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1 La formule de Taylor-Young

1.1 Th´eor`eme.SoitIun intervalle ouvert non vide deRet soitaun point

deI. Soitf:I→Rune fonction etnun entier≥0. On suppose quef estnfois d´erivable surI. Alors, il existe une fonction?(x)d´efinie surI, qui tend vers0quandxtend versa, telle que l"on ait pour toutx?I: f(x) =f(a)+(x-a)f?(a)+(x-a)22! D´emonstration.On raisonne par r´ecurrence surn. Pourn= 0 l"hypoth`ese implique quefest continue enaet la formule est ´evidente avec?(x) = f(x)-f(a). Pourn= 1, la formule n"est autre que le d´eveloppement limit´e def`a l"ordre 1 au pointa, dont l"existence ´equivaut `a la d´erivabilit´e defen a. Supposons la formule vraie pourn-1,n≥2, et passons `an. On applique la formule de Taylor-Young `a l"ordren-1≥1 `a la fonctionf?qui en v´erifie les hypoth`eses. En particulier, elle est d´erivable, donc continue. On a donc pour toutt?I: f ?(t) =f?(a) + (t-a)f??(a) +···+(t-a)n-1(n-1)!f(n)(a) + (t-a)n-1?0(t) o`u?0(t) tend vers 0 quandttend versa. On note que la fonction (t-a)n-1?0(t) est diff´erence de deux fonctions continues (la fonctionf?et le polynˆome de Taylor), donc qu"elle est continue. On peut int´egrer l"´egalit´e pr´ec´edente entre aetx(x?=a) et on obtient : x a f?(t)dt= (x-a)f?(a)+(x-a)22! f??(a)+···+(x-a)nn!f(n)(a)+? x a (t-a)n-1?0(t)dt. L"int´egrale du premier membre vautf(x)-f(a). On d´efinit la fonction?(t) par la formule?(x) =1(x-a)n? x a (t-a)n-1?0(t)dtet par?(a) = 0. Avec cette fonction on a la formule de Taylor pourfet il reste `a montrer que?(x) tend bien vers 0 quandxtend versa. Pour cela, soit? >0. Comme?0tend vers 0 ena, il existeη >0 tel que|t-a|< ηimplique|?0(t)|< ?. Si on suppose|x-a|< ηon a donc : x a (t-a)n-1dt????=?/n. On en d´eduit que, pour|x-a|< ηon a|?(x)|< ?/nce qui signifie que?(x) tend vers 0 quandxtend versa, cqfd.

1.2Remarque.C"est la preuve ci-dessus qui permet de comprendre l"origine

de la formule. On sait que sifest d´erivable on af(x) =f(a) = (x-a)f?(a)+ (x-a)?(x) (d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1. Sifest deux fois d´erivable, on applique ce qui pr´ec`ede `af?et on af?(t) =f?(a)+(t-a)f??(a)+(t-a)?0(t). C"est en int´egrant cette expression dea`axqu"on voit apparaˆıtre le terme enf??(a)(x-a)2/2! de la formule de Taylor.

2 Discussion

2.1 La version forte du th´eor`eme

En r´ealit´e, les hypoth`eses propos´ees ci-dessus sont trop fortes. Le th´eor`eme donn´e habituellement est le suivant :

2.1 Th´eor`eme.SoitIun intervalle ouvert non vide deRet soitaun point

deI. Soitf:I→Rune fonction etnun entier≥0. On suppose quefest n-1fois d´erivable surIetnfois d´erivable ena. Alors, il existe une fonction ?(x)d´efinie surI, qui tend vers0quandxtend versa, telle que l"on ait pour toutx?I: f(x) =f(a)+(x-a)f?(a)+(x-a)22! Il n"est pas ´evident de montrer ce th´eor`eme par la m´ethode pr´ec´edente, contrairement `a ce que j"avais cru dans un premier temps

1. Le probl`eme, c"est

que, si l"on fait seulement les hypoth`eses de 2.1, il y a un pi`ege dans l"appli- cation de la r´ecurrence pour le casn= 2. En effet, dans ce cas, contrairement `a l"argument invoqu´e ci-dessus, on ne sait pas quef?est continue (alors que, pourn >2, il n"y a plus de probl`eme carfestn-1 fois d´erivable, doncf? n-1 fois d´erivable, donc d´erivable, donc continue). Il y a deux fa¸cons de se sortir de ce guˆepier. L"une, classique, que l"on trouvera dans n"importe quel livre de pr´epa

2, consiste `a utiliser l"in´egalit´e

des accroissements finis plutˆot que d"int´egrer. Le d´efaut de cette m´ethode est que la remarque 1.2 sur l"origine de la formule ne s"applique plus. L"autre m´ethode consiste `a copier la preuve de 1.1, avec des outils plus avanc´es (notamment l"int´egrale de Lebesgue). Cette voie n"est ´evidemment pas `a utiliser au CAPES, mais je la donne pour ma satisfaction personnelle.1 Je remercie vivement Pascal Gamblin de m"avoir signal´e mon erreur.

2Voir aussi le polycopi´e de CAPES de Pascal Gamblin dont on trouvera une copie sur

ma page web. D´emonstration.(de 2.1) Comme on l"a dit, il suffit de montrer le th´eor`eme pourn= 2. On note d"abord que la propri´et´e `a montrer est locale, de sorte qu"on peut `a loisir diminuer l"intervalleI. Le point essentiel, pour copier la d´emonstration de 1.1, c"est de pouvoir int´egrerf?et surtout d"avoir la formule "fondamentale"f(x)-f(a) =?x af?(t)dt, le reste ´etant identique. Pour cela on utilisera le r´esultat suivant (voir Rudin,Analyse r´eelle et complexe, th.

8.21 p. 161) :

2.2 Th´eor`eme.Soitf: [a,b]→Rune fonction d´erivable. On suppose

quef?est int´egrable au sens de Lebesgue sur [a,b]. Alors on a la formule f(x)-f(a) =?x af?(t)dt. Il reste `a montrer quef?est int´egrable au voisinage dea. On note d"abord qu"elle est mesurable en l"´ecrivant comme limite des fonctionsfn(x) =n(f(x+ 1n )-f(x)). On note ensuite que, quitte `a restreindreI, on peut supposer que |f?|est born´ee3surI. En effet, soit? >0. Commef?(x)-f?(a)x-atend vers f ??(a), il existeη >0 tel que l"on ait, pourx?[a-η,a+η] : Commef?est mesurable et born´ee sur l"intervalle born´eI= [a-η,a+η], elle est int´egrable.3

C"est le point essentiel.

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