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Électronique 3 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Oscillateur harmoniqueÉlectronique 3 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Oscillateur harmonique

Exercices

Exercice 1 : Force exercée par un ressort []

Dans chacun des cas, exprimer la force exercée par le ressort sur le solide fixé enMen fonction de la raideurk

et de la longueur naturelle?0du ressort, de la positionxouzdu pointM, de la positionxHouzHdu pointHoù

le ressort est fixé à un bâti, et du vecteur unitaire#exou#ez. Les positions sont repérées à partir du pointO. Dans le

dernier cas, exprimer les forces exercées par les deux ressorts sur chacun des pointsM1etM2, d"abscissesx1etx2.

Les deux ressorts sont supposés différents, de caractéristiquesk,?0etk?,??0.1 - xO=HM2 -

OHM3 -

OHM 4 -z

O=HM5 -z

O=HM6 -

xO=HM

2Exercice 2 : Une masse et deux ressorts []

Considérons un point matérielMde massemglissant horizontalement et sans frottement, repéré par son abscissex

telle que# OM=x#ex. Ce solide est relié à deux ressorts placés sur un même axe, eux-mêmes fixés enOetO?. Le

solide étudié se trouve entreOetO?. La longueurOO?est notéeL. Les ressorts ont pour raideur respectivek1etk2,

et pour longueur à vide?01et?02.

1 -Faire un schéma légendé de la situation. Il va de soi qu"il sera aussi clair, complet et propre.

2 -Établir l"équation différentielle vérifiée parx(t), appelée équation du mouvement.

3 -Montrer que la position d"équilibre est donnée par

éq=k1?01+k2(L-?02)k

1+k2

4 -En déduire la forme générale des solutions de l"équation du mouvement.

5 -Supposons qu"à l"instantt= 0,Mest placé enx=x0> xéqet lancé avec une vitesse initialev0vers la gauche.

Établir la loi horairex(t)et représenter son allure.

6 -Supposons maintenantx0=xéqetv0= 0. Que vérifie-t-on?

Exercice 3 : Oscillateur masse-ressort vertical []

L"objectif de cet exercice est de comprendre en quoi l"oscillateurverticalmontré en cours diffère de l"oscillateur

horizontalque nous avons modélisé. L"exercice propose de suivre la même démarche que celle du cours, en établissant

et résolvant l"équation différentielle régissant le mouvement, puis en contrôlant la conservation de l"énergie.

L"oscillateur de démonstration est modélisé par un ressort de longueur naturelleL0et de raideurk. Ce ressort

est attaché à une ficelle en un pointOsupposé fixe et pend verticalement. Un cylindre de massemest fixée à son

1/2Étienne Thibierge, 13 novembre 2017,www.etienne-thibierge.fr

TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

autre extrémité. La position du cylindre est repérée par sa cotez, définie le long d"un axe(Oz)orienté vers le bas

et dont l"origine est fixée au point d"attache du ressort.

1 -Établir l"équation différentielle vérifiée parz(t)et l"écrire sous forme canonique. En déduire la période des

oscillations et comparer au cas horizontal.

2 -Déterminer la position d"équilibrezéq. Commenter physiquement le résultat.

3 -Le cylindre est lâché sans vitesse initiale à partir d"une positionz0obtenue en étirant le ressort par rapport à la

position d"équilibre. Déterminer la loi horairez(t).

4 -L"énergie potentielle du cylindre peut s"écrire sous la forme

p(z) =12 k(z-L0)2-mgz

Que représentent chacun des termes? Montrer que la solution générale obtenue traduit bien la conservation de

l"énergie mécanique du cylindre.

Exercice 4 : Étude énergétique d"un oscillateur harmonique électrique []η(t)Ci(t)LuDans le circuit ci-contre, le générateur supposé idéal est brusquement éteint. On

le modélise par un échelon de courant,η(t)passant deI0à0à l"instantt= 0. On appelleEtot=EC+ELl"énergie électrique totale stockée dans le condensateur et la bobine.

1 -Exprimer la dérivéedEtotdten fonction deietdidt.

2 -Justifier qualitativement queEtotest constante. En déduire l"équation différentielle vérifiée pari. Retrouver cette

équation par application des lois de Kirchoff.

3 -Établir les conditions initiales suriet sa dérivée.

4 -En déduire l"expression dei(t).

Exercice 5 : Mode de vibration d"une molécule de HCl []

La fréquence de vibration de la molécule de chlorure d"hydrogène HCl est mesurée par spectroscopie comme

valantf= 8,5·1013Hz. On aborde dans cet exercice un premier modèle simple de la molécule, décrite comme un

atome d"hydrogène mobile relié à un atome de chlore fixe. L"interaction entre les deux atomes est modélisée par un

pseudo-ressort de raideurk.

Données :masses molairesMH= 1,0g·mol-1etMCl= 35,5g·mol-1, nombre d"AvogadroNA= 6,0·1023mol-1.

1 -Pourquoi est-il raisonnable de supposer l"atome de chlore fixe?

2 -Calculer la raideurk.

3 -On admet que l"énergie de la molécule est égale à12

hfoùh= 6,62·10-34J·sest la constante de Planck. Calculer la vitesse maximale de l"atome d"hydrogène.

4 -Calculer l"amplitude de son mouvement.Annale de concours

Exercice 6 : Deux ressorts à la verticale [oral banque PT,]O

1,?01k

2,?02m

21 -Si un ressort possède une raideurk, quelle est la raideur d"un demi-ressort?

2 -On considère le système ci-contre oùkiet?0isont les raideurs et longueurs à vide des ressorts.

Déterminer les allongementsΔ?1etΔ?2à l"équilibre.

3 -Établir les équations différentielles vérifiées par les écartsz1etz2aux positions d"équilibre.

4 -La massem2est maintenant supposée maintenue dans sa position d"équilibre. La massem1est

alors déplacée deZdde sa position d"équilibre et lâchée sans vitesse initiale. Trouver l"équationz1(t)

régissant le mouvement dem1.

5 -Quel est le rapport entre les deux premières questions de l"exercice?

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Électronique 3 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

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Oscillateur harmonique

Exercices

Exercice 1 : Force exercée par un ressort

Dans tous les cas il faut repartir de la définition, #f=-k(?-?0)#usortanten exprimant séparément?et#usortanten

fonction des paramètres géométriques du problème. Attention aux signes,?est une longueur donc toujours positive.

f=-k(x-?0)#ex f=-k(xH-x-?0)(-#ex) =k(xH-x-?0)#ex f=-k(x-xH-?0)#ex f=-k(-z-?0)(-#ez) =-k(z+?0)#ez f=-k(z-?0)#ez

6?Force exercée par le premier ressort surM1:#f=-k(x1-?0)#ex;

?Force exercée par le deuxième ressort surM1:#f=-k?(x2-x1-??0)(-#ex) =k?(x2-x1-??0)#ex;

?Force exercée par le premier ressort surM2: aucune! car le premier ressort n"est pas attaché au solide enM2...

mais cela ne veut évidemment pas dire qu"il n"a pasd"influencesur le mouvement deM2; ?Force exercée par le deuxième ressort surM2:#f=-k(x2-x1-?0)#ex.

Exercice 2 : Une masse et deux ressorts

1Voir figure 1.

xOO

1,?01k

2,?02M

Figure 1-Schéma de la situation.Rien n"est précisé sur la situation des ressorts (comprimés, étendus, à l"équilibre) :

il n"est donc pas possible de représenter les forces.

2?Système : le solide de massem, repéré par la position du pointM;

?Référentiel : terrestre, que l"on considère en bonne approximation galiléen; ?Bilan des actions mécaniques exercées sur le système :

→son poids, vertical, est supposé exactement compensé par la réaction du support sur lequel il se trouve;

→force exercée par le ressort 1 :#f1=-k1(?1-?01)#usortant,1=-k1(x-?01)#ex;

→force exercée par le ressort 2 :#f2=-k2(?2-?02)#usortant,2=-k2(L-x-?02)(-#ex) =k2(L-x-?02)#ex;

→les frottements sont négligés. ?Loi de la quantité de mouvement : #pdt=#f1+#f2avec#p=m#v=mdxdt#ex ce qui donne en projetant sur l"axex d2xdt2=-k1(x-?01) +k2(L-x-?02).

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Correction TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Écrivons cette équation sous forme canonique, x=k1?01+k2(L-?02)m

On reconnaît une équation différentielle d"oscillateur harmonique dont on peut identifier la pulsation propre et qu"on

écrit finalement

2xdt2+ω20x=k1?01+k2(L-?02)m

avecω0=?k 1+k2m

.3La position d"équilibre du solide est donnée par une solution particulière constante de l"équation différentielle.

Pourx=xéq=cte, elle s"écrit

0 +ω20xéq=k1?01+k2(L-?02)m

doncxéq=k1?01+k2(L-?02)mω et en remplaçantmω20=k1+k2,

éq=k1?01+k2(L-?02)k

1+k2.4Les solutions de l"équation du mouvement s"écrivent toutes sous la forme d"une somme d"une solution particulière,

en l"occurencex=xéq, et d"une solution de l"équation homogène, d"où x(t) =xéq+Acos(ω0t) +Bsin(ω0t).5D"après la première condition initiale, x(0) =???? solx

éq+A=????

CIx

0d"oùA=x0-xéq.

Pour utiliser la seconde condition initiale, il faut connaître la vitesse, soit x(t) =dxdt=-ω0Asin(ω0t) +ω0Bcos(ω0t). Ainsi, comme le solide est lancé vers la gauchevx(0) =-v0, donc x(0) =???? solω

0B=????

CI-v0d"oùB=v0ω

Finalement,

x(t) =xéq+ (x0-xéq)cos(ω0t) +v0ω

0sin(ω0t).6Voir figure 2. Points importants du tracé : oscillations symétriques par rapport à la position d"équilibrexéq, qui

restent bornées entre 0 etL. Les conditions initiales doivent apparaître clairement :x(0)> xéqet la pente initiale

doit être négative car le solide est lancé vers la gauche.tx(t)L

éqFigure 2-Allure dex(t).

7Avec ces nouvelles conditions initiales, la résolution reste formellement la même mais donne

A=B= 0soit?t, x(t) =xéq

On vérifie ainsi quexéqest bien une position d"équilibre du système.

2/7Étienne Thibierge, 13 novembre 2017,www.etienne-thibierge.fr

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