[PDF] Baccalauréat S Amérique du Nord 27 mai 2011

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EXERCICE15 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect O,u,v On considère les points A et B d"affixes respectives :ai etb1i.

On note :rAla rotation de centre A, d"angleπ

2,rBla rotation de centre B, d"angle

2etrOla rotation de centre O, d"angleπ2.

Partie A

On considère le point C d"affixec3i. On appelle D l"image de C parrA, G l"image de D parrBet H l"image de C parrO. On noted,gethles affixes respectives des points D, G et H.

1.Démontrer qued2i.

2.Déterminergeth.

3.Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un pointM, distinct de O et de A, d"affixem. On appelleNl"image deMparrA,Pl"image deNparrBetQl"image deMparrO. On noten,petqles affixes respectives des pointsN,PetQ.

1.Montrer quenim1i. On admettra quepm1i etqim.

2.Montrer que le quadrilatèreMNPQest un parallélogramme.

3. a.Montrer l"égalité :mn

pni1m. b.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l"éva- luation. soit un rectangle.

EXERCICE24 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d"un établissement scolaire est équipée de 25 ordina- choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux?

Partie B

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

La durée de vie d"un ordinateur (c"est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne),est unevariablealéatoireXquisuit uneloi exponentielle de paramètreλavecλ0. Ainsi, pourtoutréeltpositif,laprobabilitéqu"unordinateuraituneduréedevie inférieure àtannées, notéep(X?t), est donnée par :p(X?t) t 0

λeλxdx.

1.Déterminerλsachant quep(X5)0,4.

2.Dans cette question, on prendraλ0,18.

Sachant qu"un ordinateur n"a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10

3près, la probabilité qu"il ait une durée de vie

supérieure à 5 ans?

3.Dans cette question, on admet que la durée de vie d"un ordinateur est in-

dépendante de celle des autres et quep(X5)0,4.

a.On considère un lot de 10 ordinateurs.Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l"un au moins des ordina-

teursaituneduréede vie supérieureà5ans? Ondonneraunevaleur arrondie au millième de cette probabilité. b.Quelnombreminimal d"ordinateursdoit-onchoisir pourquela pro- babilité de l"évènement "l"un au moins d"entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans» soit supérieure à 0,999?

EXERCICE35 points

Partie A : Restitution organisée de connaissances On considère trois points A, B et C de l"espace et trois réelsa,betcde somme non nulle. Démontrer que, pour tout réelkstrictement positif, l"ensemble des pointsMde l"espace tels queaMAbMBcMC kest une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifsa,betc.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d"arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n"est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L"espace est rapporté au repère orthonormal

A ;AB ,AD ,AE

1.Démontrer que le vecteurnde coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur nor-

mal au plan (BCE).

2.Déterminer une équation du plan (BCE).

3.On note (Δ) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ).

4.Démontrer que la droite (Δ) est sécante au plan (ABC) en un point R, sy-

métrique de B par rapport à A.

5. a.Démontrer que le point D est le barycentre despointsR, B etC affec-

tés des coefficients respectifs 1,1 et 2.

Amérique du Nord227 mai 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l"ensemble (S) des pointsMde l"espace tels queMRMB2MC2 2. c.Démontrer que les points B, E et G appartiennentà l"ensemble(S). d.Démontrer que l"intersection du plan (BCE) et de l"ensemble(S) est un cercle dont on précisera le rayon. E A BCG FH D

EXERCICE35 points

Enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorèmede Fermat : "Sipest un nombre premier etqun entier naturel premier avecp, alors q p11 (modulop)».

On considère la suite

(un)définie pour tout entier naturelnnon nul par : u n2n3n6n1.

1.Calculer les six premiers termes de la suite.

2.Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul,unest pair.

3.Montrerque,pourtoutentiernaturelnpairnonnul,unestdivisible par4.

On note (E) l"ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4.Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ilsà l"ensemble (E)?

5.Soitpun nombre premier strictement supérieur à 3.

a.Montrer que : 62p23 (modulop) et 63p22 (modulop). b.En déduire que 6up20 (modulop). c.Le nombrepappartient-ilà l"ensemble (E)?

Amérique du Nord327 mai 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE46 points

Partie A

On considère la fonctiongdéfinie sur [0 ;[ par g(x)exx1.

1.Étudier les variations de la fonctiong.

2.Déterminer le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

3.En déduire que pour toutxde [0 ;[, exx0.

Partie B

On considère la fonctionfdéfinie sur [0; 1] par f(x)ex1 exx. La courbe (C) représentative de la fonctionfdans le plan muni d"un repère orthonormalest donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l"épreuve. On admet quefest strictement croissante sur [0; 1].

1.Montrer que pour toutxde [0; 1],f(x)[0 ; 1].

2.Soit (D) la droite d"équationyx.

a.Montrer que pour toutxde [0; 1],f(x)x(1x)g(x) exx. b.Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0; 1].

3. a.Déterminer une primitive defsur [0; 1].

b.Calculer l"aire, en unités d"aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C), la droite (CD) et les droites d"équationsx0 etx1.

Partie C

On considère la suite

(un)définie par : u 01 2u n1f(un), pour tout entier natureln.

1.Construiresur l"axe desabscisses lesquatre premierstermesdela suite en

laissant apparentsles traits de construction.

2.Montrer que pour tout entier natureln,1

2?un?un1?1.

3.En déduire que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite.

Amérique du Nord427 mai 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l"épreuve

EXERCICE4

O xy 1 1

Amérique du Nord527 mai 2011

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