[PDF] S Caledonie mars 2014 - APMEP S Caledonie mars 2014 Duré

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A. P. M. E. P.

Durée : 4 heures

?Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?

7 mars 2014

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

CetexerciceestunQCM(questionnaireàchoixmultiple).Pour chaquequestion,une seuledesquatreréponses

proposées est exacte. Le candidatindiquera SUR la copie le numérode la question etla réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n"est demandée. Aucun point n"est enlevé en

l"absence de réponse ou en cas de réponse fausse. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct?

O ;-→u,-→v?

. Soitzun nombre complexe de la formex+iy, oùxetysont des réels.

1.Soitzle nombre complexe d"affixe (1+i)4. L"écriture exponentielle dezest :

a.?

2eiπ

b.4eiπ c.

2eiπ4

d.4eiπ 4

2.L"ensemble des pointsMdu plan d"affixez=x+iytels que|z-1+i|=???

3-i??a pour équation :

a.(x-1)2+(y+1)2=2 b.(x+1)2+(y-1)2=2 c.(x-1)2+(y+1)2=4 d.y=x+? 3-1 2

3.On considère la suite de nombres complexes(Zn)définie pour tout entier naturelnparZ0=1+i et

Z n+1=1+i

2Zn. On noteMnle point du plan d"affixeZn.

a.Pour tout entier natureln, le pointMnappartient au cercle de centre O et de rayon? 2. b.Pour tout entier natureln, le triangle OMnMn+1est équilatéral. c.La suite(Un)définie parUn=|Zn|est convergente. d.Pour tout entier natureln, un argument deZn+1-Zn

Znestπ2.

4.Soit A, B, C trois points du plan complexe d"affixes respectives :

Z

A=-1-i ;ZB=2-2i etZC=1+5i.

On poseZ=ZC-ZA

ZB-ZA.

a.Zest un nombre réel. b.Le triangle ABC est isocèle en A. c.Le triangle ABC est rectangle en A. d.Le pointMd"affixeZappartient à la médiatrice du segment [BC].

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

LespartiesA, B etC sont indépendantes

PartieA

Restitution organiséedes connaissances

L"objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :

SiXest une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel

αappartenant à l"intervalle ]0; 1[, il existe un unique réel strictement positifχαtel que

P?-χα?X?χα?=1-α.

Soitfla fonction définie sur l"ensemble des nombres réelsRpar f(t)=1 ?2πe-t2 2. SoitHla fonction définie et dérivable sur [0 ;+∞[ par

H(x)=P(-x?X?x)=?

x -xf(t)dt.

1.Que représente la fonctionfpour la loi normale centrée réduite?

2.PréciserH(0) et la limite deH(x) quandxtend vers+∞.

x 0 f(t)dt.

4.En déduire que la dérivéeH?de la fonctionHsur [0 ;+∞[ est la fonction 2fet dresser le tableau de

variations deHsur [0 ;+∞[.

5.Démontrer alors le théorème énoncé.

PartieB

Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.

60% des pipettes viennent de l"entreprise A et 4,6% des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.

Dans le stock total du laboratoire, 5% des pièces présententun défaut. On choisit au hasard une pipette

dans le stock du laboratoire et on note : Al"évènement : "La pipette est fournie par l"entreprise A»; Bl"évènement : "La pipette est fournie par l"entreprise B»; Dl"évènement : "La pipette a un défaut». A?

2.Montrer quep(B∩D)=0,0224.

3.Parmi les pipettes venant de l"entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut?

PartieC

SoitXla variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d"un laboratoire associe sa

contenance (en millilitres). On admet queXsuit une loi normale de moyenneμet écart typeσtels queμ=100 etσ2=1,0424.

Nouvelle-Calédonie27 mars 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Quelle est alors la probabilité, à 10-4près, pour qu"une pipette prise au hasard soit conforme? On

pourra s"aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.

Contenancex

(en mL)9596979899 P(X?x)?arrondi à 10-5?0,000000,000040,001650,025060,16368

Contenancex

(en mL)100101102103104 P(X?x)?arrondi à 10-5?0,50,836320,974940,998350,99996 Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu"une pipette soit non-conforme estp=0,05.

2.On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taillen, oùnest un entier

naturel supérieur ou égal à 100. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces

tirages comme indépendants.

SoitYnla variable aléatoire qui à chaque échantillon de taillenassocie le nombre de pipettes non-

conformes de l"échantillon. a.Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireYn? b.Vérifier quen?30,np?5 etn(1-p)?5. c.Donner en fonction denl"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=xln(x).

1.Déterminer les limites defen 0 et en+∞.

2.On appellef?la fonction dérivée defsur ]0 ;+∞[. Montrer que

f ?(x)=ln(x)+1.

3.Déterminer les variations defsur ]0 ;+∞[.

PartieB

SoitCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal.

SoitAl"aire, exprimée en unités d"aire, de la partie du plan comprise entre l"axe des abscisses, la courbeC

et les droites d"équations respectivesx=1 etx=2.

On utilise l"algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l"aire

A. (voir la figure ci-après).

Nouvelle-Calédonie37 mars 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1 2 31O

C

Algorithme :

Variables

ketnsont des entiers naturels

U,Vsont des nombres réels

Initialisation

Uprend la valeur 0

Vprend la valeur 0

nprend la valeur 4

Traitement

Pourkallant de 0 àn-1

Affecter àUla valeurU+1nf?

1+kn?

Affecter àVla valeurV+1nf?

1+k+1n?

Fin pour

Affichage

AfficherU

AfficherV

1. a.Que représententUetVsur le graphique précédent?

b.Quelles sont les valeursUetVaffichées en sortie de l"algorithme (on donnera une valeur appro-

chée deUpar défaut à 10-4près et une valeur approchée par excès deVà 10-4près)?

c.En déduire un encadrement deA.

2.Soient les suites(Un)et(Vn)définies pour tout entiernnon nul par :

U n=1 n? f(1)+f? 1+1n? +f? 1+2n? +···+f?

1+n-1n??

V n=1 n? f? 1+1n? +f? 1+2n? +···+f?

1+n-1n?

+f(2)? On admettra que, pour toutnentier naturel non nul,Un?A?Vn. a.Trouver le plus petit entierntel queVn-Un<0,1. b.Comment modifier l"algorithme précédent pour qu"il permette d"obtenir un encadrement deA d"amplitude inférieure à 0,1?

Nouvelle-Calédonie47 mars 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieC

SoitFla fonction dérivable, définie sur ]0 ;+∞[ par

F(x)=x2

2lnx-x24.

1.Montrer queFest une primitive defsur ]0 ;+∞[.

2.Calculer la valeur exacte deA.

EXERCICE45 points

Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD= 3 et AE = 1. On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].

On note Q le point défini par

--→AQ=1

3--→AD.

A BCDE F GH I J P Q

On appelleplanmédiateur d"un segmentle plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

L"objectif de l"exercice est de déterminer les coordonnéesdu centre d"une sphère circonscrite au tétraèdre

ABIJ (c"est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J). L"espace est rapporté au repère orthonormal?

A ;-→AP,--→AQ,-→AE?

1.Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.

2.Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur(P1)du segment [AB].

3.Soit(P2)le plan d"équation cartésienne 3y-z-4=0.

Montrer que le plan

(P2)est le plan médiateur du segment [IJ].

4. a.Démontrer que les plans(P1)et(P2)sont sécants.

b.Montrer que leur intersection est une droite (Δ) dont une représentation paramétrique est ?x=1 y=t z=3t-4oùtdécrit l"ensemble des nombres réelsR. c.Déterminer les coordonnées du pointΩde la droite (Δ) tel queΩA =ΩI. d.Montrer que le pointΩest centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.

Nouvelle-Calédonie57 mars 2014

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