout entier naturelna un unique successeur, notes(n).Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
Deux entiers naturels ayant m^eme successeur sont egaux.Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses elements, alors cet
ensemble est egal aN. L'ensembleNest l'ensemble des entiers naturels non nuls, i.e.N=Nnf0g.II.2.3 Mode de construction
Basiquement, les axiomes de Peano expriment le fait qu'intuitivement,Nest construit en commencant par
0 et les entiers successifs sont obtenus en "ajoutant 1" successivement. Les entiers naturels sont ainsi construits
"par recurrence".II.2.4 Table de multiplication
Le principe de recurrence usuel, decoule directement de la construction precedente. On peut l'utiliser pour
denir l'addition + surN: soitnetpdeux entiers naturels, alors on pose : n+ 0 =n. n+s(p) =s(n+p). Par exemple,n+ 2 designe le successeur du successeur den. On a donc n+ 2 =n+s(1) =s(n+ 1) =s(n+s(0)) =s(s(n+ 0)) =s(s(n)) =s2(n) On peut denir de maniere analogue la multiplication: sinetpsont deux entiers naturels, alors on pose :0n= 0.
s(p)n= (pn) +n. Enn, on peut denir une relation d'ordreEnsembles de Nombres
II.2.5 Proprietes algebriques
Addition et multiplication sont denies, commutatives, associatives, la multiplication possede un element
neutre dansN?et l'addition en possede un dansN(mais pas dansN?), la multiplication possede un element
absorbant surN(pas dansN?), l'addition est reguliere surNet la multiplication est reguliere surN?. De plus
la multiplication est distributive sur l'addition. La soustraction et la division ne sont pas denies partout. (N?;+) est un magma associatif, commutatif et regulier donc un demi-groupe regulier et commutatif. (N;+) est un magma associatif, unitaire, commutatif, regulier donc un semi-groupe commutatif. (N?;) est un magma associatif, unitaire, commutatif, regulier donc un semi-groupe commutatif. (N;) est un magma associatif, unitaire, commutatif, non regulier donc un monode commutatif. (N;+;) est un demi-anneau commutatif. DansN, certaines equations de la formex+a=b, n'ont pas de solution ne serait-ce quex+ 1 = 0 (sinon0 serait successeur de x, ce qui est interdit par l'axiomatisation).
II.2.6 Synonymes, Isomorphismes, Exemples
Dans ZF, les seuls objets consideres sont les ensembles. L'idee de Von Neumann est de representer chaque
entiernpar un ensemble ayantnelements4. Ainsi, l'entier 0 est deni comme etant;et 1 doit ^etre denipar un singleton. Le plus simple est de choisir 1 =f;g=f0g. Ensuite, 2 doit ^etre deni comme un ensemble
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