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Pour développer ou simplifier (réduire) une fraction, vous devez respectivement multiplier et diviser le numérateur ainsi que le dénominateur de la fraction avec le même nombre.Comment déterminer la partie entière d'une fraction rationnelle ?
Calcul de la partie entière
Proposition : La partie entière E ( x ) de la fraction rationnelle P ( x ) Q ( x ) est le quotient de P par Q dans la division euclidienne de P par Q . On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.- Les puissances étant prioritaires il faut commencer par (10²)3 = 10 2 ? = 106 Lorsque l'opération ne contient que des multiplications au numérateur et au dénominateur, il suffit de séparer les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre. Puis on applique les formules sur les puissances.
AUTOUR DU CONCEPT DE FRACTION
A l'ECOLE
PRIMAIRE EN FRANCE
Abdul Aziz AlahmadatiTo cite this version:
Abdul Aziz Alahmadati. AUTOUR DU CONCEPT DE FRACTIONA l'ECOLE PRIMAIRE
EN FRANCE :Etude exploratoire des signications de la fraction au travers des manuels scolaires, des representations et des connaissances des eleves de cycle III.. Education. Univ.Lyon 2, 2016. Francais.
HAL Id: tel-01302152
Submitted on 13 Apr 2016
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1Université de Lyon
UNIVERSITE LUMIERE LYON 2
Ecole Doctorale EPIC
ED 485 Education- Psychologie- Information et communicationUnité Mixte de Recherche UMR 5191 ICAR
Année 2016
AUTOUR DU CONCEPT DE FRACTION À
PRIMAIRE EN FRANCE
Étude exploratoire des significations de la fraction au travers des manuels scolaires, des représentations et des connaissances des élèves de cycle III. dirigée par le Professeur Jean-Claude REGNIER présentée et soutenue publiquement le 29 janvier 2016 par Abdul Aziz ALAHMADATITOME 1
Devant le jury composé de :
François Pluvinage, professeur des universités, CINVESTAV-IPN Mexico, Mexique. Henri Peyronie, professeur émérite, Université de Caen, France. Jean-Claude Régnier, professeur des Universités, Université Lyon 2, France.Rio Grande
do Norte, Brésil. 2 3TABLE DES MATIERES
Résumé ................................................................................................................. 9
Abstract .............................................................................................................. 11
Remerciements .................................................................................................. 13
Introduction ............................................... 15 PARTIE I : Le concept de fraction, différents aspects concernés ................ 221. Fraction : points de vue étymologique et historique ............................ 23
1.1. Apparition et développement historique du concept de fraction ........................ 23
1.1.1. Les fractions en Mésopotamie ........................................................................................................ 24
1.1.2. Les fractions en Egypte .................................................................................................................. 26
1.1.3. Les fractions en Grèce .................................................................................................................... 28
1.1.4. Les fractions en Inde ...................................................................................................................... 29
1.1.5. Les fractions au Moyen-Orient dans les mathématiques arabes ..................................................... 31
1.1.6. Les fractions en Occident ............................................................................................................... 34
1.2. Analyse épistémologico-historique du concept de fraction : mise en évidence
des significations utilisées ........................................................................................................ 35
1.3. Conclusion du chapitre 1 ........................................................................................ 39
2. Fraction : point de vue mathématique .................................................. 40
2.1. Caractéristiques mathématiques des fractions ..................................................... 40
2.1.1. Rappel succinct mathématique des fractions .................................................................................. 40
2.1.2. Eléments fondamentaux liés aux fractions, notions qui aident les élèves à développer une
compréhension de leurs significations ................................................................................................................ 44
2.1.2.1. Notion de Partitionnement --------------------------------------------------------------------------------- 44
2.1.2.2. ---------------------------------------------------------------------------- 47
2.1.2.3. Notion de Quantité ------------------------------------------------------------------------------------------ 49
2.1.2.4. -------------------------------------------------------------------------------------- 50
2.1.2.5. ----------------------------------------------------- 51
2.1.2.6. La densité et la taille des fractions ----------------------------------------------------------------------- 53
2.1.3. Définitions mathématiques de la fraction ....................................................................................... 54
2.1.3.1. Deux termes : nombre rationnel et fraction ------------------------------------------------------------- 54
2.1.3.2. Définition du nombre rationnel --------------------------------------------------------------------------- 56
2.1.3.3. Définitions de la fraction----------------------------------------------------------------------------------- 59
2.2. Fraction : développement du concept du point de vue mathématique ............... 62
3. Fraction : points de vue cognitif et psychologique ............................... 62
3.1. fraction 633.1.1. Quelques études portant sur le développement des opérations de partage et de réunion ................ 65
3.1.2. Quelques études portant sur le développement des opérations multiplicatives .............................. 68
43.1.2.1. Procédure des écarts constants ---------------------------------------------------------------------------- 71
3.1.2.2. Procédure dite " hypothétique» --------------------------------------------------------------------------- 71
3.1.2.3. Procédure utilisant l'opérateur fonction ----------------------------------------------------------------- 71
3.1.2.4. ------------------------------------------------------------------ 71
3.1.2.5. Procédure qui consiste à fixer la valeur unitaire au hasard ------------------------------------------- 72
3.1.2.6. n » du couple ------------ 72
3.1.3. Quelques études portant sur un premier développement de la notion de fraction .......................... 73
3.1.3.1. Le partage et le fractionnement --------------------------------------------------------------------------- 75
3.1.3.2. ---------------------------------------------------------------- 75
3.1.3.3. ------------------------------------------------- 76
3.1.4. Difficultés reliées à la notion de fraction ........................................................................................ 77
3.2. Fraction : point de vue de la cognition et de la psychologie ................................ 78
4. Fraction : point de vue didactique ......................................................... 80
4.1. Triangle didactique et pôles fondamentaux de la relation didactique ............... 81
4.2. Contribution du champ théorique de la didactique des mathématiques à la
....................................................................... 824.2.1. Retour sur le concept de la Transposition Didactique .................................................................... 83
4.2.1.1. La transposition didactique externe ---------------------------------------------------------------------- 86
4.2.1.2. La transposition didactique interne----------------------------------------------------------------------- 87
4.2.1.3. Fraction : Transposition didactique du savoir en jeu -------------------------------------------------- 87
4.2.2. Apport de la théorie des champs conceptuels de Gérard Vergnaud ............................................... 88
4.2.2.1. Le champ conceptuel des structures multiplicatives -------------------------------------------------- 91
PARTIE II : Cadre théorique et problématisation du concept de fraction ......................................... 961. Du choix du concept de fraction ............................................................. 97
1.1. Place et importance du concept de fraction en didactique et pédagogie des
mathématiques ......................................................................................................................... 97
1.2. 99
1.2.1. Diverses difficultés conceptuelles répertoriées............................................................................. 100
1.2.2. Explicitations de diverses difficultés rencontrées par les élèves .................................................. 108
1.2.2.1. Le concept de fraction, un concept difficile en soi -------------------------------------------------- 108
fractions 1091.2.2.3. Un matériel utilisé non évalué -------------------------------------------------------------------------- 109
1.2.2.4. e des
fractions 1102. ........... 111
2.1.2.1.1. ........................................................................................ 111
52.1.2. Les programmes et instructions de 1945 ...................................................................................... 112
2.1.3. Les programmes et instructions de 1970 ...................................................................................... 113
2.1.4. Les programmes et instructions de 1980 ...................................................................................... 113
2.1.5. La circulaire de 1991 sur les cycles et les programmes de 1995 .................................................. 114
2.1.6. Les programmes et instructions de 2002 et de 2007 ..................................................................... 114
2.1.7. Les programmes et instructions de 2008 ...................................................................................... 115
2.2. ............................ 116
2.3. Approches didactiques du concept de fraction. Apports des travaux de Guy
Brousseau : " Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire. » ............................. 119
2.4. Quelques autres travaux théoriques concernant les significations des notions
de nombre rationnel et de fraction ....................................................................................... 123
2.4.1. Les travaux de Kieren ................................................................................................................... 124
2.4.2. Les travaux de Behr, Lesh, Post et Silver ..................................................................................... 126
2.4.3. Les travaus Ohlsson : une proposition nouvelle ........................................................................... 127
2.4.4. Retour sur les apports de la théorie des champs conceptuels de Gérard Vergnaud ...................... 130
2.4.5. Apports des approches fondées sur les usages des fractions ........................................................ 132
2.4.6. Autres approches proposées pour décrire la multiplicité des significations de la notion de
fraction 1332.5. Significations de la notion de fraction retenues dans notre recherche ............. 135
2.5.1. Explicitation des différentes significations de la notion de fraction ............................................. 136
2.5.1.1. - 136
2.5.1.2. La fraction en tant que Partie d'un tout (le tout est une quantité discrète ou un ensemble
1412.5.1.3. ------------------------------------------------------------------------ 141
2.5.1.4. La fraction en tant que Rapport ------------------------------------------------------------------------- 145
2.5.1.5. La fraction en tant que Quotient ------------------------------------------------------------------------ 147
2.5.1.6. La fraction en tant que Mesure ------------------------------------------------------------------------- 149
2.5.1.7. La fraction en tant que Nombre sur une droite graduée -------------------------------------------- 156
2.5.1.8. La fraction en tant que Nombre ------------------------------------------------------------------------- 157
2.5.1.9. La fraction en tant que Probabilité ou fréquence ---------------------------------------------------- 158
2.5.2. Exploration des liens entre les diverses significations de la fraction ............................................ 158
3.primaire ................................................................................................................ 159
3.1. - ? ....................................................................... 160
3.2. Le manuel scolaire de mathématiques : sa place et son rôle ............................. 164
3.2.1. Utilisation du manuel scolaire de mathématiques en France ........................................................ 166
3.2.2. Du choix du manuel scolaire de mathématiques .......................................................................... 167
3.2.3. La transposition didactique et le texte du savoir dans les manuels scolaires ................................ 167
3.2.4. Synthèse des fonctions du manue ...................................... 170
3.2.4.1. ----------------------------------------------- 170
3.2.4.2. ------------------------------------------------------ 171
63.3. Le manuel scolaire à la lumière de la théorie des champs conceptuels ............ 172
3.3.1. La théorie des champs conceptuels pour analyser la construction des connaissances .................. 174
4. Apports de la notion de registres sémiotiques en mathématiques
selon Raymond Duval ......................................................................................... 176
4.1. Retour sur les notions de représentation, représentation interne et
représentation externe ........................................................................................................... 177
4.1.1. La relation entre les représentations internes et les représentations externes ............................... 178
4.2. .......... 181
4.3. Les trois registres de représentations sémiotiques possibles pour les fractions182
5. Le cadre théorique retenu pour notre recherche ............................... 184
5.1.par compétence ...................................................................................................................... 184
5.2. Le cadre conceptuel proposé par Guy Brousseau pour aborder les situations
....................................................................................................................... 187
5.3. Le cadre conceptuel introduit par Gérard Vergnaud pour approcher les
....................................................................................................... 188
6. Problématique, objectif, questions et hypothèses de notre recherche190
6.1. Problématique de la recherche ............................................................................. 190
6.2. Objectif de la recherche ........................................................................................ 191
6.3. Questions de la recherche ..................................................................................... 191
6.4. Hypothèses de la recherche .................................................................................. 192
PARTIE III : Méthodes de construction des données, traitements,analyses, interprétations des résultats et discussion ........................................ 194
1. Méthodes de construction des données ................................................ 195
1.1. Point de vue sur des questions méthodologiques de la recherche ..................... 195
1.2. Réflexion méthodologique sur la construction des données .............................. 196
1.3. Le cadre général ............. 196
1.4. Les instruments de la construction des données ................................................. 197
1.4.1. ................................... 197
1.4.1.1. ------------------------------------------------------------------- 197
1.4.1.2. Choix des manuels scolaires ---------------------------------------------------------------------------- 198
1.4.1.3. --------------------------------------------------------------------- 200
1.4.2. Construction de données par une enquête par questionnaire ........................................................ 201
1.4.2.1. Choix du questionnaire écrit comme outil de collecte des données auprès des élèves -------- 202
1.4.2.2. Construction et explication du questionnaire destiné aux élèves---------------------------------- 203
1.4.2.3. -élèves) ------------------- 205
1.4.2.4. -élèves -------------------------------------------------------------------- 207
1.4.2.5. Passation du questionnaire auprès des élèves -------------------------------------------------------- 208
1.4.3. Enquête par questionnaire écrit auprès des enseignants ............................................................... 209
1.4.3.1. ------------------------------------- 209
1.4.3.2. Construction et explication du questionnaire --------------------------------------------------------- 209
1.4.3.3. -enseignants) ------ 210
71.5. Quelques difficultés majeures rencontrées sur le terrain dans la construction
des données ............................................................................................................................. 212
2. Traitements et analyses des données ................................................... 213
2.1. Plan général des traitements et analyses des données ........................................ 213
2.1.1. Pourquoi analyser les manuels scolaires ? .................................................................................... 213
2.1.2. ......................................................... 214
2.1.2.1. Catégorisation des réponses extraites des manuels -------------------------------------------------- 214
2.1.3. ............................. 216
2.1.4. ..................... 218
2.1.4.1. Analyse à caractère pédagogique des réponses des enseignants ---------------------------------- 218
2.1.4.2. Analyse à caractère mathématique des réponses des enseignants--------------------------------- 221
2.2. Analyse des données construites sur les manuels scolaires ............................... 222
2.2.1. ....................... 222
2.2.2. Proportion des pages réservées explicitement aux apprentissages de fractions par rapport au
nombre total des pages de chaque manuel étudié en CM1 et en CM2 ............................................................. 224
2.2.3. Analyse des manuels scolaires de niveau CM1 ............................................................................ 225
2.2.3.1. els de CM1 ------------------------------------------------------------- 226
2.2.3.2. Répartition des significations de la fraction dans les manuels scolaires de CM1 -------------- 226
2.2.3.3.
fraction présentes ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 232
2.2.4. Analyse des manuels scolaires de niveau CM2 ............................................................................ 237
2.2.4.1. ------------------------------------------------------------- 237
2.2.4.2. Répartition des significations de la fraction à l
CM2 238
2.2.4.3. Synthèse de l'analyse des manuels de CM2 quant aux différentes significations de la
fraction présentes. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 243
2.2.5. Liens entre les différentes significations présentes dans les manuels scolaires de CM1 et de
CM2 248
2.2.6. Analyse des données issues des questionnaires des élèves. .......................................................... 251
2.2.6.1. -------------------------------------------------- 251
2.2.6.2. -------------------------------------------------- 252
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