Formule de Taylor développements limités
http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf
Chapitre 4 Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715
Formule de Taylor
limités au voisinage de 0 connus : formules dites de. Taylor-Mac Laurin et on applique un changement de variable : / X = x ? x0 pour ramener le calcul du.
Chapitre 2: Séries de Maclaurin et de Taylor
Introduction : Soit une fonction f qui peut être dérivée n fois sur un intervalle. I. Notre objectif est de trouver une fonction polynomiale.
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
3. La formule de Taylor-Young en 2 à l'ordre 4 pour la fonction polynomiale P(x)=1+ x + x2 + x3.
MATH0002-4 - ANALYSE MATH´EMATIQUE 1 Formule de Taylor
Formule de Taylor comportements asymptotiques et fonctions transcendantes. En utilisant la formule de MacLaurin
1 La formule de Taylor-Young
1 La formule de Taylor-Young. 1.1 Théor`eme. Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soit a un point de I. Soit f : I ? R une fonction et n un entier
Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste
1.2. Applications. • Développement en série enti`ere. On va traiter l'exemple classique suivant. On définit la fonction exponentielle exp.
The Euler–Maclaurin and Taylor Formulas: Twin Elementary
which is Taylor's formula of order p with remainder. Euler–Maclaurin formula. To obtain this formula it suffices to take for v in the identity (1) a function
Deux preuves de la formule de Taylor
Deux preuves de la formule de Taylor. Proposition. Soit n un entier naturel. Soit P(X) = anXn + an?1Xn?1 + + a1X + a0 ? K[X].
[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715 permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au
[PDF] Chapitre 2: Séries de Maclaurin et de Taylor
a) Déterminer les 5 polynômes de Maclaurin m0(x) à m4(x) de la fonction f définie par f (x) = cos(x) b) Déterminer m8(x) c) En déduire une approximation de cos
Formule de Taylor Formule de Mac-Laurin Développements limités
Une fonction f définie et continue au voisinage de x 0 admet un développement limité d'ordre n au voisinage de x 0 s'il existe un polynôme P ( x
[PDF] Formules de Taylor Applications
1 Formule de Taylor avec reste intégral 1 1 Théor`eme Théor`eme 1 1 Soit f : [a b] ? IR une fonction de classe Cn+1 On a: f(b) = f(a) +
[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes 1 LA REGLE DE L'HOPITAL La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines
[PDF] Formules de Taylor et développements limités
La formule de Taylor-Young permet de calculer la limite de f(x)=(x + 3)? ? (x + 1)? quand x ? ? (Dans le cas particulier ? = 1/2 une autre démonstration
[PDF] Formules de Taylor et Développements Limités
Par récurrence la formule est donc bien montrée pour n'importe quel n ? N Exemple : Prenons la fonction exponentielle f(x) = exp(x) qui est bien de classe C
[PDF] Formule de Taylor - Fun MOOC
Dans la pratique on utilise les développements limités au voisinage de 0 connus : formules dites de Taylor-Mac Laurin et on applique un changement
[PDF] Formules de Taylor et applications
Remarque 7 Importante : La formule de Taylor (resp la formule de Maclaurin) donne un procédé commode pour obtenir le dl en x0 (repectivement en 0) des
[PDF] developpements limités usuels
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2
Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?
g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .Pourquoi utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.- La rigueur en mathématiques s'organise par la genèse du concept de «limite» et c'est d'Alembert qui a donné un nouvel aspect à l'analyse.
1 La formule de Taylor-Young
1.1 Th´eor`eme.SoitIun intervalle ouvert non vide deRet soitaun point
deI. Soitf:I→Rune fonction etnun entier≥0. On suppose quef estnfois d´erivable surI. Alors, il existe une fonction?(x)d´efinie surI, qui tend vers0quandxtend versa, telle que l"on ait pour toutx?I: f(x) =f(a)+(x-a)f?(a)+(x-a)22! D´emonstration.On raisonne par r´ecurrence surn. Pourn= 0 l"hypoth`ese implique quefest continue enaet la formule est ´evidente avec?(x) = f(x)-f(a). Pourn= 1, la formule n"est autre que le d´eveloppement limit´e def`a l"ordre 1 au pointa, dont l"existence ´equivaut `a la d´erivabilit´e defen a. Supposons la formule vraie pourn-1,n≥2, et passons `an. On applique la formule de Taylor-Young `a l"ordren-1≥1 `a la fonctionf?qui en v´erifie les hypoth`eses. En particulier, elle est d´erivable, donc continue. On a donc pour toutt?I: f ?(t) =f?(a) + (t-a)f??(a) +···+(t-a)n-1(n-1)!f(n)(a) + (t-a)n-1?0(t) o`u?0(t) tend vers 0 quandttend versa. On note que la fonction (t-a)n-1?0(t) est diff´erence de deux fonctions continues (la fonctionf?et le polynˆome de Taylor), donc qu"elle est continue. On peut int´egrer l"´egalit´e pr´ec´edente entre aetx(x?=a) et on obtient : x a f?(t)dt= (x-a)f?(a)+(x-a)22! f??(a)+···+(x-a)nn!f(n)(a)+? x a (t-a)n-1?0(t)dt. L"int´egrale du premier membre vautf(x)-f(a). On d´efinit la fonction?(t) par la formule?(x) =1(x-a)n? x a (t-a)n-1?0(t)dtet par?(a) = 0. Avec cette fonction on a la formule de Taylor pourfet il reste `a montrer que?(x) tend bien vers 0 quandxtend versa. Pour cela, soit? >0. Comme?0tend vers 0 ena, il existeη >0 tel que|t-a|< ηimplique|?0(t)|< ?. Si on suppose|x-a|< ηon a donc : x a (t-a)n-1dt????=?/n. On en d´eduit que, pour|x-a|< ηon a|?(x)|< ?/nce qui signifie que?(x) tend vers 0 quandxtend versa, cqfd.1.2Remarque.C"est la preuve ci-dessus qui permet de comprendre l"origine
de la formule. On sait que sifest d´erivable on af(x) =f(a) = (x-a)f?(a)+ (x-a)?(x) (d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1. Sifest deux fois d´erivable, on applique ce qui pr´ec`ede `af?et on af?(t) =f?(a)+(t-a)f??(a)+(t-a)?0(t). C"est en int´egrant cette expression dea`axqu"on voit apparaˆıtre le terme enf??(a)(x-a)2/2! de la formule de Taylor.2 Discussion
2.1 La version forte du th´eor`eme
En r´ealit´e, les hypoth`eses propos´ees ci-dessus sont trop fortes. Le th´eor`eme donn´e habituellement est le suivant :2.1 Th´eor`eme.SoitIun intervalle ouvert non vide deRet soitaun point
deI. Soitf:I→Rune fonction etnun entier≥0. On suppose quefest n-1fois d´erivable surIetnfois d´erivable ena. Alors, il existe une fonction ?(x)d´efinie surI, qui tend vers0quandxtend versa, telle que l"on ait pour toutx?I: f(x) =f(a)+(x-a)f?(a)+(x-a)22! Il n"est pas ´evident de montrer ce th´eor`eme par la m´ethode pr´ec´edente, contrairement `a ce que j"avais cru dans un premier temps1. Le probl`eme, c"est
que, si l"on fait seulement les hypoth`eses de 2.1, il y a un pi`ege dans l"appli- cation de la r´ecurrence pour le casn= 2. En effet, dans ce cas, contrairement `a l"argument invoqu´e ci-dessus, on ne sait pas quef?est continue (alors que, pourn >2, il n"y a plus de probl`eme carfestn-1 fois d´erivable, doncf? n-1 fois d´erivable, donc d´erivable, donc continue). Il y a deux fa¸cons de se sortir de ce guˆepier. L"une, classique, que l"on trouvera dans n"importe quel livre de pr´epa2, consiste `a utiliser l"in´egalit´e
des accroissements finis plutˆot que d"int´egrer. Le d´efaut de cette m´ethode est que la remarque 1.2 sur l"origine de la formule ne s"applique plus. L"autre m´ethode consiste `a copier la preuve de 1.1, avec des outils plus avanc´es (notamment l"int´egrale de Lebesgue). Cette voie n"est ´evidemment pas `a utiliser au CAPES, mais je la donne pour ma satisfaction personnelle.1 Je remercie vivement Pascal Gamblin de m"avoir signal´e mon erreur.2Voir aussi le polycopi´e de CAPES de Pascal Gamblin dont on trouvera une copie sur
ma page web. D´emonstration.(de 2.1) Comme on l"a dit, il suffit de montrer le th´eor`eme pourn= 2. On note d"abord que la propri´et´e `a montrer est locale, de sorte qu"on peut `a loisir diminuer l"intervalleI. Le point essentiel, pour copier la d´emonstration de 1.1, c"est de pouvoir int´egrerf?et surtout d"avoir la formule "fondamentale"f(x)-f(a) =?x af?(t)dt, le reste ´etant identique. Pour cela on utilisera le r´esultat suivant (voir Rudin,Analyse r´eelle et complexe, th.8.21 p. 161) :
2.2 Th´eor`eme.Soitf: [a,b]→Rune fonction d´erivable. On suppose
quef?est int´egrable au sens de Lebesgue sur [a,b]. Alors on a la formule f(x)-f(a) =?x af?(t)dt. Il reste `a montrer quef?est int´egrable au voisinage dea. On note d"abord qu"elle est mesurable en l"´ecrivant comme limite des fonctionsfn(x) =n(f(x+ 1n )-f(x)). On note ensuite que, quitte `a restreindreI, on peut supposer que |f?|est born´ee3surI. En effet, soit? >0. Commef?(x)-f?(a)x-atend vers f ??(a), il existeη >0 tel que l"on ait, pourx?[a-η,a+η] : Commef?est mesurable et born´ee sur l"intervalle born´eI= [a-η,a+η], elle est int´egrable.3C"est le point essentiel.
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