[PDF] Développements limités on obtient u(x)=2x ?

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D´eveloppements limit´es

Relation de pr´epond´erance

SiIest un intervalle r´eel, l"ensemble des points adh´erents deI, dansR est l"ensemble¯I, r´eunion des points deIet des points de la fronti`ere deI. L"´el´ement +∞(resp.-∞) deRappartient `aIsi et seulement siIn"est pas major´e (resp. pas minor´e). D´efinition 1Soientgetgdeux fonctions complexes d´efinies sur une mˆeme intervalleIdeRetx0un point deRadh´erent `aI. On dit quefest n´egligeable devantgau voisinage dex0, s"il existe un voisinageVdex0dans Iet une fonction complexeεd´efinie surVtelle que lim x→x0ε(x) = 0,et?x?V f(x) =ε(x)g(x). On repr´esente cette relation de mani`ere abr´eg´ee, en ´ecrivantf=o(g) au voisinage dex0,ou encoref(x) =o(g(x))lorsquextend versx0. Notation: La notationo(g) au sein d"une expression alg´ebrique est aussi employ´ee couramment pour repr´esenter une fonction non explicit´ee, n´egligeable devantg. Par exemplef+o(g) est la somme defet d"une fonction n´egligeable devantg.

Remarque:

1. Dire quef=o(1) au voisinage dex0c"est dire que limx→x0f(x) = 0.

2. On n"exige pas dans la d´efinition 1 que la fonctionεsoit d´efinie surI

tout entier. Si cela ´etait le cas, la relationf(x) =ε(x)g(x) impliquerait que, sixest un poit deIautre quex0tel queg(x) = 0 on aurait aussi f(x) = 0. Ce n"est pas ce que l"on d´esire. La relationf=o(g) au voisinage dex0est une propri´et´elocale enx0, c"est `a dire que, quel soit le voisinageWdex0, la validit´e def=o(g) ne d´epend pas des valeurs defen dehors deW. 1 Th´eor`eme 2Soientfetgdeux fonctions complexes d´efinies sur l"intervalle

IdeR, etx0?Radh´erent `aI.

1. Sif1=o(g), etf2=o(g)au voisinage dex0, alorsf1+g1=o(g)au

voisinage dex0.

2. Sif=o(g)au voisinage dex0, alors, pour toute fonctionhd´efinie

surI,fh=o(gh)au voisinage dex0. D´efinition 3Soientfetgdeux fonctions complexes d´efinies sur un inter- valleIdeR, etx0?R, adh´erent `aI. On dit quefestgsont´equivalentes au voisinage dex0, si, au voisinage dex0, g=f+o(f). Cette propri´et´e est une relation d"´equivalence sur l"ensemble des fonctions d´efinies surI. On ´ecrit aussif≂gau voisinage dex0. Remarque: Si il existe un voisinageVde dex0, tel quegne s"annule pas surV\ {x0}, dire quef≂gau voisinage dex0c"est dire que lim x→x0, x?V\{x0}f(x)g(x)= 1 et, de plus, dans le cas o`ux0?I,f(x0) =g(x0). Th´eor`eme 4Si, au voisinage dex0,f1≂f2, etg1≂g2, alors, au voisinage dex0. f

1g1≂f2g2,et, sig1etg2ne s"annulent pas,f1g

1≂f2g

2. Sif1etf2sont positives, pour tout r´eelα,fα1≂fα2,au voisinage dex0.

Remarques:

1. L"une des fautes les plus fr´equentes dans les copies est l"addition de

deux relations d"´equivalence. En rempla¸cant chaque terme d"une som- me par un ´equivalent, on n"obtient pas n´ecessairemnt un ´equivalent de la somme. Pour obtenir des ´equivalents de sommes, on utilise en g´en´eral des d´eveloppements limit´es. 2

2. Ecriref≂0au voisinage dex0n"est pas math´ematiquement absurde.

C"est une mani`ere perverse de dire quefest identiquement nulle sur un voisinage dex0. Ceci dit, chaque fois qu"on lit dans une copie f≂0, c"est toujours une assertion fausse, fruit d"une erreur grossi`ere, en g´en´eral l"addition termes `a termes de deux relations de la forme f≂g.

3. De mˆeme, la relation cost≂1-t2/2 au voisinage de 0 est vraie, mais

elle n"est ni plus ni moins vraie que cost≂1 ou encore cost≂1 +t. Il est donc ridicule de l"´ecrire. D"autant plus que, tr`es souvent, cet ´enonc´e est suivi de l"´enonc´e, faux cette fois,et donccost-1≂ -t2/2. La conclusion est vraie mais la d´emonstration est fausse. Car, le mˆeme raisonnement faux, partant de l"´equivalence vraie cost≂1+tconduira `adonccost-1≂t! Le raisonnement correct utilise un d´eveloppement limit´e cost= 1-t2/2 +o(t2) donc cost-1 =-t2/2 +o(t2)≂ -t2/2.

D´eveloppement limit´es au voisinage de0

D´efinition 5Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleIcontenant0, etnun entier naturel. On dit quefadmet und´eveloppement limit´e `a l"ordre nau voisinage de0s"il existe un polynˆomePde degr´e inf´erieur ou ´egal `an tel que, au voisinage de0, on ait f(x) =P(x) +o(xn). P(x)est appel´ee lala partie r´eguli`ere du developpement limit´eet la quantit´e f(x)-P(x), n´egligeable devantxn, est parfois appel´ee lerestede ce d´evelop- pement. Th´eor`eme 6 (Unicit´e du developpement)Sif(x) =P1(x) +o(xn)et f(x) =P2(xn)+o(xn)sont deux d´eveloppements limit´es `a l"ordrendefau voisinage de0,P1=P2. Th´eor`eme 7Pour quefadmette un d´eveloppemnt limit´e d"ordre1au voisinage de0il faut et il suffit quefsoit d´erivable en0. Dans ce cas le d´eveloppement limit´e defest f(x) =f(0) +f?(0)x+o(x). 3 Th´eor`eme 8 (Th´eor`eme de Taylor-Young)Sifestnfois d´erivable en

0alorsfadmet un d´eveloppement limit´e d"ordrenau voisinage de0, donn´e

par la formule f(x) =n? k=0f (k)(0)k!xk+o(xn).

Remarque:

1. Il n"y a pas de r´eciproque au th´eor`eme de Taylor-Young (sauf dans le

casn= 1). Sifadmet un d´eveloppement limit´e d"ordrenen 0, on peut seulement en d´eduire quefest d´erivable une fois au point 0.

2. L"utilisation de la formule de Taylor-Young est en g´en´eral la plus mau-

vaise fa¸con de calculer un d´eveloppement limit´e. Les th´eor`emes suiv- ants permettent de prouver l"existence de, et d"expliciter, la plupart des d´eveloppements limit´es. Th´eor`eme 9 (Addition et multiplication)Soientf1etg1deux fonc- tions admettant des d´eveloppements limit´es d"ordrenau voisinage de0, f

1(x) =P1(x) +o(xn), f2(x) =P2(x) +o(xn).

Alorsf1+f2etf1f2admettent des d´eveloppement limit´es d"ordrenen0, (f1+f2)(x) = (P1+P2)(x) +o(xn),(f1f2)(x) =Q(x) +o(xn), o`u le polynˆomeQest le polynˆomeP1P2tronqu´e au degr´en. Th´eor`eme 10 (Composition de d´eveloppements)SoientIetJdeux intervalles r´eels,u:I→Jetf:J→Cdeux fonctions telles que u(0) = 0, et admettant des d´eveloppements limit´es d"ordrenen0, u(x) =U(x) +o(xn), f(x) =P(x) +o(xn). Alors,gadmet un d´eveloppement limit´e d"ordrenau voisinage de0, dont la partie r´eguli`ere est le polynˆome compos´eP(U), tronqu´e `a l"ordren. 4 Th´eor`eme 11 (D´eveloppement d"une primitive)Soitfadmettant un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenau voisinage de0, f(x) =P(x) +o(xn), etgune primitive def. Alorsgadmet un d´eveloppement limit´e d"ordre n+ 1au voisinage de0qui est g(x) =g(0) +Q(x) +o(xn+1), o`u le polynˆomeQest la primitive du polynˆomePsans terme constant. Th´eor`eme 12 (D´eveloppement d"un quotient)Soientfetgdeux fonc- tions admettant des d´eveloppements limit´es d"ordrenau voisinage de0, f(x) =P(x) +o(xn), g(x) =Q(x) +o(xn),avecg(x0)?= 0. Alors la fonctionh(x)→f(x)/g(x)est d´efinie au voisinage de0, et admet un d´eveloppement limit´e h(x) =R(x) +o(xn). Le polynˆomeRs"obtient en faisant la division dePparQ, selon les puis- sances croissantes dex, jusqu"`a l"ordren. Remarque: Il n"est pas n´ecessaire de connaitre le th´eor`eme ci dessus, ni la division selon les puissances croissantes, pour calculer le d´eveloppement limit´e d"un quotient. En effet sig(0)?= 0,g(x) s"´ecrit au voisinage de 0, g(x) =g(0)(1 +u(x)) en posantu(x) =g(x)/g(0)-1. La fonctionuadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenau voisinage de 0,u(x) =U(x)+o(xn), et satisfaitu(0) = 0. On ´ecrit f(x)g(x)=f(x)g(0)11 +u(x). Par le th´eor`eme de composition, le d´eveloppement limit´e de 1/(1 +u(x)) s"obtient en rempla¸cant dans le d´eveloppement `a l"ordrende 1/(1 +u) la variableupar le polynˆomeU(x) et en tronquant au degr´entoutes les puissances deU. Multipliant ce d´eveloppement par celui def(x)/g(0) on obtient le d´eveloppement def(x)/g(x). 5

Th´eor`eme 13 (D´eveloppements de base)

11-x=n?

i=0x i+o(xn). log(1 +x) =n? i=1(-1)i-1xii +o(xn). e x=n? i=0x ii!+o(xn). cosx=n? i=0(-1)ix2i(2i)!+o(x2n). sinx=n? i=0(-1)ix2i+1(2i+ 1)!+o(x2n+1). (1 +x)α= 1 +n? i=1α(α-1)···(α-i+ 1)i!xi+o(xn) (α?R).

1 D´eveloppements limit´es en un point deR

On d´efinit ici les notions de d´eveloppement limit´e au voisinage d"un r´eela qulconque, ou de±∞. Ces notions se ram`enent imm´ediatement `a la notion de d´eveloppement limit´e au voisinage de 0, en posantx=a+tsiaest r´eel, etx= 1/tsia=±∞. D´efinition 14On dit que la fonctionf, d´efinie sur l"intervalleI, admet un d´eveloppement limit´e au voisinage d"un pointa?R, siaest adh´erent `aI, et si la fonctiongd´efinie surI-aparg(t) =f(a+t)admet un d´eveloppement limit´e d"ordrenen0. Si ce d´eveloppement est g(t) =P(t) +o(tn), le d´eveloppement def(x)au voisinage dea`a l"ordrenest f(x) =P(x-a) +o((x-a)n). D´efinition 15On dit que la fonctionf, d´efinie sur l"intervalleI, admet un d´eveloppement limit´e en puissances de1/xau voisinage de+∞(resp. -∞) si la fonctiongd´efinie, pourt >0(resp.t <0) suffisamment proche 6 de0parg(t) =f(1/t)admet un d´eveloppement limit´e d"ordrenen0. Si ce d´eveloppement est g(t) =P(t) +o(tn), on a donc, au voisinage de+∞, f(x) =P(1/x) +o((1/x)n). Donnons enfin la notion de d´eveloppement limit´e g´en´eralis´e en puissances enti`eres dexau voisinage de 0. D´efinition 16Soitfd´efinie surItel que0soit adh´erent `aI. On dit quef admet au voisinage de0un d´eveloppement g´en´eralis´e d"ordrenen puissances enti`eres dexs"il existe un entierp≥0, tel que la fonctionx?→xpf(x)admet un d´eveloppement limit´e d"ordren+pau voisinage de0, x pf(x) =a0+a1x+···an+pxn+p+o(xn+p). Le d´eveloppement limit´e g´en´eralis´e def`a l"ordrenest alors, par d´efinition f(x) =a0x p+a1x p-1+···+an+pxn+o(xn). On d´efinit de mˆeme les notions de d´eveloppements limit´es g´en´eralis´es au voisinage dea?R, ou au voisinage de±∞.

D´eveloppements limit´es et encadrements

Les d´eveloppements limit´es sont un outil indispensable pour lecalcul de limites. Mais de la donn´ee d"un d´eveloppmeent limit´e defau voisinage de

0,on ne peut pas d´eduire la moindre majoration ou minoration def(x1)pour

x

1?= 0. Mˆeme six1est tr`es proche de 0, une fonctionεqui tend vers 0

quandxtend vers 0 n"est pas oblig´ee de se presser et peut prendre enx1 une valeur gigantesque. Pour obtenir des majorations ou des minorations il faut utiliser, par exemple, la formule des accroissements finis, ou sa g´en´eralisation, la formule de Taylor-Lagrange. On peut aussi utiliser la formule de Taylor avec reste int´egral. 7

Quelques exemples

Exemple 1D´evelopper arctan⎷1 + 4x`a l"ordre 3, au voisinage de 0. Quandxtend vers 0,f(x) =⎷1 + 4xtend vers 1.f(x) est de la forme arctan(1+u), o`uu(x) =⎷1 + 4x-1 tend vers 0 avecx. Plus pr´ecis´ement, en rempla¸canttpar 4xdans le d´eveloppement ⎷1 +t= (1 +t)1/2= 1 +t2 -t28 +t316 +o(t3) on obtient u(x) = 2x-2x2+ 4x3+o(x3). Le d´eveloppement limit´e `a l"ordre 3 au vosinage de 0 de la fonction compos´ee x→arctan(1 +u(x)) se d´eduit du d´eveloppement limit´e `a l"ordre 3 de u→arctan(1 +u), en y rempla¸cantupar la partie r´eguli`ere du d´evelop- pement deu(x) `a l"ordre 3, c"est `a dire par le polynˆomeU(x) = 2x-2x2+4x3. Pour obtenir le d´eveloppement `a l"ordre 3 de arctan(1+u) calculons d"abord le d´eveloppement `a l"ordre 2 de sa d´eriv´ee. La d´eriv´ee de arctan(1 +u) est

11 + (1 +u)2=12 + 2u+u2.

Pour d´evelopper cette expression `a l"ordre 2, on peut effectuer la division selon les puissances croissantes, ou utiliser le d´eveloppement 1/(1 +v) =

1-v+v2+o(v2). Proc´edons de cette mani`ere. On ´ecrit

12 + 2u+u2=12

11 +u+u22

=12 1-? u+u22 +u2+o(u2)? 12 -u2 +u24 +o(u2) Par le th´eor`eme d"int´egration on en d´eduit le developpement d"ordre 3, arctan(1 +u) =π4 +u2 -u24 +u312 +o(u3) Rempla¸cantupar 2x-2x2+ 4x3,u2par 4x2-8x3, et enfinu3par 8x3on obtient f(x) =π4 +12 (2x-2x2+ 4x3)-14 (4x2-8x3) +112 8x3 π4 +x-2x2+143 x3+o(x3). 8 Exemple 2D´eveloppement g´en´eralis´e `a l"ordre 2 au voisinage de +∞, f(x) =⎷x

2+ 2x.

On ´ecritf(x) =x?1 +

2x =1t ⎷1 + 2t, avect= 1/x, et on est ramen´e au d´eveloppement de⎷1 + 2tau voisinage de 0. Le th´eor`eme (13) donne imm´ediatement⎷1 + 2t= 1 +t-t22 +t32 +o(t3).

Multipliant les deux termes par 1/ton obtient

f(x) =1t + 1-t2 +t22 +o(t2) =x+ 1-12x+12x2+o?1x 2? .Exemple 3D´eveloppement g´en´eralis´e `a l"ordre 2 au voisinage de 0 de f(x) =ln(1 + tanx)1-cosx. Le num´erateur ln(1+tanx) est ´equivalent `a tanx, et donc `axau voisi- nage de 0, tandis que le d´enominateur 1-cosx=x22 +o(x2) est un infiniment petit d"ordre 2.f(x) est donc ´equivalent `a2x au voisinage de 0, et le d´evelop- pement limit´e g´en´eralis´e def, `a l"ordre 2 est de la forme 2x +c0+c1x+c2x2+o(x2). Il contient 4 termes. Nous allons donc d´eterminer les d´eveloppements limit´es `a quatre termes du num´erateur, et du d´enominateur. Le premier terme du num´erateur ´etantx, le dernier des quatre termes du d´eveloppement sera le terme enx4. On d´eveloppe donc ln(1 + tanx) `a l"ordre 4. Pour le d´enominateur, 1-cosxdont le premier terme est enx2, il faudra aller jusqu"au terme enx5. Commen¸cons par le num´erateur, et donc par tan(x) =sinxcosx=x-x36 +o(x4)1-x22 +x424 +o(x4) Le d´eveloppement de ce quotient peut se faire en rempla¸cantuparx22 -x424 dans le d´eveloppement de 1/(1-u), puis en multipliant le r´esultat parx-x36 soit par la division selon les puissances croissantes 9 x-x361-x22 +x424 x-x32x+x33 x 33
(puisqu"on veut un d´eveloppement `a l"ordre 4, tous les monˆomes de degr´e≥5 sont n´eglig´es) qui donne tan(x) =x+x33 +o(x4).Pour calculer le d´evelop- pement de ln(1 + tanx) `a l"ordre 4, on remplace paru=x+x33 dans le d´eveloppement `a l"ordre 4, ln(1+u) =u-u22 +u33 -u44 +o(u4).Les puissance successives deu, tronqu´ees au degr´e 4 enx, sont u=x+x33 , u2=x2+2x43 , u3=x3, u4=x4.

D"o`u le d´eveloppement du num´erateur

ln(1 + tan(x)) =? x+x33 -12 x2+2x43 +x33 -x44 +o(x4) =x-x22 +2x33 -712 x4+o(x4). Celui du num´erateur s"obtient imm´ediatement `a partir de celui de cosx

1-cosx= 1-?

1-x22 +x424 +o(x5)? =x22 -x424 +o(x5)

Il en r´esulte

f(x) =x? 1-x2 +2x23 -712 x3+o(x3)?x 22

1-x212

+o(x3)? =2x 1-x2 +2x23 -712 x3+o(x3)1-x212 +o(x3) Ici encore, on peut, ou bien effectuer la division, selon les puissances crois- santes dex, de 1-x2 +2x23 -712 x3par 1-x212 , `a l"ordre 3, ou bien calculer 10 d"abord le d´eveloppement limit´e `a l"ordre 3 de 1

1-x212

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