[PDF] DEUG SV2 : MATH´EMATIQUES ET STATISTIQUES

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DEUG SV2: MATH

´EMATIQUES ET

STATISTIQUES

M. Gradinaru

2003-2004

2

Avant propos

Ces notes sont une r´edaction du cours oral en amphith´eˆatre. Il s"agit d"un document de travail et pas d"un ouvrage; il est destin´e `a la distribution aux ´etudiants de DEUG SV2, s´erie BC, de l"Universit´e de Nancy.

Nancy, septembre-d´ecembre 2003 M. Gradinaru

TABLE DES MATI

`ERES3

Table des mati`eres

1 Math´ematiques 1

1.1 Compl´ements d"alg`ebre lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Syst`emes d"´equations lin´eaires: g´en´eralit´es et deux cas particuliers . 2

1.1.3 Syst`emes depvecteurs dansRn; lien avec les syst`emes lin´eaires. . . 4

1.1.4 Retour sur les matrices: op´erations avec des matrices; lien avec les

syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 D´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Exercices d"alg`ebre lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3 Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4 Extr´emum d"une fonction de deux variables. . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.5 Exercices sur les fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . 15

1.3´Equations diff´erentielles de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1´Equations `a variables s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2´Equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3´Equations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4´Equations de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.5 Exercices sur les ´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Statistiques 21

2.1 Statistique descriptive `a deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Ajustement affine: m´ethode des moindres carr´ees . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Exercices sur l"ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Test deχ2(chi-deux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Test deχ2de conformit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Test deχ2d"homog´n´eit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 Test deχ2d"ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4 Exercices sur le test deχ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Estimation pour l"esp´erance et la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4TABLE DES MATI`ERES

2.3.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3 Exercices sur l"estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Tests pour l"esp´erance et la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Tests de conformit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.2 Test d"homog´en´eit´e pour deux ´echantillons ind´ependants . . . . . . 39

2.4.3 Test d"homog´en´eit´e de l"esp´erance pour deux ´echantillons appari´es. 41

2.4.4 Exercices pour les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Sujets d"examens 2001-2003 45

1

Chapitre 1

Math´ematiques

1.1 Compl´ements d"alg`ebre lin´eaire

1.1.1 Matrices

Unematriceest un tableau rectangulaire de nombres: une matricen×p A:=( (((a

11a12···a1p

a a n1an2···anp) )))= (aij)1?i?n,1?j?p. Les entiersnetpsont sup´erieures ou ´egaux `a 1. Unematrice colonneest une matrice avecp= 1 et unematrice ligneest une matrice avecn= 1. Unematrice carr´eeest une matrice avecn=p. Les nombres qui constituent la matrice s"appellentcoefficientsde la matrice. Ainsiaij

est le coefficient situ´e sur lai-`eme ligne et laj-`eme colonne. Les nombres consid´er´es seront

toujours des r´eels. La matrice not´eeOsera la matrice constitu´ee que des 0. La matrice carr´een×nsuivante: I n=( (((1 0···0

0 1···0......···...

0 0···1)

est lamatrice identit´e d"ordren. On dit aussi qu"il s"agit d"unematrice diagonale particuli`ereIn= diag(1,1,...,1). Les ´el´ements deRn=R×R...Rsont desn-uplets nomm´esvecteurs. On ´ecrit les vecteurs comme des matrices ligne mais dans les calculs alg´ebriques on les ´ecrira comme des matrices

2CHAPITRE 1. MATH´EMATIQUES

colonne: ?v:=( (((v 1 v 2... v n) On peut ´ecrireun syst`eme{?u1,?u2,...,?up}depvecteurs comme une matrice obtenue en mettant ensemble lespcolonnes: ?u1?u2... ?up?=( (((u

11u21···up

1u12u22···up

2......···...

u

1nu2n···upn)

et on l"appellematrice du syst`eme de vecteurs.

1.1.2 Syst`emes d"´equations lin´eaires: g´en´eralit´es et deux cas particuliers

a. G´en´eralit´es.La forme canonique d"un syst`eme den´equations `apinconnues est (S)? ??a

11x1+a12x2+...+a1pxp=t1

a

21x1+a22x2+...+a2pxp=t2

a n1x1+an2x2+...+anpxp=tn, o`u les inconnues sontx1,x2,...,xn. La forme matricielle de ce syst`eme est A (((x 1 x 2... x n) (((t 1 t 2... t n)

La forme vectorielle de ce syst`eme est

x

1?a1+x2?a2+...+xp?ap=?t,

o`u ?a 1=( (((a 11 a 21...
a n1) ))),...,?ap=( (((a 1p a 2p... a np) )))et?t=( (((t 1 t 2... t n) b. Syst`emes2×2.La forme canonique d"un syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues est: (S)?a1x+b1y=c1 a

2x+b2y=c2.

1.1. COMPL

´EMENTS D"ALG`EBRE LIN´EAIRE3

Ici les inconnues sontxetyetai,bi,ci,i= 1,2 sont les coefficients. Sa forme matricielle est ?a1b1 a 2b2?? x y? =?c1 c 2? La matrice du syst`eme et respectivement la matrice augment´ee sont ?a1b1 a 2b2? et?a1b1c1 a

2b2c2?

R´esoudre le syst`eme (S)signifie de trouver tous les couples (x,y) desolutionsqui

v´erifient `a la fois les deux ´equations de (S). On utilisera lam´ethode de Gauss: effectuer

des "op´erations" sur les lignes pour obtenir un syst`eme ´equivalent, c"est-`a-dire un syst`eme

ayant la mˆeme solution que le syst`eme initial. Les op´erations: - permutation de deux lignes - produit d"une ligne par un r´eel non nul - remplacement d"une ligne par la combinaison lin´eaire de cette ligne et une autre ligne ayant pour but de faire apparaˆıtre un 0 sur la 1`ere colonne ("triangulariser" la matrice du syst`eme)?¯a1¯b1¯c1

0¯b2¯c2?

En fait, apr`es op´erations on trouve

?a1b1c1

0a1b2-a2b1a1c2-a2c1?

et

1. sia1b2-a2b1?= 0 le syst`eme a une solution unique

y=a1c2-a2c1a

1b2-a2b1etx=c1b2-c2b1a

1b2-a2b1

2. sia1b2-a2b1= 0 eta1c2-a2c1?= 0, le syst`eme n"a pas de solution.

3. sia1b2-a2b1= 0 eta1c2-a2c1= 0 le syst`eme est r´eduit `aa1x+b1y=c1et il y a

une infinit´e de solutions. c.Syst`emes 3×3. La forme canonique d"un syst`eme de trois ´equations `a trois inconnues est (S)? ?a

1x+b1y+c1z=d1

a

2x+b2y+c2z=d2

a

3x+b3y+c3z=d3.

de matrice augment´ee (a

1b1c1d1

a

2b2c2d2

a

3b3c3d3)

4CHAPITRE 1. MATH´EMATIQUES

La m´ethode de r´esolution sera la mˆeme (la m´ethode de Gauss) avec les mˆemes op´erations

sur les lignes ayant pour but d"obtenir la matrice traingulaire suivante: (¯a1¯b1¯c1¯d1

0¯b2¯c2¯d2

0 0 ¯c3¯d3)

Une variante de la m´ethode de Gauss estla m´ethode du pivot. Il s"agit de faire plusieurs ´etapes dont chacune consiste `a construire le syst`emei+ 1 `a partir du syst`emeiavec les op´erations suivantes: - on choisit la ligneiet un coefficient sur cette ligneaij?= 0; on divise cette ligne par a ij; de cette fa¸con on obtient pour coefficient dexjsur cette ligne 1;

- on retranche des ´equations suivantes lai-`eme ´equation multipli´ee par des r´eels qui

permettent d"obtenir 0 comme coefficients dexjdans ces ´equations; - si une ´equation est de la forme 0 = cste.avec la constante non nulle, le syst`eme n"a pas de solution; si la constante est nulle il y a une infinit´e de solutions.

1.1.3 Syst`emes depvecteurs dansRn; lien avec les syst`emes

lin´eaires. Revenons `a l"´equation vectorielle dansRn, ´equivalente au syst`eme (S), x

1?a1+x2?a2+...+xp?ap=?t,

o`u ?a 1=( (((a 11 a 21...
a n1) ))),...,?ap=( (((a 1p a 2p... a np) )))et?t=( (((t 1 t 2... t n)

Sipour tout choix detle syst`eme a

- au plus une solution, on dit que{?a1,?a2,...,?ap}est une famillelibre; - au moins une solution, on dit que{?a1,?a2,...,?ap}est une familleg´en´eratrice; - une unique solution (sous l"hypoth`ese supplimentaire quen=p), on dit que la famille {?a1,?a2,...,?ap}est unebase. `A partir d"une matrice, en appliquant les op´erations ´el´ementaires sur les lignes, on

trouve unematrice r´eduite. On peut lire les propri´et´es de la famille de vecteurs `a partir

de la forme obtenue. On applique les op´erations ´el´emantaires `a la matrice ?a1?a2... ?ap?=( (((a

11a12···a1p

a a n1an2···anp)

1.1. COMPL

´EMENTS D"ALG`EBRE LIN´EAIRE5

Plusieurs cas apparaissent:

i)si le nombre de vecteurs est plus petit que la dimension de l"espace,p < n, la matrice estr´eduite de type Ilorsque: - la matrice carr´eep×pavec les premi`eresplignes est triangulaire sup´erieure `a coefficients diagonaux (pivots) non nuls; - les autresn-plignes ont que des z´eros.

0?• • •

0 0?• •

0 0 0?•

0 0 0 0?

0 0 0 0 0...............

0 0 0 0 0)

Toute famille depvecteurs dansRn,p < n, ayant une matrice r´eduite de type I est une famillelibre(oulin´eairement ind´ependante). ii)si le nombre de vecteurs est plus grand que la dimension de l"espace,p > n, la matrice estr´eduite de type IIlorsque: - la matrice carr´een×navec les premi`eresncolonnes est triangulaire sup´erieure `a coefficients diagonaux (pivots) non nuls; - les autresn-pcolonnes ont des coefficients quelconques.

0?• • • • ··· •

0 0?• • • ··· •

0 0 0?• • ··· •

0 0 0 0?• ··· •)

Toute famillepvecteurs dansRn,p > n, ayant une matrice r´eduite de type II est une familleg´en´eratrice. iii)si le nombre de vecteurs est ´egal `a la dimension de l"espacep=n, la matrice carr´ee estr´eduite de type IIIlorsque la matrice carr´eer×r, avecr?nest triangulaire sup´erieure `arcoefficients diagonaux (pivots) non nuls: - sir=n=p, c"est-`a-dire, si tous les coefficients diagonaux (pivots) sont non nuls la famille est unebase; - sir < n=p, c"est-`a-dire, s"il y an-rz´eros sur la diagonale, alors il y a seulementr < nvecteurs lin´eairement ind´ependants.

6CHAPITRE 1. MATH´EMATIQUES

0?• • • ··· •

0 0?• • ··· •

0 0 0?• ··· •

0 0 0 0?··· •...............···...

0 0 0 0 0···?)

)))))))))ou(

0?• • • ··· •

0 0?• • ··· •

0 0 0?• ··· •

0 0 0 0 0···0...............···...

0 0 0 0 0···0)

Le rang d"une matriceest la dimension de la matrice carr´ee maximale triangulaire sup´erieure ayant tous les pivots non nuls. Autrement dit, il s"agit du nombre maximal de vecteurs lin´eairement ind´ependants que l"on peut extraire de la famille. Ainsi le rang d"une matrice r´eduite de type I ou II estp, celui d"une matrice r´eduite de type II estr(donc encore une foisr=psi la famille est une base). Toute famille libre depvecteurs dansRn,p < n, peut ˆetre complet´ee parn-pvecteurs deRnde sorte que la famille denvecteurs deRnobtenu soit une base. Toute famille g´en´eratrice depvecteurs deRn,p > n, inclut au moins une sous-famille de nvecteurs qui est une base. Si on revient au syst`eme (S) et on applique un certain nombre de fois, disonsrles deux

r`egles de la m´ethode du pivot (obtenir un pivot ´egal `a 1 et ensuite faire disparaˆıtre des

´equations suivantes l"inconnue de mˆeme indice que le pivot). On suppose que lesrpremi`eres inconnues ont des coefficients pivot et que les ´equations dont tous les coefficients sont nuls x x r+αr,r+1xr+1+...+αr,pxp=τr

0 =τr+1...

0 =τn

- sir=p=nalors le syst`eme admet uneunique solution; - sir=p < n - siτp+1=...=τn= 0 on supprime lesn-p´equations de la forme 0 = 0 et les p=r´equations restantes donnentsolution unique; - si au moins un desτp+1,...,τnn"est pas nul il y a une ´equation impossible, donc il n"y a pas de solution; - sir=n < pil y ap´equations qui donnentx1,...,xn=ren fonction dexn+1,...,xp, doncil y a une infinit´e de solutions;

1.1. COMPL

´EMENTS D"ALG`EBRE LIN´EAIRE7

- sir < petr < n - siτr+1=...=τn= 0 on supprime lesn-r´equations de la forme 0 = 0 et il rester´equations; on obtientx1,...,xren fonction dexr+1,...,xp, doncil y a une infinit´e de solutions; - si au moins un desτr+1,...,τnn"est pas nul il y a une ´equation impossible, donc il n"y a pas de solution.

1.1.4 Retour sur les matrices: op´erations avec des matrices; lien

avec les syst`emes lin´eaires Etant donn´ees deux matrices de mˆeme formatn×p,A= (aij) etB= (bij), on appelle somme deAetBla matrice de mˆeme formatA+B= (aij+bij). Etant donn´es un r´eelλet une matricen×p,A= (aij), on appelleproduit deApar le scalaireλla matrice de mˆeme format queA,λA= (λaij). L"addition des matrices est associative, commutative, admet un ´el´ement neutre, la matrice Oet toute matrice admet une oppos´ee. La multiplication des matrices par un scalaire est distributive par rapport `a l"addition des matrices, mais aussi par rapport `a l"addition des scalaires et elle est associative pour le produit des scalaires. On ne peut pas multiplier deux matrices quelconques. Il faut respecter les formats des deux facteurs. Une matriceA= (aij) de formatn×ppeut ˆetre multipli´ee `a droite seulement avec des matricesB= (bij) de formatp×q, c"est-`a-dire le nombre de colonnes de la premi`ere matrice doit ˆetre ´egal au nombre de lignes de la deuxi`eme. Leproduit deAparBest la matrice de formatn×qet de coefficients (cij), o`ucij=?p ?=1ai?b?j. Ainsi pour calculer le coefficient (i,j) de la matrice produit on fait le produit scalaire des deux vecteurs suivants: la ligneide la matriceAet la colonnejde la matriceB: (((a i1 a i2... a ip) (((b 1j b 2j... b pj) )))>=p? ?=1a i?b?j. Lorsqu"il existe le produit des matrices est associatif: siAest de formatn×p, siBest de formatp×qet siCest de formatq×ralors (AB)C=A(BC) est une matricen×r. Le produit de matrices, lorsqu"il existe, est distributif `a droite et `a gauche pour l"addition. Si on revient `a l"´ecriture matricielle des syst`emes, on voit que le membre de gauche est en fait la multiplication de la matrice des coefficientsAde formatn×pavec la matrice

8CHAPITRE 1. MATH´EMATIQUES

colonneXde formatp×1 pour obtenir une matrice colonnen×1 qu"on compare `a la matricetde formatn×1.

Il est clair que les matrices carr´ees peuvent ˆetre multipli´ees mais leur produit n"est pas

commutatif: en g´en´eralAB?=BAlorsque les matricesAetBsont carr´eesn×n.

Toutefois pour la multiplication de matrices carr´eesn×n, il y a un ´el´ement neutre qui est

la matrice identit´eIn. En effet on peut v´erifier queAIn=InA=A. Une matriceAcarr´een×nest diteinversibles"il existe une matrice not´eeA-1carr´ee n×ntelle que:AA-1=A-1A=In.A-1s"appelle lamatrice inverse deA. Soit le syst`eme den´equations `aninconnuesAX=t. Lorsque la matriceAest inversible on peut multiplier `a gauche avecA-1pour obtenirA-1(AX) =A-1tou ´equivalent (A-1A)X=A-1tou encoreX=A-1t, car (A-1A)X=InX=X. Donc r´esoudre le syst`eme revient `a inverser la matriceA(si elle est inversible) et ensuite de calculerA-1t.

On a vu que toute matrice carr´een×n,Apeut ˆetre transform´ee par une suite d"op´erations

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