Formule de Taylor développements limités
http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf
Chapitre 4 Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715
Formule de Taylor
limités au voisinage de 0 connus : formules dites de. Taylor-Mac Laurin et on applique un changement de variable : / X = x ? x0 pour ramener le calcul du.
Chapitre 2: Séries de Maclaurin et de Taylor
Introduction : Soit une fonction f qui peut être dérivée n fois sur un intervalle. I. Notre objectif est de trouver une fonction polynomiale.
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
3. La formule de Taylor-Young en 2 à l'ordre 4 pour la fonction polynomiale P(x)=1+ x + x2 + x3.
MATH0002-4 - ANALYSE MATH´EMATIQUE 1 Formule de Taylor
Formule de Taylor comportements asymptotiques et fonctions transcendantes. En utilisant la formule de MacLaurin
1 La formule de Taylor-Young
1 La formule de Taylor-Young. 1.1 Théor`eme. Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I. Soit f : I ? R une fonction et n un entier
Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste
1.2. Applications. • Développement en série enti`ere. On va traiter l'exemple classique suivant. On définit la fonction exponentielle exp.
The Euler–Maclaurin and Taylor Formulas: Twin Elementary
which is Taylor's formula of order p with remainder. Euler–Maclaurin formula. To obtain this formula it suffices to take for v in the identity (1) a function
Deux preuves de la formule de Taylor
Deux preuves de la formule de Taylor. Proposition. Soit n un entier naturel. Soit P(X) = anXn + an?1Xn?1 + + a1X + a0 ? K[X].
[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715 permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au
[PDF] Chapitre 2: Séries de Maclaurin et de Taylor
a) Déterminer les 5 polynômes de Maclaurin m0(x) à m4(x) de la fonction f définie par f (x) = cos(x) b) Déterminer m8(x) c) En déduire une approximation de cos
Formule de Taylor Formule de Mac-Laurin Développements limités
Une fonction f définie et continue au voisinage de x 0 admet un développement limité d'ordre n au voisinage de x 0 s'il existe un polynôme P ( x
[PDF] Formules de Taylor Applications
1 Formule de Taylor avec reste intégral 1 1 Théor`eme Théor`eme 1 1 Soit f : [a b] ? IR une fonction de classe Cn+1 On a: f(b) = f(a) +
[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes 1 LA REGLE DE L'HOPITAL La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines
[PDF] Formules de Taylor et développements limités
La formule de Taylor-Young permet de calculer la limite de f(x)=(x + 3)? ? (x + 1)? quand x ? ? (Dans le cas particulier ? = 1/2 une autre démonstration
[PDF] Formules de Taylor et Développements Limités
Par récurrence la formule est donc bien montrée pour n'importe quel n ? N Exemple : Prenons la fonction exponentielle f(x) = exp(x) qui est bien de classe C
[PDF] Formule de Taylor - Fun MOOC
Dans la pratique on utilise les développements limités au voisinage de 0 connus : formules dites de Taylor-Mac Laurin et on applique un changement
[PDF] Formules de Taylor et applications
Remarque 7 Importante : La formule de Taylor (resp la formule de Maclaurin) donne un procédé commode pour obtenir le dl en x0 (repectivement en 0) des
[PDF] developpements limités usuels
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2
Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?
g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .Pourquoi utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.- La rigueur en mathématiques s'organise par la genèse du concept de «limite» et c'est d'Alembert qui a donné un nouvel aspect à l'analyse.
Licence MIASHS - 2014/2015 Analyse 1 (MI001AX)
Corrigé (des exercices 1-8) du TD n
o9 - Formules de TaylorCorrigé de l"exercice 11. (a) Formule de Taylor-Young : supposons quefsoit de classeCnsur
I. Alors, pour touth?Rtel quex0+happartienne àIon peut écrire f(x0+h) =f(x0) +hf?(x0) +h22! f(2)(x0) +···+hnn!f(n)(x0) +hnε(h) n? k=0h kk!f(k)(x0) +hnε(h) oùε(h)est une fonction qui tend vers0quandhtend vers0. (b) Formule de Taylor-Lagrange : supposons quefsoit de classeCn+1surI. Alors, pour tout h?Rtel quex0+happartienne àI, il existeθ?]0,1[tel que l"on ait f(x0+h) =n? k=0h kk!f(k)(x0) +hn+1(n+ 1)!f(n+1)(x0+θh) (notons ici queθdépend deh).2. La partie principale de la série de Taylor defenx0à l"ordrenest le polynôme
n k=0h kk!f(k)(x0) (par convention,0! = 1! = 1).3. Un développement limité defenx0à l"ordrenest la donnée d"un polynômePde degréntel que
l"on ait, pour touthtel quex0+happartienne àI, f(x0+h) =P(h) +hnε(h) oùε(h)est une fonction qui tend vers0quandhtend vers0.Corrigé de l"exercice 21. La fonctionf:x?→exest sa propre dérivée, et vaut1en0. Ainsi les
coefficientsf(k)(0)sont tous égaux à1; la formule de Taylor-Young en0à l"ordre4s"écrit donc :
e x= 1 +x+x22! +x33! +x44! +x4ε(x)2. Commençons par calculer les 4 premières dérivées de la fonctionf:x?→lnx.
f(x) = lnx, f?(x) =1x , f??(x) =-x-2, f(3)(x) = 2x-3, f(4)(x) =-6x-4. Les valeurs respectives de ces fonctions en1sont0,1,-1,2et-6. La formule de Taylor-Young en1à l"ordre4s"écrit donc :
ln(1 +h) =h-h22 +h33 -h44 +h4ε(x)Il vient alors
ln(1 +h)-hh 2=12 +h3 -h24 +h2ε(x), d"où lim h→0ln(1 +h)-hh 2=12 13. La formule de Taylor-Young en2à l"ordre4pour la fonction polynomialeP(x) = 1 +x+x2+x3
s"écrit :P(2 +h) =P(2) +hP?(2) +h22
P??(2) +h33!
P(3)(2).
En effet, commePest de degré3toutes ses dérivées à partir deP(4)sont nulles! D"autre part,
en regardant bien la formule ci-dessus, on réalise qu"il n"y a pas besoin de calculer les coefficients
P ?(2),P??(2)etP(3)(2). En effet, il suffit de calculerP(2 +h)pour expliciter la formule :P(2 +h) = 1 + (2 +h) + (2 +h)2+ (2 +h)3
= 1 + 2 +h+ (h2+ 4h+ 4) + (h3+ 6h2+ 12h+ 8) = 15 + 17h+ 7h2+h3 Ce calcul permet au passage d"affirmer que :P(2) = 15,P?(2) = 17,P??(2) = 14etP(3)(2) = 6.4. Commençons par calculer les 4 premières dérivées de la fonctionf:x?→⎷1-x2.
f(x) =?1-x2 f ?(x) =-2x2 ⎷1-x2=-x(1-x2)-1/2 f ??(x) =-(1-x2)-1/2-x((1-x2)-1/2)?=-(1-x2)-1/2-x(-12 )(-2x)(1-x2)-3/2 =-(1-x2)-3/2((1-x2) +x2) =-(1-x2)-3/2 f (3)(x) =32 (-2x)(1-x2)-5/2=-3x(1-x2)-5/2 f (4)(x) =-3(1-x2)-5/2-3x((1-x2)-5/2)? d"où f(0) = 1, f?(0) = 0, f??(0) =-1, f(3)(0) = 0, f(4)(0) =-3. La formule de Taylor-Young en0à l"ordre4s"écrit donc : f(x) = 1-x22 -x48 +x4ε(x).Remarque : ce calcul des dérivées successives de la fonctionfest extrêmement fastidieux. Nous ver-
rons plus loin qu"en composant des polynômes de Taylor de fonctions usuelles (que vous êtes censés
apprendre par coeur) on obtient la même formule de façon beaucoup plus efficace... Cela fournit du
même coup un procédé pour calculerf?(0),...,f(4)(0)sans avoir à calculerf?(x),...,f(4)(x).
Corrigé de l"exercice 3En appliquant Taylor-Lagrange pourx?→exau voisinage de0on trouve que, pour chaquex?R, il existeθ?]0,1[tel que e x= 1 +x+x22! +x33! +x44! +x55! +x66! eθx.On applique cette formule àx=12
, ce qui donne : ⎷e= 1 +12D"autre part, nous avons
eθ/2<⎷e <2
d"où16!×64eθ/2<16!×32<10-4.
Ceci montre que la somme des 6 premiers termes dans la formule (1) ci-dessus constitue une valeur approchée de⎷eà10-4près. 2 Corrigé de l"exercice 41. La formule de Taylor-Lagrange à l"ordre5en0pour la fonction sinus s"écrit sinx=x-x33! +x55! -x66! sinθx pour un certainθ?]0,1[dépendant dex.2. En vertu de ce qui précède, nous avons
sinx-xx2=-x3!
+x35! -x46! sinθx d"où lim x→0sinx-xx 2= 0.3. Soitx≥0. Il est facile de voir que
x <6?x6 <1?x6! <15! ?x66!Il en résulte que, quandx?[0,6[, alors
????x66! d"où x55! -x66! sinθx≥0. D"après la formule de la question 1, nous avons donc, pourx?[0,6[, sinx≥x-x36 D"autre part, on vérifie facilement que, pourx≥6, x-x36 On a donc montré, pour toutx≥0, l"inégalité x-x36L"autre inégalité se montre par un procédé analogue, en faisant cette fois appel à la formule de
Taylor-Lagrange à l"ordre7.
Corrigé de l"exercice 5Le principe est le même que pour la question 3 de l"exercice précédent.
Corrigé de l"exercice 61. La formule de Taylor-Young pour sinus à l"ordre6en0nous dit que sinh=h-h33! +h55! +h6ε(h) d"où, en remplaçanthparx2, sin(x2) =x2-x63! +x105! +x12ε(x2) =x2-x63! +x9?x5! +x3ε(x2)?Si on appelle à nouveau, par abus de notation,ε(x)la fonction entre parenthèses, nous obtenons
sin(x2) =x2-x63! +x9ε(x) 3 ce qui constitue en fait un développement limité desin(x2)à l"ordre9en0. D"autre part cosx= 1-x22 +x44! -x66! +x6ε(x). Or on peut additionner les développements limités. D"où : f(x) = sin(x2) + cosx = 1 +x2? 1-12 +x44! -x6?13! +16! +x6ε(x) = 1 + x22 +x424 -121720 x6+x6ε(x). ce qu"on cherchait.2. Par définition de la fonction puissance, il vient
g(x) =e1x ln(1+x). Pour trouver le DL deg(x)à l"ordre2en0, on doit d"abord trouver le DL à l"ordre2en0de 1x ln(1 +x). Or le DL à l"ordre3en0deln(1 +x)s"écrit : ln(1 +x) =x-x22 +x33 +x3ε(x). en divisant le tout parx, on trouve 1x ln(1 +x) = 1-x2 +x23 +x2ε(x). ce qui constitue un DL d"ordre2en0de1x ln(1+x). Notons que cette opération a fonctionné parce que le terme constant du DL deln(1 +x)est nul. On doit maintenant composer ce DL avec le DL d"ordre2en1de la fonction exponentielle : en effet, le calcul que nous venons de faire prouve que, quandxest au voisinage de0, alors1x ln(1 +x)est au voisinage de1. Il vient : e1+h=e×eh=e×?
1 +h+h22
+h2ε(h)D"où, par composition des DL d"ordre2:
g(x) =e×? 1 +? -x2 +x23 +12 -x2 +x23 2? +x2ε(x) =e×? 1-x2 +x23 +12 x24 -x33 +x49 +x2ε(x) =e×? 1-x2 +1124x2? +x2ε(x). Si l"on prolongegpar continuité en0en posantg(0) =e, alors la formule ci-dessus montre queg est dérivable en0, et que g ?(0) =-e2
3. Le DL de sinus à l"ordre4en0s"écrit
sinx=x-x33! +x4ε(x)(notez bien que le terme de degré4est nul, comme tous les termes de degré pair d"ailleurs, ce qui
provient du fait que sinus est une fonction impaire). Quandxest au voisinage de0,sinxest luiaussi au voisinage de0, donc on doit également considérer le DL deexà l"ordre4en0, à savoir :
e h= 1 +h+h22! +h33! +h44! +h4ε(h) = 1 +h+h22 +h36 +h424 +h4ε(h). 4Il s"agit maintenant de composer les deux DL :
e sinx= 1 +? x-x36 +12 x-x36 2 +16 x-x36 3 +124x-x36 4 +x4ε(x) = 1 +x-x36 +12 x 2-x33 +16 (x3+···) +124 (x4+···) +x4ε(x) = 1 +x+x22 -x48 +x4ε(x).
(sur la deuxième ligne du calcul, les···remplacent des termes de degré au moins5, qu"il n"est pas
nécessaire de calculer explicitement puisqu"ils vont rejoindre le restex4ε(x)).4. On calcule assez facilement les DL suivants à l"ordre8en0:
(cosx-1)(sinhx-x) =-x512 +x7360 +x8ε(x) et (coshx-1)(sinx-x) =-x512 -x7360 +x8ε(x) d"où i(x) =x7180 +x8ε(x). Par identification avec la formule de Yaylor-Young, on en déduit que i (7)(0)7! =1180 d"où i (7)(0) = 28.5. Nous avons
j(x) =x2+ 1x2+ 2x+ 2=12
(x2+ 1)?11 + (x+x22
L"intérêt de cette nouvelle écriture dej(x)est de faire apparaître la fonction11+Xdont on connaît
le DL en0à l"ordre3:11 +X= 1-X+X2-X3+X3ε(X).Quandxest au voisinage de0,(x+x22
)est aussi au voisinage de0. Donc il suffit de remplacerX par(x+x22 )afin d"obtenir le DL de11+(x+x22 )à l"ordre3en0:11 + (x+x22
)= 1-? x+x22 x+x22 2 x+x22 3 +x3ε(x) = 1-x+x22 +x3ε(x). Pour obtenir le DL dej(x)en0on multiplie ceci avec12 (x2+ 1)qui est son propre DL d"ordre3 en0. Il vient : j(x) =12 -12 x+34 x2-12 x3+x3ε(x).6. Le DL d"ordre4au voisinage de1pour le logarithme s"écrit
ln(1 +h) =h-h22 +h33 -h44 +h4ε(h). Le DL d"ordre4au voisinage de1pourx?→1/xs"écrit11 +h= 1-h+h2-h3+h4+h4ε(h).
5 On obtient le DL dex?→1/xen élevant celui-ci au carré :1(1 +h)2= (1-h+h2-h3+h4)2+h4ε(h)
= 1-2h+ 3h2-4h3+ 5h4+h4ε(h). En multipliant le tout, on obtient le DL d"ordre4au voisinage de1pourk(x): k(1 +h) =ln(1 +h)(1 +h)2= (1-h+h2-h3+h4)(1-2h+ 3h2-4h3+ 5h4) +h4ε(h) =h-52 h2+133 h3-7712 h4+h4ε(h).Au point de coordonnées(1,k(1)) = (1,0), la tangente à la courbe représentative de la fonctionk
est de pente1. L"équation de cette tangente est donc y=x-1.Pour déterminer la position de la courbe par rapport à cette tangente, il faut se placer au voisinage
du point, c"est-à-dire faire tendrehvers0. Alorsh3est négligeable par rapport àh2, donc c"est le
signe du terme enh2qui donne la position. Plus précisément,h(1 +h)-hreprésente la différence
entre la courbe et sa tangente. D"après ce qui précède, on peut écrire h(1 +h)-h=-52 h2+···où les···sont des termes négligeables quandhtend vers0. Comme cette différence est du signe
de-h, on en déduit que la courbe est en-dessous de sa tangente en ce point.7. On souhaite calculer le DL de la fonction
l(x) =?sinxx 2 au voisinage de0. Notons ici que la fonctionx?→1/xn"admet pas de DL en0(elle n"est même pas prolongeable par continuité en ce point!). Par contre, la fonctionx?→sinxx admet une limite finie en0, donc il se peut qu"elle admette un DL en ce point. Plus exactement, le DL à l"ordre5en0de sinus se factorise parx: sinx=x-x33! +x55! +x5ε(x). En divisant cela parx, on trouve donc un DL à l"ordre4en0: sinxx = 1-x23! +x45! +x4ε(x). Pour obtenir le DL del(x), on calcule le carré : ?sinxx 21-x23!
+x45! 2 +x4ε(x). = 1-13 x2+245 x4+x4ε(x).8. Après calcul (non détaillé) on trouve le DL à l"ordre4au voisinage de0pourr(x), à savoir :
r(x) = (1-2x2)ex= 1 +x-32 x2-116 x3-2324 x4+x4ε(x)9. Après calcul (non détaillé) on trouve le DL à l"ordre3au voisinage de0pours(x), à savoir :
s(x) =?1 +x+x2= 1 +12 x+38 x2-316 x3+x3ε(x). 6Corrigé de l"exercice 7L"entiernétant fixé, on peut appliquer Taylor-Lagrange à l"ordrenen0pour
l"exponentielle : pour tout réelx, il existeθ?]0,1[tel que e x= 1 +x+x22 +···+xnn!+xn+1(n+ 1)!eθx. Sixest strictement positif, alorseθxest strictement supérieur à1. Par conséquent e xx n=1x n+1x n-1+12xn-2+···+1n!+x(n+ 1)!eθx≥x(n+ 1)!. Quand on fait tendrexvers+∞, la quantité de droite tend vers+∞, d"où lim x→+∞e xx n= +∞.Le résultat voulu en découle aussitôt.
Corrigé de l"exercice 8Le DL à l"ordre2en0pourx?→ln(1 +x)s"écrit ln(1 +x) =x-x22 +x2ε(x) =x? 1-x2 +xε(x)?On peut donc écrire
?ln(1 +x) =⎷x ?1-x2 +xε(x).Attention : l"expression ci-dessus n"est pas un développement limité, c"est juste une égalité entre deux
fonctions. On peut ensuite se servir du DL det?→⎷1 +ten0pour simplifier la deuxième racine :
?1-x2 +xε(x) = 1-x4 +xε(x).Il vient alors :
f(x) =⎷x-?ln(1 +x) =⎷x-⎷x 1-x4 +xε(x)? x3/24 +x3/2ε(x).Il en résulte que
lim x→0f(x)-f(0)x = limx→0? ⎷x 4 +⎷xε(x)? = 0.Autrement dit,fest dérivable en0, etf?(0) = 0.
7quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] développement limité formule de taylor pdf
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