Développements limités
fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g admet Nous connaissons le développement de arctan d'ordre 5 :.
Développements limités usuels en 0
Le problème réciproque est lui
Développements limités
Donner le développement limité en 0 des fonctions : Donner un développement limité à l'ordre 2 de f(x) = ... Quelle relation lie xn et arctan(xn)?.
Les Développements Limités
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0)
Feuille 2 de TD Développements limités
Donner le développement limité en x0 à l'ordre n des fonctions : Répondre aux mêmes questions concernant les fonctions g(x) = arctan(x3) ? (arctan x)3 ...
I) Développements limités usuels
Le dernier s'obtient en remplaçant x par x2 dans la série géométrique alternée puis en intégrant car. Arctan (x) = 1. 1 + x2 . C) Autres. (1 + x)? =1+ ?x + ?(?
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
) pour ? 0 et (0) = 0. 1. Montrer que admet un développement limité à l'ordre 2 en 0. 2. La fonction est-elle deux
Mines dAlbiAl`es
Nantes 2002 - Toutes fili`eres - Corrigé
Déterminer le développement limité en 0 à lordre 7 de : ( ) arcsin
Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre 7 de : ( ). ( ) arcsin. f x x. = Analyse. On va ici utiliser le fait que l'on peut travailler plus
Développements limités
on obtient u(x)=2x ? 2x2 + 4x3 + o(x3). Le développement limité `a l'ordre 3 au vosinage de 0 de la fonction composée x ? arctan(1 + u(x))
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Exercice 4 Déterminer le développement limité de : 1 x ?? sin(x) à l'ordre 4 en ?/2; 2 x ?? arctan(x)
PanaMaths Janvier 2002
Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre 7 de : ( ) arcsinfxxAnalyse
On va ici utiliser le fait que l'on peut travailler plus simplement sur la dérivée de la fonction.
Résolution
On a :
1 222
1'( ) 11fx xx
On va donc pouvoir utiliser le développement limité " standard » : 21 1 2 ... 11 1 ... o2!
mkk mm mm m m k xmx x x xk avec 1 2m A quel ordre doit-on effectuer ce développement limité ?Puisque nous allons déterminer le développement limité de la composée des deux fonctions 2
xx et 1 2 1xx , le développement limité obtenu ne comportera que des puissances paires de x. En l'intégrant, et en tenant compte du fait que arcsin(0) 0, le développement limité finalement obtenu ne comportera que des puissances impaires de x. Pour que 7 x soit présent, il nous faut donc déterminer le développement limité de 'f à l'ordre 6 et donc utiliser le développement limité de 1 2 1xà l'ordre 3.
On a donc :
1233223
3
11 11 1
1121
22 22 2
11 o 22 3!35
1o
2816xxx xx
xx x xPanaMaths Janvier 2002
En remplaçant x par
2 x (composition des fonctions), il vient :2322 213222
2466
3511 o28 16
351o2816xx x
xx xxx x On procède alors à l'intégration de ce développement limité en tenant compte de arcsin(0) 0 : 3577
35arcsin( ) o6 40 112xxx
xxxRésultat final
Le développement limité en 0 à l'ordre 7 de ( ) arcsinfxx s'écrit : 3577
35arcsin( )6 40 112xxx
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