LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN 1
Ecritures complexes et transformations du plan. IV. Similitude directe Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
Feuille 2 Nombres complexes
Exercice 1. Calculer les racines carrées des nombres complexes ... Soit la transformation du plan complexe qui à un point d'affixe associe le ...
2ième/3ième année
Nombres complexes - Transformations. TRANSLATION Exercice 1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( ?? ?). Soient le point (. ) ...
( ; ) R O uv = ? 2 3 Z i = 3 Z i = ?
Dans l'exercice le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ;
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LEÇON 13 : NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE DU PLAN Exercice (10 min) ... Une transformation du plan est une application bijective du plan dans le plan.
NOMBRES COMPLEXES(Partie 2)
Cours et exercices d'applications et de réflexions sur les nombres nombres complexes non nuls ... transformation dans le plan qui associe à tout.
Cours de PCSI au Lycée Gontran Damas
Nombres et Plan complexes . XI Nombres complexes et transformations du plan . ... Exercice 6 : Résoudre dans C l'équation 2iz ? 1 ? i = z + 2i.
Exercices – Nombres Complexes
Exercice 7. — Dans le plan complexe muni d'un repère (0;. -? u . -? v ) orthonormal direct
Feuille 5 : Nombres complexes (correction)
Exercice 5-17. 1. Donner les applications de C qui représentent les transformations du plan suivantes. a) La translation du vecteur d'affixe ?2
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Exercice 2 Soit la transformation du plan complexe qui à un point d'affixe associe le point d'affixe ? = (?1 + ?3) ? ?3
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21 oct 2020 · Nombres complexes et géométrie Translation Rotation À venir CM12 : Transformations du plan But : décrire une rotation d'angle º
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Ecritures complexes et transformations du plan IV Similitude directe Exercice Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
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Cours et exercices d'applications et de réflexions sur les nombres complexes (Partie 2) PROF : ATMANI NAJIB 2ème BAC Sciences Physiques et Sciences de la
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Exercices corrigés nombres complexes 1 Définir cette transformation et donner ses éléments caractéristiques 2 Quelles sont sous forme exponentielle
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Exercice 1 – 1) Qu'est ce que le conjugué d'un nombre complexe ? 2) Déterminer les nombres complexes z vérifiant : (1 + i)z - 1 + i = 0 3) Préciser le
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Réciproquement la transformation du plan f qui a pour écriture complexe ( ) ou z z z ? = +b f où b est un nombre complexe est la translation de vecteur
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Utiliser la notation exponentielle d'un nombre complexe Résoudre des équations dans Utiliser les nombres complexes pour caractériser les transformations
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Exercice de fixation Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ;I ;J) OnconsidèrelespointsABetCd'affixesrespectives?1 + ?3
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IV) LES TRANSFORMATIONS DANS LE PLAN COMPLEXE 1) La translation : 1 1 Définition géométrique Définition : Soit ? un
Comment déterminer une écriture complexe ?
z = z + w. Autrement dit, l'écriture complexe de Tu est tu : z ?? z + w. Démonstration. Avec ces notations, on a : ???? MM = u, ce qui donne : z ? z = w.Comment montrer un triangle isocèle dans le complexe ?
Par propriété, un triangle isocèle en O ne peut être rectangle qu'en O. Pour cela, il faut que zA?zOzB?ZO=i z A ? z O z B ? Z O = i ou ?i, donc zAzB=i z A z B = i ou ?i. ? i .Comment déterminer l'écriture complexe d'une similitude directe ?
On considère une similitude directe f d'écriture complexe z' = az + b (a complexe non nul et b complexe). Lorsque a = 1, f est la translation dont le vecteur a pour affixe b : - l'ensemble des points fixes de f est vide lorsque b est non nul ; - sinon tout point est invariant (f est l'identité du plan).- Les transformations que l'on étudie sont les transformations élémentaires : translation, rotation, symétrie centrale, symétrie orthogonale et homothétie.
Université Claude Bernard Lyon 1 UE Fondamentaux des Mathématiques I Semestre d"automne 2019-2020
Feuille 5 : Nombres complexes (correction)
Exercice 5-1.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : z= 4 + 5i,a)z= (2 + 2i) + (5 + 3i),b)z= (37i)(12i),c) z= (4 + 5i)(5 + 3i)(12i),d)z=43i5 + 2i,e)z=(43i)(12i)73i,f) z=(7 + 6i)(32i)2 +i+4+6i.g) Correction exercice 5-1.Re(z) = 4;Im(z) = 5,a)Re (z) = 3;Im(z) = 5,b)Re (z) =17;Im(z) =1,c)Re(z) = 79;Im(z) = 27,d)Re (z) =1429
;Im(z) =2329 e)Re (z) =1958
;Im(z) =8358 f)Re(z) =6;Im(z) =5.g)
Exercice 5-2.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire dez=1 +im2m+i(m21)pourm2R. Correction exercice 5-2.z=1 +im2m+i(m21)=(1 +im)(2mi(m21))(2m)2+ (m21)2=2m+m(m21) + 2im2i(m21)m4+ 2m2+ 1
m3+m+i(m2+ 1)(m2+ 1)2=m(m2+ 1) +i(m2+ 1)(m2+ 1)2 m+im 2+ 1; donc Re(z) =mm2+ 1et Im(z) =1m
2+ 1. Exercice 5-3.Soitz2C. Exprimer le conjugué des nombres complexes suivants en fonction de Re(z)etIm(z):
z+ 1,a)z2+ 3i,b)z+ 2z,c)z+zi,d) z3+ 1,e)iz23z,f)zz+iz,g)z2iz+ 4.h)
Correction exercice 5-3.Pour simplifier, notonsx=Re(z)ety=Im(z).z+ 1 =x+ 1iy,a)z2+ 3i=x2+y2i(2xy+ 3),b)z+ 2z= 3x2iy,c)z+zi= 2x+i,d)z
3+ 1 =x33y2x+ 1 +i(y33x2y),e)iz
23z=2xy3x+i(y2x23y),f)zz+iz=y+i(x+ 2y),g)z
2iz+ 4 =x2y2y+ 4 +i(x2xy).h)
Exercice 5-4.1.Calculer le mo dulede snom brescomplexe ssuiv ants: z= 2 + 5i,a)z=3 + 2i,b)z= (32i)(9 +i),c)z=2 + 5i52i.d) 2. Exprimer le mo duledes nom brescomplexes suiv antsà l"aide du mo dulede z : zz,a)2z2,b)2z,c)3z2z d) 1Correction exercice 5-4.
1. jzj=p29,a)jzj=p13,b)jzj=p1066,c)jzj= 1.d) 2. jzzj=jzjjzj=jzj2,a)j2z2j= 2jzj2,b)2z =2jzj,c)3z2z = 3jzj.d) Exercice 5-5.Soit(z;z0)2C2. Établir la relationjz+z0j2+jzz0j2= 2(jzj2+jz0j2)et en donner une interprétation géométrique. Correction exercice 5-5.jz+z0j2+jzz0j2= (z+z0)(z+ z0) + (zz0)(zz0) =jzj2+zz0+ zz0+jz0j2+jzj2zz0zz0+jz0j2= 2(jzj2+jz0j2):On appelle cette égalité l"identité du parallélogramme : dans un parallélogramme, la somme des carrés
des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales. Exercice 5-6.1.Représen terl esp ointsd"affixes suiv antesdans l eplan R= (O;!i ;!j) z= 1i,a)z,b)z+ z,c)zz.d) 2. Représen terles v ecteurssuiv antsdans le plan R= (O;!i ;!j) !vd"affixe2 +i,a)!wd"affixe3 + 2i,b)!v+!w,c)2!v!w.d) Correction exercice 5-6.On noteA,B,CetDles points d"affixes respectivesz,z,z+ zetzz. 2 Exercice 5-7.Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : j1zj 12 a)Re (1z)12
b)Re (iz)12
c)112 2 = 2d)z3z+ 3 <2e) Correction exercice 5-7.a)L"ensem bledes p ointsd"affixe x2Ctels quej1zj 12 est le cercle de centre d"affixe1et de rayon 12 b)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors,1z= 1xiyet
Re(1z)12
,1x12 ,x12 L"ensemble des solutions est le demi-plan complexe à droite de la droite verticalex=12 c)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alorsiz=y+ix. et
Re(iz)12
, y12 ,y 12 L"ensemble des solutions est le demi-plan complexe au-dessus de la droite horizontaley=12 d)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors
11z 2 = 2,z1z 2 = 2, jz1j2= 2jzj2,(x1)2+y2= 2(x2+y2) ,x22x+ 1 +y2= 2x2+ 2y2,1 =x2+ 2x+y2,1 = (x+ 1)21 +y2 ,(x+ 1)2+y2= 2: L"ensemble des solutions est le cercle de centre de coordonnées(1;0)et de rayonp2. e)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors
z3z+ 3 <2,z3z+ 3 2 <4, jz3j2<4jz+ 3j2,(x3)2+y2<4((x+ 3)2+y2) ,x26x+ 9 +y2<4(x2+ 6x+ 9 +y2),x26x+ 9 +y2<4x2+ 24x+ 36 + 4y2 ,0<3x2+ 30x+ 27 + 3y2,0< x2+ 10x+ 9 +y2 ,0<(x+ 5)225 + 9 +y2,16<(x+ 5)2+y2: L"ensemble des solutions est l"extérieur du disque de centre de coordonnées(5;0)et de rayon4. 3Exercice 5-8.Soitx2R.
1. Calculer cos(3x)en fonction decos(x), puissin(3x)en fonction desin(x). 2.Linéariser sin4(x)puiscos(x)sin4(x).
Correction exercice 5-8.1.On a
cos(3x) +isin(3x) =e3ix= (eix)3= (cos(x) +isin(x))3 = cos3(x) + 3icos2(x)sin(x)3cos(x)sin2(x)isin3(x)
= cos3(x)3cos(x)sin2(x) +i(3cos2(x)sin(x)sin3(x)):
En identifiant les parties réelles et imaginaires,cos(3x) = cos3(x)3cos(x)sin2(x)etsin(3x) = 3cos2(x)sin(x)sin3(x). On réécrit cela en
cos(3x) = cos3(x)3cos(x)(1cos2(x)) = 4cos3(x)3cos(x); sin(3x) = 3(1sin2(x))sin(x)sin3(x) = 3sin(x)4sin3(x): 2. sin4(x) =eixeix2i
4 =e4ix4e2ix+ 64e2ix+e4ix16 e4ix+e4ix4(e2ix+e2ix) + 616 =2cos(4x)8cos(2x) + 616 18 cos(4x)12 cos(2x) +38 cos(x)sin4(x) =eix+eix2 e4ix4e2ix+ 64e2ix+e4ix16
e5ix+e3ix4e3ix4eix+ 6eix+e3ix+e5ix4eix4e3ix+ 6eix32 e5ix+e5ix3(e3ix+e3ix) + 2(eix+eix)322cos(5x)6cos(3x) + 4cos(x)32
=116 cos(5x)316 cos(3x) +18 cos(x):Exercice 5-9.Soientn2Net2R. Calculer
U n=nX k=0cos(k)etVn=nX k=0sin(k)Correction exercice 5-9.U
n+iVn=nX k=0cos(k) +inX k=0sin(k) =nX k=0(cos(k) +isin(k)):D"après la formule de Moivre,
U n+iVn=nX k=0e ik=nX k=0(ei)k: Si0 (mod 2), alorsei= 1etUn+iVn=n+ 1. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtientUn=n+ 1etVn= 0.Sinon,ei6= 1donc
U n+iVn=1(ei)n+11ei=1e(n+1)i1ei: 4À partir de là, deux solutions : dans la solution calculatoire, on multiplie par le conjugué du dénominateur
1ei(n+1)1ei=(1ei(n+1))(1ei)(1ei)(1ei)=1eie(n+1)i+eni1eiei+ 1
1cos()cos((n+ 1)) + cos(n) +i(sin()sin((n+ 1)) + sin(n))22cos():
On en déduit
U n=1cos()cos((n+ 1)) + cos(n)22cos()etVn=sin()sin((n+ 1)) + sin(n)22cos(): La deuxième solution est plus astucieuse, en factorisant les exponentielles1ei(n+1)1ei=ein+12
e i2 e in+12 ein+12 e i2 ei2 =ein22isin(n+12
)2isin(2 = cos n2 sin(n+12 )sin( 2 )+isinn2 sin(n+12 )sin( 2On en déduit
U n= cosn2 sin(n+12 )sin( 2 )etVn= sinn2 sin(n+12 )sin( 2 Exercice 5-10.1.Calculer le mo duleet un a rgumentdes nom brescomplexes suiv ants: u=3,a)v= 1i,b)w=1 +ip3p3 +i,c)z=p6ip2 2 d) 2.En déduire le mo duleet un argumen tde uwetzv
Correction exercice 5-10.u= 3eidoncjuj= 3,arg(u)(mod 2).a) v=p2ei4 doncjvj=p2,arg(v) 4 (mod 2).b) w=(1 +ip3)( p3i)p32+ 12=p3i+ 3i+p3
4 =2p3 + 2i4 =p3 2 +12 i=ei6 doncjwj= 1etarg(w)6 (mod 2).c) z=p2 p3i2 =p2ei6 doncjzj=p2etargz 6 (mod 2).d) Alors, d"une part,juvj=jujjvj= 3p2etarg(uv)arg(u) + arg(v)34 (mod 2), et d"autre part, zv =jzjjvj= 1etargzv arg(z)arg(v)12 (mod 2).Exercice 5-11.Soitz=q2 +
p3 +iq2p3. 1. Calculer z2, déterminer le module et un argument dez2et écrirez2sous forme trigonométrique. 2.En déduire le mo duleet un argumen tde z.
3.En déduire une expression de cos12
etsin12 5Correction exercice 5-11.
1.z2= q2 + p3 2 +2iq2 + p3 q2p3 q2p3 2 = 2+p3(2p3)+2i(23p32) = 2p3+2i.
On a alorsz2= 4(p3
2 +i2 ) = 4ei6 doncjzj= 4etarg(z)6 (mod 2). 2. P ourle mo dule,jzj=pjzj2=pjz2j= 2. Pour l"argument,2arg(z)arg(z2) (mod 2)donc arg(z)12 (mod 2).3.z= 4ei12
= 4cos12 + 4isin12 donc en identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient cos 12 =p2 + p3 4 etsin12 =p2p3 4Exercice 5-12.1.Donner la forme trigonométrique de (1 +i)npour toutn2N(utiliser la formule de Moivre).
2. En déduire une expression très simple de (1 +i)n+ (1i)n.Correction exercice 5-12.1.1 +i=p2
p2 2 +ip2 2 =p2ei4 , donc (1 +i)n=p2ei4 n=p2 n(ei4 )n:D"après la formule de Moivre,(ei4
)n=eni4 , donc (1 +i)n= 2n2 eni4 2.Comme 1i=1 +i, on a(1i)n= (1 +i)n=(1 +i)n= 2n2
eni4 . Donc (1 +i)n+ (1i)n= 2n2 eni4 + 2n2 eni4 = 2n2 eni4 +eni4 = 2n22cosn4
= 2n2 +1cosn4 Exercice 5-13.Soientz2Cetn2N. Il existe exactementnnombres complexeswvérifiantwn=z. Ces nombres sont appelés lesnracinesn-ième dez. 1. Représen terd ansle plan complexe les 6 racines 6-ième de 1 et les 4 racines 4-ième de 1. 2. Soit n2un entier. Déterminer lesn1racines du polynôme complexe1 +z+z2+:::+zn1. Correction exercice 5-13.1.Les racine s6-ièmes de 1 son tles eki3 pourk2 f0;1;2;3;4;5g. Pourk= 0etk= 3, on trouve1et1,et on place les quatre dernières sur le plan car ce sont les points du cercle unité ayant pour absisse12
.6 Pour trouver les racines 4-ièmes de1, on commence par trouver celles de1:eki2 pourk2 f0;1;2;3g, autrement dit1,i,1eti. On détermine ensuite une racine 4-ième de1 =ei, par exemple 0=ei4 , les racines 4-ièmes de1sont alors!0,i!0,!0eti!0. Ce sont les points d"intersectiondu cercle unité avec les diagonales du plan.2.z= 1n"est pas racine du polynôme complexe1 +z+z2+:::+zn1. Pourz2Cn f1g, on a
1 +z+z2+:::+zn1=1zn1z:
Les racines du polynôme complexe sont donc les racinesn-ièmes de l"unité privées de1, c"est-à-dire les
e 2ikn pourk2 f0;:::;n1g. Exercice 5-14.1.Déterminer les rac inescubiques de 1et les représenter dans le plan complexe. 2.On note j=1 +ip3
2 . Montrer que1 +j+j2= 0. 3. Exprimer les racin escubiques de 1en fonction dej. Correction exercice 5-14.1.Les racines troisi èmesde 1sont lese2ik3 pourk2 f0;1;2g, autrement dit :0= 1;!1=e2i3
=12 +ip3 2 et!2=e4i3 =12 ip3 2 :72.On note que j=!1est une des racines3-ièmes de1. Deux méthodes :
Comme j6= 1, on a1 +j+j2=1j31j= 0carj3= 1.
On calcule j2=z21= (e2i3
)2=e4i3 =z2, donc1 +j+j2= 112 +ip3 2 12 ip3 2 = 0. 3. Comme vu dans la deuxi èmemétho dede la question précéden te,z1=jetz2=j2(et1 =j0). Exercice 5-15.1.Déterminer les rac inescarrées des nom brescomplexes suiv ants: z= 7 + 24i,a)z= 9 + 40i,b)z= 1 +i.c) 2.Résoudre dans Cles équations suivantes :
z2=2p3 + 2i,a)z2= 34i.b)
Correction exercice 5-15.1.On utilise la même mét hodep ourl estrois questions : a) Soien taetbdeux réels tels que(a+ib)2=a2b2+ 2iab= 7 + 24i. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient a2b2= 7(L1)
2ab= 24:(L2)
En identifiant les modules, on obtient
pa2+b22=p7
2+ 242, soit
a2+b2=p625 = 25:(L3)
En calculantL1+L3, on obtient2a2= 32, d"oùa=4. En calculantL3L1, on obtient2b2= 18, d"oùb=3. De plus,L2montre queaetbsont de même signe. On obtient donc que les deux racines dezsont4 + 3iet43i. b) Soien taetbdeux réels tels que(a+ib)2=a2b2+ 2iab= 9 + 40i. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient a2b2= 9(L1)
2ab= 40:(L2)
En identifiant les modules, on obtient
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