[PDF] Chapitre VII : Fonctions usuelles I La fonction logarithme

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Mathématiques PTSI, Chapitre VII 2018-2019

Chapitre VII : Fonctions usuelles

I La fonction logarithme

I.1 Définition

Vous avez vu en lycée la construction de la fonction exponentielle comme l"unique solution de l"équation différentielle

f

?-f= 0. Cependant l"existence était admise et relève d"un résultat que vous ne verrez qu"en seconde année. Notre

approche sera donc différente. Nous commençons par définir le logarithme et la fonction exponentielle constituera la

réciproque du logarithme.

Nous verrons dans un prochain chapitre que sifest une fonction continue surIun intervalle deRet sia?I

alorsx?→Rx

af(t)dtest l"unique primitive defs"annulant ena. On appelle ce résultat le théorème fondamental de

l"analyse. Nous allons revoir ce résultat dans un exemple particulier pour construire le logarithme.

Pour toutp?Z\ {1},x?→xpadmet pour primitive la fonctionx?→xp+1p+1. Vous notez que seule la valeurp= 1

pose problème. Pourtant la fonctionx?→1x est continue surR?+. Ceci peut-être une motivation pour introduire la définition suivante.On appellelogarithme népérien, notéeln, la fonction définie par : ?x?R?+,ln(x) =Z x 11t dt.Définition I.1

Remarques 1 :

•Par définition,ln(1) =R1 11t dt= 0.

•Historiquement le logarithme népérien a été introduit pour la qualité de ses propriétés algébriques transformant

un produit en somme. En l"absence d"ordinateur, le calcul une somme est nettement plus aisé que le calcul d"un

produit.

I.2 Continuité et dérivabilitéLa fonction logarithme est continue et dérivable surR?+. De plus pour toutx?R?+,

ln ?(x) =1x .Proposition I.2 Démonstration.Continuité.Soitx?R?+. On a pour touth?]-x;+∞[, ln(x+h)-ln(x) =Z x+h 11t dt-Z x 11t dt=Z x+h x1t dt.

Premier cash>0. Par positivité de la fonction inverse surR?+, on sait queln(x+h)-ln(x)>0. De plus par

décroissance de la fonction inverse surR?+, on a

06ln(x+h)-ln(x) =Z

x+h x1t dt6Z x+h x1x dt=hx

Deuxième cash60, alorsln(x+h)-ln(x) =-Rx

x+h1t dt60. De plus par décroissance de la fonction inverse sur R ?+, (attention au signe moins qui inverse l"inégalité)

0>ln(x+h)-ln(x)>-Z

x x+h1x dt=hx 1

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Ainsi, on obtient que

|h|x

6ln(x+h)-ln(x)6|h|x

Donc par le théorème d"encadrement, quandh→0, on obtient lim h→0ln(x+h)-ln(x) = 0.

Donc la fonction logarithme est continue enx. Ceci étant vraie pour toutx?R?+, on en déduit quelnest continue

surR?+.

Dérivabilité.On affine nos précédentes inégalités. Fixonsx?R?+. Pour touth?]-x;+∞[\{0}, notons d"abord que

1x =1h R x+h x1x dt. Ainsi, 1x -ln(x+h)-ln(x)h =1h Z x+h x1x dt-1h Z x+h x1t dt=1h Z x+h x1x -1t dt=1h Z x+h xt-xtx dt. Donc, sih >0,06t-x6hpour toutt?[x;x+h]. Orhxt >0pour toutt?[x;x+h]Donc 061x
-ln(x+h)-ln(x)h 61h
Z x+h xhtx dt=1x Z x+h x1t dt.

Or nous avons déjà vu que pourh >0,Rx+h

x1t dt6hx . Donc 061x
-ln(x+h)-ln(x)h 6hx 2. En procédant de même, on peut montrer que, sih <0, 0>1x -ln(x+h)-ln(x)h >hx 2.

Donc globalement, pour touth?]-x;+∞[\{0},

|h|x 261x
-ln(x+h)-ln(x)h 6|h|x 2

Et par encadrement, on en déduit que

lim 1x -ln(x+h)-ln(x)h = 0?limh→0ln(x+h)-ln(x)h =1x Donc la fonction logarithme est dérivable et sa dérivée est donnée par ?x?R?+,ln?(x) =1x Exercice 1. Calculer la dérivée de la fonctionf:¨]-1;1[→R x?→ln€1+x1-xŠ .La fonction logarithme est strictement croissante surR?+.Corollaire I.3

Démonstration.C"est une conséquence directe de la stricte positivité de sa dérivée surR?+.

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I.3 Propriétés algébriques

Soientx?]0;+∞[,y?]0;+∞[etp?Z.

1.ln(xy) = ln(x) + ln(y). 2.ln1x

=-ln(x).

3.ln€xy

Š= ln(x)-ln(y). 4.ln(xp) =pln(x).Proposition I.4

Démonstration.

1. Soit y >0un réel fixé. Considérons la fonctiong:¨R?+→R x?→ln(xy)-ln(x)-ln(y). La fonctiongest dérivable surR?+comme somme et composée de fonctions dérivables et pour toutx >0, g ?(x) =yxy -1x = 0. Donc la fonctiongest constante. De plus pourx= 1, on ag(1) = ln(y)-ln(1)-ln(y) = 0. Donc pour tout x >0,ln(xy)-ln(x)-ln(y) = 0. 2.

Soit x >0. Le réely=1x

est aussi strictement positif. Donc d"après le point précédent,ln(xy) = ln(1) = 0 = ln(x) + ln(y) = ln(x) + ln1x . Doncln1x =-ln(x). 3. Soit x >0ety >0, on a, en utilisant le point 1,ln€xy

Š= ln€x×1y

Š= ln(x) + ln€1y

Š. En utilisant alors le

point 2,ln€xy

Š= ln(x)-ln(y).

4.

Fixons x >0et pour toutn?N, considérons la propositionPn: "ln(xn) =nln(x)». Démontrons quePnest

vraie pour toutn?Npar récurrence. •Sin= 0, alorslnx0= ln(1) = 0 = 0×ln(x). DoncP0est vraie. •Soitn?N. Supposons quePnest vraie. Alors, d"après le point 1 avecy=xn>0, ln xn+1= ln(x×xn) = ln(x) + ln(xn).

PuisquePnest vraie,

lnxn+1= ln(x) +nln(x) = (n+ 1)ln(x). DoncPn+1est vraie. Nous avons donc montré quePn?Pn+1. •Au bilan, on conclut quePnest vraie pour toutn?N.

Soit maintenantp?Z\N. Puisque-p?N, par ce qui précèdeln(x-p) =-pln(x). Or d"après le point 2,

ln(x-p) = ln1x p=-ln(xp). Donc-ln(xp) =-pln(x)?ln(xp) =pln(x). Conclusion, pour toutp?Z, ln(xp) =pln(x).

I.4 Limites remarquables

Exercice 2. Soita?R?+. Discuter suivant les valeurs deade la limite de la suite(ln(an))n?N.La fonction logarithme vérifie les limites remarquables suivantes.

1.limx→+∞ln(x) = +∞. 2.limx→0ln(x) =-∞. 3.limx→+∞ln(x)x

= 0. 4.limx→0xln(x) = 0.

5.limx→0ln(1+x)x

= 1.Proposition I.5

Démonstration.

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1.

Puisque la fonction logarithme est strictemen tcroissan te,soit la fonction logarithme con vergev ersune limite

l?R?+soit la fonction logarithme diverge vers+∞(mais ne peut pas avoir de par sa croissance un comportement

plus exotique comme une oscillation quelconque). Ce résultat de la limite monotone est intuitif mais sera

démontré dans un chapitre ultérieur. Démontrons que le logarithme n"est pas borné c"est à dire que pour tout

M >0, il existex?R?+tel queln(x)> M. FixonsM >0. Pour toutn?N, on a (cf propriété précédente)

ln(2

n) =nln(2)-→n→+∞+∞. Donc il existen0?Ntel quen0ln(2)> M. Donc en prenantx= 2n0, on a bien

trouvé un réel tel queln(x)> M. Ainsi la fonction logarithme est non-bornée et croissante et donc

lim x→+∞ln(x) = +∞. 2.

P ourtout x >0,ln(x) =-ln1x

. Donc lim

Orlimx→0x>01x

= +∞. Donc par composition de limites et le point précédent,limx→0x>0ln(x) =-∞. 3.

P osonsg:¨R?+→R

x?→ln(x)x . La fonctiongest bien définie et dérivable surR?+. De plus pour toutx?R?+, g ?(x) =1x

×x-ln(x)x

2=1-ln(x)x

2. Doncg?(x)>0?1-ln(x)>0?1>ln(x). La fonction logarithme est continue et strictement croissante

sur[1;+∞[,ln(1) = 0etlimx→+∞ln(x) = +∞. Donc d"après le théorème de la bijection,ln([1;+∞[) = [0;+∞[

et même il existe un unique réel, notons-leetel queln(e) = 1. Ainsig?(x)>0?ln(e)>ln(x). Par croissance

de la fonction logarithme, on en déduit queg?(x)>0?e>x. De plusg(e) =1e . On obtient donc le tableau de variation deg:x g ?(x)x?→g(x)0e+∞-0+ 1 e1 e On constate que la fonction est majorée et admet même un maximum lorsquex= equi vaut1e . Donc pour tout x >0, ln(x)x 61e
Notons que par croissance de la fonction logarithme, pour toutx >1,ln(x)x >0. Donc pour toutx >1,

06ln€(⎷x)2Š(

⎷x)2=2⎷x

×ln(⎷x)⎷x

62⎷x

×1e

Finalement, par le théorème d"encadrement, on en déduit que lim x→+∞ln(x)x = 0. 4.

L"idée est exactemen tla même que p ourdémon trerle p oint2, en p osantle c hangementde v ariableu=1x

lim x→0xln(x) = limu→+∞1u =-limu→+∞ln(u)u = 0. 4

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5. On reconnaît la dériv éede la fon ctionlogarithme en 1: lim x→0ln(1 +x)x = limx→0ln(1 +x)-ln(1)x = ln?(1) = 1.

Remarque 2 :Au cours de la démonstration, nous avons démontré le résultat suivant : il existe un unique réel

e?]0;+∞[tel queln(e) = 1. Ce nombre s"appelle la constante de Neper.Le graphe de fonction logarithme a

•une asymptote verticalex= 0en0, •une tangente d"équationy=x-1au point(1;0), •une branche parabolique de direction(Ox)en+∞.Corollaire I.6

I.5 Graphe et variations

De notre étude précédente, on en déduit le tableau de variation suivant :x

Ainsi que son graphe :

123456

-4-3-2-112ln y=x-1e

II La fonction exponentielle

II.1 Définition et premières propriétés

La fonction logarithme est continue, strictement croissante sur]0;+∞[etf(]0;+∞[) =R. Donc d"après le théorème

de la bijection, la fonction logarithme est une bijection de]0;+∞[dansR. 5

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On appellefonction exponentielle, notéexp, la fonction réciproque du logarithme népérien :exp:R→]0;+∞[.Définition II.1

•La fonction exponentielle est strictement croissante surRet réalise une bijection deRdans]0;+∞[.

•La fonction exponentielle est continue et dérivable surR. De plus pour toutx?R, exp ?(x) = exp(x).Proposition II.2

Démonstration.Le théorème de la bijection appliqué à la fonction logarithme assure que la fonction exponentielle

est une fonction continue, strictement croissante surRet réalise une bijection deRdans]0;+∞[. De plus pour tout

x?R?+,ln?(x) =1x

>0. Donc d"après le théorème de la dérivée de la fonction réciproque, on sait que la fonction

exponentielle est dérivable surlnR?+=Ret pour toutx?R, exp ?(x) =1ln ?(exp(x))= exp(x).

Soit(x,y)?R2,

1.exp(x+y) = exp(x)exp(y)2.exp(-x) =1exp(x)

3.exp(x-y) =exp(x)exp(-y)4.?p?Z,exp(px) = (exp(x))p.Proposition II.3

Démonstration.Soit(x,y)?R2, en utilisant les propriétés du logarithme, on aln(exp(x)exp(y)) = ln(exp(x)) +

ln(exp(y)) =x+y. Donc en composant par l"exponentielle, on obtient queexp(ln(exp(x)exp(y))) = exp(x)exp(y) =

exp(x+y). En procédant de même, on établit les autres affirmations.

Rappelons que par définition,eest l"unique réel tel queln(e) = 1. De plus la fonction exponentielle est la fonction

qui à tout réel associe son unique antécédent par le logarithme. Donc en particulierexp(1) = e.Pour toutx?R, on noteex= exp(x). La fonction exponentielle est donc notéex?→ex.Notation

Remarque 3 :La notation est compatible avec la fonction puissance sur les entiers naturels. En effet, pour tout

n?N, e n= e×e×··· ×e|{z} nfois= exp(n).

En effet d"après la proposition précédenteexp(n) = exp(n×1) = (exp(1))n= en. Elle est de même compatible avec

la fonction puissance sur les entiers relatifs. II.2 Limites remarquablesLa fonction exponentielle admet les limites remarquables suivantes.

1.limx→+∞ex= +∞. 2.limx→-∞ex= 0. 3.limx→+∞e

xx = +∞. 4.limx→-∞xex= 0.

5.limx→0e

x-1x = 1.Proposition II.4 6

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Démonstration.Les limites aux bornes de la fonction exponentielle sont des conséquences du théorème de la

bijection. Redémontrons-les d"une autre façon. 1. Mon tronsque p ourtout x?R,ex>x+1. Posonsg(x) = ex-x-1pour toutx?R. La fonctiongest définie, continue et dérivable surRcomme somme de fonctions dérivables surRet pour toutx?R, g ?(x) = ex-1. La fonction exponentielle est strictement croissante surRete0= 1(carln(1) = 0). Donc pour toutx>0, e

x>1et pour toutx60,ex61. On en déduit le tableau de variation de la fonctiongque l"on complète avec

la valeurg(0) = e0-1 = 0.x g ?(x)x?→g(x)-∞0+∞-0+ 00

En conséquence, pour toutx?R,g(x)>0et doncex>1 +x. Par comparaison, on en déduit quelimx→+∞ex=

2. Lorsque x→ -∞, on au=-x→+∞. Donc lim x→-∞ex= limu→+∞e-u= limu→+∞1e u= 0. 3. On a vu dans le p oint1 que p ourtou tx?R,ex>x+ 1>x. Doncexx >1pour toutx >0ou encoreex2 x 2 >1 pour toutx >0. Alors e xx = ex2 ex2 x =ex2 2 e x2 x 2 >ex2 2 Dans la dernière inégalité, nous avons utilisé la positivité de ex2 2 . Orlimx→+∞ex2 2 = +∞, donc par comparaison, lim x→+∞e xx 4.

A l"aide d uc hangementde v ariableu=-x,

lim x→-∞xex= limu→+∞-ue-u=-limu→+∞ue u= 0. 5. On reconnait le taux d"accroissemen tde la fon ctionexp onentielleen 0: lim x→0e x-1x = exp?(0) = exp(0) = 1.

Le graphe de fonction exponentielle a

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