[PDF] Exercices – Nombres Complexes

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Lycée Jean Bart - PCSI - Année 2013-2014 - 10 septembre 2013

Exercices - Nombres Complexes

Définitions, opérations algébriques sur les complexes Exercice1. -Déterminer la forme algébrique dez=3 + 3i3 +ip3 Exercice2. -Déterminer la forme algébrique dez=32i1 +i Exercice3. -Résoudre dansCl"équation :(3 + 2i)z=i1 Exercice4. -Résoudre dansCl"équation :3z= 64i Exercice5. -Résoudre dansCl"équation :2z= 3z+i

Exercice6. -Soitzun nombre complexe, de forme algébriquex+iy(avecxetyréels). On noteMle point du

plan complexe d"affixez. 1)

Mon trerque : (1 +z)(i+z) =x2+x+y2y+i(xy+ 1).

2) En déduire le lieu géométrique des p ointsM(z)tels que(1 +z)(i+z)soit un nombre réel. 3)

Déduire (toujours de 1)) le lieu géométrique des p ointsM(z)tels que(1 +z)(i+z)soit imaginaire pur.

Exercice7. -Dans le plan complexe muni d"un repère(0;!u ;!v)orthonormal direct, on définit une transformation

de la façon suivante : à tout pointM(z)distinct de l"origine, on associe le pointM0d"affixef(z)avec :f(z) =z+ 1z

1)

Déterminer la for mealgébrique de f(2i1).

2) T rouvertous les p ointsMdont l"imageM0est leur symétrique par rapport àO. 3)

On p osez=x+iy(avecxetyréels).

a)

Mon trerque : Re (f(z)) =x2+x+y2x

2+y2et Im(f(z)) =yx

2+y2 b)

En déduire la nature du li eugéométrique des p ointsM(z)tels quef(z)soit imaginaire pur.Modules

Exercice8. -Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal direct(0;!u ;!v), on considère les pointsAet

Bd"affixes respectives :zA= 3 +p3ietzB=1 +p3i. Prouver que le triangleOABest rectangle enO.

Exercice9. -(Modules et lieux géométriques 1). Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan complexe dont

l"affixezest telle que :

1)jzj=1

2)jzj= 13)jz1j= 2

4)jz2ij= 35)zz= 16

6)jiz2j= 9

Exercice10. -(Modules et lieux géométriques 2). Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan complexe

dont l"affixezest telle que :

1)jz1 + 3ij= 4

2)j2 + 2izj= 13)jz2 + 4ij=jz+ 1j

4)jiz+ 4ij=jz+ij5)j2z1 + 3ij=jiz+ 1j

6)j1izj=j2z4j

Exercice11. -Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan complexe tels que :ziz+i = 1. Exercice12. -Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan complexe tels que :iz+ 1z2 = 1. Exercice13. -(Identité du parallélogramme).Montrer que :

8(z;z0)2C2;jz+z0j2+jzz0j2= 2

jzj2+jz0j2

2PCSI - Année 2013-2014 - Nombres complexes - 10/09/13 - szArgument, forme trigonométrique, forme exponentielle

Exercice14. -Déterminer la forme algébrique dez= (1i)8 Exercice15. -Déterminer la forme algébrique dez= (2 + 2i)4

Exercice16. -On posez1= 3 + 3i,z2= 3 +ip3etZ=z1z

2. 1)

Déterminer la forme algébrique de Z.

2)

Déterminer le mo duleet un argumen tde Z.

3) Déduire des questions précéden tesles v aleursexactes de cos12 et desin12

Exercice17. -Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal direct(0;!u ;!v), on considère les pointsAet

Bd"affixes respectives :zA= 3 +p3ietzB=1 +p3i. Prouver que le triangleOABest rectangle enO.

Exercice18. -1Dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal direct(0;!u ;!v), on considère les pointsA,

BetCd"affixes respectives :zA=4 + 2i,zB=1ietzC=33i. Prouver que le triangleABCest rectangle en B. Exercice19. -Déterminer le lieu des pointsMdu plan complexe dont l"affixezest telle quez1 +iz+p3 est un nombre réel. Même question en remplaçant "réel" par "imaginaire pur". Exercice20. -Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan complexe dont l"affixezest telle que :

1)arg(z) = 0(mod.2)

2)arg(z) =2

(mod.2)3)arg(z) =4 (mod.2)

4)arg(z) = 0(mod.)5)izest un réel strictement néga-

tif.

6)arg(zi) =2

(mod.2) Exercice21. -Déterminer la forme exponentielle deZ=p2 + p2 +ip2p2.

Exercice22. -Déterminer les nombres complexesztels quez,z2etz4aient des images alignées.Nombres complexes de module 1 et trigonométrie

Exercice23. -Résoudre dans[0;2[puis dansRles équations suivantes :

1)cosx=p2

2

2)2sinx1 = 03)2cosx+p3 = 0

4)(cosx+ 1)sinx= 0

Exercice24. -Résoudre dansRles équations suivantes :

1)cosx= cos2x

2)cosx= cos(x)3)cosx= sin(x+)

4)cos(2x) = sin

x+2 Exercice25. -Prouver que pour tout réel2];[on a :ei1e i+ 1=itan2 Exercice26. -Linéarisercos2sin;sin3;cos3;sin3cos3.

Exercice27. -Linéarisercos4;sin4.

Exercice28. -Soientz1etz2deux nombres complexes de module1.Démontrer que :(z1+z2)2z

1z2est un réel positif

ou nul.

1. Exercice à faire si vous voulez vous assurer que vous avez compris le précédent.

PCSI - Année 2013-2014 - Nombres complexes - 10/09/13 - sz3Exercice29. -Dans cet exercice,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2. Pour toutx2R, on pose

C(x) =nX

k=0cos(kx)etS(x) =nX k=0sin(kx). 1)

En calculan tC+iS, simplifierCetS.

2)

Calculer

nX k=1cos

2(kx).

Exercice30. -Soitz2C, avecjzj= 1etz6= 1.

1) Comparerzet1z

. 2) Montrer quez+ 1z12iR.Racines carrées d"un nombre complexe, équations du second degré Exercice31. -Calculer les racines carrées de4i. Exercice32. -Calculer les racines carrées des complexes :

1)z1=i; 2)z2= 2 + 2i; 3)z3=p3 +i; 4)z4=33ip3; 5)z5= 66i; 6)z6=ei2=3;

Exercice33. -Calculer les racines carrées deZ=p3 +ip3 +ien utilisant :

1) la forme algébrique deZ; 2) la forme trigonométrique deZ

Exercice34. -Déterminer les racines carrées dansCde3 + 4i. Exercice35. -Résoudre dansCles équations suivantes :

1)z2+ 3z+ 3i= 0

2)z24z+ 5 = 0

3)z2ziz+ 5i= 0

4)z2(7 +i)z+ 12 + 3i= 05)z22iz+ 1 = 0

6)4z216z+ 1112i= 0

7)z2+ 5z+ 7i= 0

8)z83z4+ 2 = 0

Exercice36. -Résoudre dansCles systèmes suivants : (S1) :x+y= 2 xy= 2(S2) :x+y= 1 +i xy= 13i Exercice37. -Résoudre dansCl"équation :z4=i.

Exercice38. -Résoudre dansCl"équation :z42cos z2+ 1 = 0.Racinesn-ièmes d"un nombre complexeExercice39. -On posej=e2i=3. Calculer(1 +j)2012.

Exercice40. -Calculer les racines cubiques des complexes : z

1=i;z2= 22i;z3=1 +ip3

1ip3 ;z4= 1 +joùj=e2i=3.

Exercice41. -Montrer que :cos25

+ cos45 + cos65 + cos85 =1 Exercice42. -Déduire de la question précédente la valeur exacte decos25 (on montrera pour cela quecos25 est solution d"une équation du second degré...).

4PCSI - Année 2013-2014 - Nombres complexes - 10/09/13 - szExercice43. -Dans cet exercice,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2. Soit!une racinen-ième de

l"unité différente de1. On pose : S=n1X k=0(k+ 1)!k

Calculer(1!)S, puis en déduire la valeur deS.Equations dansCExercice44. -SoitPun polynôme à coefficientsréels. Montrer que si un complexezest racine deP, alorszest

racine deP.

Exercice45. -(Hors-chapitre, mais niveau Tale)SoitPun polynôme à coefficients réels, de degré impair.

Montrer quePa au moins une racine réelle.

Exercice46. -Quelles sont les racines de l"unité appartenant à la fois àUpet àUq(petqétant deux entiers

distincts)?

Exercice47. -Soitnun entier naturel. Résoudre dansCl"équation :z=zn.Transformations du plan complexe

Exercice48. -Dans chacun des cas suivants, donner une écriture complexe de la transformation du plan donnée :

1) la réflexion d "axeréel 2) la symétrie cen tralede cen trel"origine du plan com- plexe 3) la réflexion d "axeimaginaire pur 4) la translation de v ecteur !v(1 + 3i) 5) l"homothétie de cen tre (i)et de rapport26)la rotation de cen tre (2)et d"angle2 7) l"homothétie de cen tre (1 + 2i)et de rapportp2 8) la translation qui transforme B(2 +i)enB0(1 + 3i) 9) l"homothétie de rapp ort4qui transformeB(1 +i)en B

0(3 +i)

Exercice49. -Dans chaque cas, déterminer la transformation du plan complexe correspondant à l"écriture donnée :

1)z0=z

2)z0=z+i

3)z0= 2(z1) + 1

4)z0=iz

5)z0= 2 +iz2i

6)z0+ 3z= 0

7)z0=ei3

z8)z0+ei4 z= 0

9)z0=p2(1 +i)2

z

10)z0=1ip3

2 (zi) +i

11)z0=2z1i

12)z0=z+ 3i

Exercice50. -Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(0;!u ;!v). On considère la transfor-

mationfdu plan qui à tout pointMd"affixezassocie le pointM0d"affixez0telle que z 0=p2 4 (1 +i)z 1) Déterminer la nature et les é lémentscaractéristiques de la transformation f. 2)

On définit la suite de p oints(Mn)de la façon suivante :M0est le point d"affixez0= 1et, pour tout nombre entier

natureln; Mn+1=f(Mn). On noteznl"affixe du pointMn. a) Justifier que, p ourtout nom breen tiernaturel n; zn=12 n e i(3n4 b) Construire les p ointsM0; M1; M2; M3etM4(prendre une "grande unité graphique", 8cm par ex). 3)

Soien tnetpdeux entiers naturels. À quelle condition surnetples pointsMnetMpsont-ils alignés avec l"origine O

du repère?quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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