Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014
Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie. 7 mars 2014. EXERCICE 1. 4 points. Commun à tous les candidats. Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple).
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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S - Nouvelle-Calédonie?7 mars 2014
EXERCICE14 points
Commun à tous les candidats
Aucune justification n"était demandée dans cet exercice.1. Réponse b.: 4eiπ
Le nombre1+i apour écriturecomplexe?
2eiπ4doncle nombre(1+i)4apour écriturecom-
plexe??2?4ei4π4=4eiπ.
2. Réponse c.: (x-1)2+(y+1)2=4
Si on appelleAle nombre d"affixe 1-i, l"équation|z-1+i|=???3-i??équivaut à
z-zA|=???3-i??, ou encore|z-zA|2=???3-i??2??|z-zA|2=4.
3. Réponse c.: la suite(Un)définie parUn=|Zn|est convergente.
Z n+1=1+i2Zn=?|Zn+1|=????1+i2Zn????
??|Zn+1|=????1+i2????×|Zn|??|Zn+1|=?
2 2|Zn|DonclasuiteUn=|Zn|estgéométrique deraison?
22;or-1
22<1donclasuite estconver-
gente et a pour limite 0.4. Réponse c.: ABC est rectangle en A.
AB=|zB-zA|=?
10; AC=2?10 et BC=5?2; BC2=AB2+AC2d"où la réponsec.
EXERCICE26 points
Commun à tous les candidats
PartieA
Restitution organiséedes connaissances
L"objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : SiXest une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour toutréelαappartenant à l"intervalle ]0; 1[, il existe un unique réel strictement positifχα
tel queP?-χα?X?χα?=1-α. Soitfla fonction définie sur l"ensemble des nombres réelsRparf(t)=1 ?2πe-t2 2. SoitHla fonction définie et dérivable sur [0 ;+∞[ parH(x)=P(-x?X?x)=? x -xf(t)dt.1.La fonctionfreprésente la fonction de densité de probabilité pour la loinormale centrée ré-
duite.2.H(0)=?
0 0 f(t)dt=0; et d"après le cours limx→+∞H(x)=1.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
3.D"après la relation de Chasles :?
x -xf(t)dt=? 0 -xf(t)dt+? x 0 f(t)dt.Mais la fonctionfest positive donc?
0 -xf(t)dtest l"aire du domaine hachuré en rouge sur la figure ci-dessous, tandis que x 0 f(t)dtest l"aire du domaine hachuré en bleu. -x0x De plus la fonctionfest paire, donc ces deux aires sont égales. EnfinH(x) est l"aire du domaine situé sous la courbe représentantfhachuré en rouge et en bleu sur la figure.DoncH(x)=?
x -xf(t)dt=? 0 -xf(t)dt+? x 0 f(t)dt=2? x 0 f(t)dt.4.Onsaitquelafonctionx?-→?
x 0 f(t)dtapour dérivéelafonctionf;donclafonctionHdéfinie parH(x)=2? x 0 f(t)dta pour dérivée la fonction 2f.Orf(t)=1
?2πe-t22>0 surR; commeH?=2f,H?(x)>0 pour tout réelx, et donc la fonction
Hest strictement croissante sur [0;+∞[. On établit le tableau de variations deHsur [0;+∞[ :
x0+∞H?(x)+++
1 H(x) 05.En prenantαdans l"intervalle ]0;1[, on a aussi 1-αdans l"intervalle ]0;1[; on complète le
tableau de variations deH: x0+∞ 1 H(x) 01-αχ
D"après le tableau de variations, il existe un réel strictement positif unique notéχαtel que
H?χα?=1-α, donc tel queP?-χα?X?χα?=1-α.PartieB
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.60% des pipettes viennent de l"entreprise A et 4,6% des pipettes de cette entreprise possèdent un
défaut.Dans le stock total du laboratoire, 5% des pièces présententun défaut. On choisit au hasard une
pipette dans le stock du laboratoire et on note : Al"évènement : "La pipette est fournie par l"entreprise A»;Nouvelle-Calédonie27 mars 2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Bl"évènement : "La pipette est fournie par l"entreprise B»; Dl"évènement : "La pipette a un défaut».1.La pipette choisie au hasard présente un défaut; la probabilité qu"elle vienne de l"entreprise A
estPD(A). PD(A)=P(A∩D)
2.D"après la formule des probabilités totales :P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)??0,05=0,6×0,046+P(B∩D)??0,05-0,0276=P(B∩D)
DoncP(B∩D)=0,0224.
3.Parmiles pipettes venant del"entreprise B,laprobabilitéqu"une pipette présente undéfautest
PB(D). OrP(B)=1-P(A)=1-0,6=0,4.
PB(D)=P(B∩D)
P(B)=0,02240,4=0,056.
Parmiles pipettes venant del"entreprise B,lepourcentagedepipettes présentant undéfautest donc de 5,6%.PartieC
1.On cherche la probabilité qu"une pipette prise au hasard soit conforme, soitP(98 en sachant queXsuit la loi normale de paramètresμ=100 etσ2=1,0424. À la calculatrice, on trouve 0,9499 à 10
-4près. En utilisant la table fournie :
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu"une pipette soit non-conforme estp=0,05. 2.On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taillen, oùnest un
entier naturel supérieur ou égal à 100 et on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants. SoitYnla variable aléatoire qui à chaque échantillon de taillenassocie le nombre de pipettes
non-conformes de l"échantillon. a.Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, lavariable aléatoireYnsuit une loi binomiale de paramètresn?100 etp=0,05. b.On sait quen?100 doncn?30. n?100 etp=0,05 doncnp?100×0,05??np?5 p=0,05 donc 1-p=0,95;n(1-p)?100×0,95??n(1-p)?95 et doncn(1-p)?5. Les trois conditions sont vérifiées.
au seuil de 95% est :???p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n??? Donc l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes non conformes dans un échantillon est :? 0,05-1,96?
0,05(1-0,05)?n; 0,05+1,96?
0,05(1-0,05)?n?
0,05-1,96?
0,0475?n; 0,05+1,96?
0,0475?n?
Nouvelle-Calédonie37 mars 2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=xln(x). 1.D"après le cours, on sait que limx→0xln(x)=0 donc limx→0f(x)=0.
lim x→+∞x=+∞ lim x→+∞ln(x)=+∞? lim x→+∞xln(x)=+∞(par produit) donc limx→+∞f(x)=+∞. 2.La fonctionfest dérivable sur ]0;+∞[ comme produit de fonctions dérivables :
f ?(x)=1×ln(x)+x×1 x=ln(x)+1. 3.On étudie le signe def?(x) sur ]0;+∞[ : ln(x)+1>0??ln(x)>-1??x>e-1
Donc :
• La fonctionfest strictement décroissante sur ]0; e-1]; • la fonctionfest strictement croissante sur [e-1;+∞[. PartieB
Figure
1 21O CAlgorithme
Variables
ketnsont des entiers naturels U,Vsont des nombres réels
Initialisation
Uprend la valeur 0
Vprend la valeur 0
nprend la valeur 4 Traitement
Pourkallant de 0 àn-1
Affecter àUla valeurU+1nf?
1+kn? Affecter àVla valeurV+1nf?
1+k+1n?
Fin pour
Affichage
AfficherU
AfficherV
1. a.Sur lafigureci-dessus, lenombreUreprésente lasomme des airesdesrectanglesinférieurs
(en rouge); cette somme minore l"aire sous la courbe. Le nombreVreprésente la somme des aires des rectangles supérieurs (en bleu); cette somme majore l"aire sous la courbe. b.On fait tourner l"algorithme ci-dessus : Nouvelle-Calédonie47 mars 2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
VariableskUVn
Initialisation004
Traitement000,06984
10,06970,22184
20,22170,46674
30,46660,81324
AffichageOn affiche la valeur deU: 0,4666
On affiche la valeur deV: 0,8132
c.On peut donc en déduire que 0,46662.On admettra que, pour toutnentier naturel non nul,Un?A?Vn.
a.Sachant queUn=1 n? f(1)+f? 1+1n? +f? 1+2n? +···+f? À la calculatrice, on trouve 0,9499 à 10
-4près.En utilisant la table fournie :
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu"une pipette soit non-conforme estp=0,05.2.On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taillen, oùnest un
entier naturel supérieur ou égal à 100 et on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.SoitYnla variable aléatoire qui à chaque échantillon de taillenassocie le nombre de pipettes
non-conformes de l"échantillon. a.Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, lavariable aléatoireYnsuit une loi binomiale de paramètresn?100 etp=0,05. b.On sait quen?100 doncn?30. n?100 etp=0,05 doncnp?100×0,05??np?5 p=0,05 donc 1-p=0,95;n(1-p)?100×0,95??n(1-p)?95 et doncn(1-p)?5.Les trois conditions sont vérifiées.
au seuil de 95% est :???p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n??? Donc l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes non conformes dans un échantillon est :?0,05-1,96?
0,05(1-0,05)?n; 0,05+1,96?
0,05(1-0,05)?n?
0,05-1,96?
0,0475?n; 0,05+1,96?
0,0475?n?
Nouvelle-Calédonie37 mars 2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=xln(x).1.D"après le cours, on sait que limx→0xln(x)=0 donc limx→0f(x)=0.
lim x→+∞x=+∞ lim x→+∞ln(x)=+∞? lim x→+∞xln(x)=+∞(par produit) donc limx→+∞f(x)=+∞.2.La fonctionfest dérivable sur ]0;+∞[ comme produit de fonctions dérivables :
f ?(x)=1×ln(x)+x×1 x=ln(x)+1.3.On étudie le signe def?(x) sur ]0;+∞[ : ln(x)+1>0??ln(x)>-1??x>e-1
Donc :
• La fonctionfest strictement décroissante sur ]0; e-1]; • la fonctionfest strictement croissante sur [e-1;+∞[.PartieB
Figure
1 21OCAlgorithme
Variables
ketnsont des entiers naturelsU,Vsont des nombres réels
Initialisation
Uprend la valeur 0
Vprend la valeur 0
nprend la valeur 4Traitement
Pourkallant de 0 àn-1
Affecter àUla valeurU+1nf?
1+kn?Affecter àVla valeurV+1nf?
1+k+1n?
Fin pour
Affichage
AfficherU
AfficherV
1. a.Sur lafigureci-dessus, lenombreUreprésente lasomme des airesdesrectanglesinférieurs
(en rouge); cette somme minore l"aire sous la courbe. Le nombreVreprésente la somme des aires des rectangles supérieurs (en bleu); cette somme majore l"aire sous la courbe. b.On fait tourner l"algorithme ci-dessus :Nouvelle-Calédonie47 mars 2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
VariableskUVn
Initialisation004
Traitement000,06984
10,06970,22184
20,22170,46674
30,46660,81324
AffichageOn affiche la valeur deU: 0,4666
On affiche la valeur deV: 0,8132
c.On peut donc en déduire que 0,46662.On admettra que, pour toutnentier naturel non nul,Un?A?Vn.1+n-1n??
et que V n=1 n? f? 1+1n? +f? 1+2n? +···+f?1+n-1n?
+f(2)? on peut dire queVn-Un=1 n?f(2)-f(1)?=2ln(2)-0n=2ln(2)n. V n-Un<0,1??2ln(2)quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Corrigé du baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 - Apmep
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