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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Examen 1

Exercice 1.Soit un ouvert connexe non vide!C, soitz02!, et soit une fonction f2O(!nfz0g)holomorphe en-dehors dez0. On suppose quefest bornée au voisinage de z

0, au sens où il existe un rayonr >0assez petit avecD

r(z0)!et il existe une constante

06M<1tels que :

sup jzz0jOn fixez12Dr(z0)avecz16=z0. (a)Dresser une figure illustrative complète et esthétique. (b)Montrer, pour0< "612 jz1z0j, que pour tout2C"(z0), on ajz1j>12 jz1z0j. (c)Montrer que :

0 =lim"!>0Z

C "(z0)f()z1d: (d)Soient les deux points :

1:=z0+rz1z0jz1z0j;

0:=z0rz1z0jz1z0:

Soient aussi deux quantités petites0< < "613

jz1z0j. On construit le contour;" àdeuxtrous de serrure de largeur2qui partent orthogonalement du cercleCr(z0)en les deux points1et0, avec contournement dez1puis dez0le long de cercles de rayon". Dresser une nouvelle figure esthétique dans laquelle tous ces éléments apparaissent clai- rement - couleurs recommandées! (e)Justifier par un théorème du cours que : 0 =Z ;"f()z1d: (f)Montrer que : 0 = 12iZ C r(z0)f()z1d12iZ C "(z1)f()z112iZ C "(z0)f()z1d: 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(g)Montrer que :

f(z1) =12iZ C r(z0)f()z1d: (h)Justifier l"holomorphie dansDr(z0)de la fonction : z7!Z C r(z0)f()zd: (i)Montrer qu"il existe une unique fonction holomorpheef2O(!)telle queef!nfz0g=f.

(j)Montrer que tout ce qui précède est encore valable en supposant plus généralement qu"il

existe un exposant06 <1et une constante06M<1tels que : f(z)6M1jzz0j(800. L"objectif est de calculer, au moyen de la méthode des résidus, les deux intégrales de Riemann généralisées : I:=Z 1 01x

2+a2dxetJ:=Z

0logxx

2+a2dx:

(a)Commencer par justifier l"existence deI. (b)On introduit la fonctionf(z) :=1z

2+a2. CalculerResf(ia).

(c)AvecR> a, dessiner le contour orienté fermé consistant en le segment[R;R]suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel. (d)Montrer que :

0 =lim

R!1Z

0d(Rei)(Rei)2+a2:

(e)Montrer que : I=2a: (f)On choisit la détermination de la fonction logarithme complexe sur : CiR; définie, pourz=reiavecr >0et avec2 < <32 , parlogz:=logr+i. Sur cet ouvertCniR, on considère la fonction holomorphe : g(z) :=logzz 2+a2: Avec0< " < aet avecR> a, dessiner le contour orienté fermé consistant en le segment[R;"], suivi du demi-cercle de rayon"au-dessus de l"axe réel, suivi du segment [";R], suivi du demi-cercle de rayonRau-dessus de l"axe réel. (g)Montrer que :

J=2aloga:

Indication:Calculer d"abordResg(ia)en utilisant la valeur delogi, que l"on déterminera auparavant.

1.Examen 1 3Exercice 3.Dans un ouvert connexe non vide

C, pour une courbeC1pm(continue)

: [0;1]! fermée (0) = (1)que l"on identifie [0;1]à son image, on définit l"indicede tout pointw2Cn par rapport à par l"intégrale : Ind (w) :=12iZ dzzw: (a)Avec :=C, en utilisant deux couleurs différentes, tracer une courbe qui tourne2 fois autour de0, puis une autre qui tourne+3fois. (b)On introduit, pourt2[0;1], la fonction : (t) :=exp Zt 0 0(s) (s)wds

Calculer la dérivée det7!(t)

(t)wsur[0;1]. (c)Montrer que : (t) = (t)w (0)w(8t2[0;1]): (d)Montrer que : Ind (w)2Z: (e)On suppose dorénavant que l"ouvert connexe est de plussimplement connexe.

D"après le cours, siw2

est un point de référence fixé, cela implique que deux courbes

0: [0;1]!

1: [0;1]!

quelconquesC1pm(continues) allant de w=

0(0) =

1(0)à un autre point quelconque

0(1) =

1(1) =z2

sont toujours homotopesà travers une famille continuet7! s(t) s2[0;1]de courbesC1pmtoutes conte- nues dans

Justifier alors que toute fonction holomorpheg2O(

)possède uneprimitiveG2 O( )avecG0=g. (f)Justifier que pour toute courbeC1pmfermée , on a : 0 =Z g(z)dz(8g2O(

Maintenant, soit un ouvert connexe non vide!

, soitw2!et soit un rayon R>0tel queDR(w)!. Toute fonction holomorphef2O!nfwgen-dehors dewse développe alors en série de Laurent : f(z) =1X n=1a nzwn; normalement convergente sur les compacts deDR(w), avec des coefficients donnés par la formule : a n:=12iZ C r(w)f()(w)n+1d(n2Z); indépendamment du choix d"un rayon intermédiaire0< r 2Cr(w)f()rn:

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(h)Montrer que :

limsup

1 njnjpjanj6r:

(i)Montrer que le rayon de convergence de la série entière : 1X n=1a nZn vaut1. (j)Montrer que la partie singulière : h(z) :=1X n=1a nzwn définit une fonction holomorphe dansCnfwg. (k)Montrer l"holomorphie dans!de la fonction : g:=fh2O(!): (l)On suppose maintenant que l"ouvert connexe et simplement connexe

Ccontient

un nombre finiL>1de points-singularités distinctsw1;:::;wL2 , et on considère une fonction holomorphe : f2O fw1;:::;wLg en-dehors de ces points, ainsi qu"une courbeC1pmfermée : w1;:::;wL: Enfin, on introduit les parties singulières defdans certains petits voisinages ouverts!`3 w h `(z) :=1X n=1a `;nzw` n(16`6L):

Montrer l"holomorphie partout dans

de la fonction : g(z) :=f(z)h1(z) hL(z)2O( (m)Établir laformule des résidus homologique : 12iZ f(z)dz=Ind (w1)Resf(w1) ++Ind (wL)Resf(wL):

Exercice 4.

[Sans indications] (a) Pour2R+, montrer que :Z1 1e

2ix(1 +x2)2dx=2

1 + 2 e2:

(b)Montrer que :Z1

1dx(1 +x2)n+1=135(2n1)246(2n):

2.Corrigé de l"examen 1 52. Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

(a) Voici une figure élémentaire.! z 0D r(z0) C "(z0)z 1 (b)Avec0< "612 jz1z0j, pour tout2C"(z0), à savoir pour tout2Cavec jz0j=", on a en effet grâce àjabj>jaj jbj:z1=z1z0(z0) >jz1z0j jz0j =jz1z0j " >jz1z0j 12 jz1z0j 12 jz1z0j: (c)Quand0< "612 jz1z0jtend vers0, on majore en utilisant l"hypothèse quejfj6M surC"(z0), indépendamment de" >0: Z C "(z0)f()z1d6max

2C"(z0)1jz1jmax

2C"(z0)f()Z

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