[PDF] Baccalauréat STI 2D/STL Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Correction

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A. P. M. E. P.

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EXERCICE14 points

On note i le nombre complexe de module 1 et d"argument 2. On considère les nombres complexesz1,z2etz3définis par : z

1=1+i?

3,z2=e-iπ4etz3=eiπ12.

1.Déterminons l"écriture exponentielle dez1.

L"écriture exponentielle d"un nombre complexe estρeiθoùρest son module etθson argument.

12+(?3)2=2 etθest tel que cosθ=12et sinθ=?

3

2par conséquentθ=π3.z1=2eiπ

3.

2.Déterminons l"écriture algébrique dez2.

z

2=e-iπ

4=cos(-π4)+isin(-π4).

z 2=? 2 2-i? 2 2.

3.Démontrons quez1×z2=2z3.

z

1×z2=ρ1ρ2ei(θ1+θ2).

Par conséquentz1z2=2ei?π

3-π4?

=2eiπ12=2z3.

4.Écrivons l"écriture algébrique dez3.z3=cos(π

12)+isin(π12).

5.Calculons alors cos?π

12?et sin?π12?

2z3=(1+i?

3)? ?2 2-i? 2 2? 2 2-i? 2

2+i?3?

?2 2? +?3? ?2 2? 2+?6 2+i? 6-?2 2. z 3=? 2+?6 4+i? 6-?2 4. cos

12?+isin?π12?=?

2+?6 2+i? 6-?2 2.

Nous en déduisons donc

cos?π 12?=? 2+?6

4et sin?π12?=?

6-?2 4.

EXERCICE24 points

affirmeque92%dessachets sontefficacesetdonnentdesplantes résistantes.Danscetexercice,lesvaleursapprochées

seront arrondies à 10 -2près.

1.On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.

a.Déterminons l"intervalle de fluctuation asymptotique à 95%de la fréquence de sachets efficaces sur un

échantillon de taille 100.

Nous avonsn=100p=0,92. Par conséquent,n>30,np>5 etnp(n-p)>5. L"intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est :? p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?

0,92-1,96?

0,92×0,08

100; 0,92+1,96?

0,92×0,08

100?
[0,87 ; 0,97].

b.Dansleprélèvement de100 sachets, 88 donnent desplantes résistantes. Nouspouvons accepter l"hypothèse

du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes 0,88 appartient à l"intervalle de fluctuation.

2.On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets don-

nant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresn=100 et

p=0,92. Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

Sciences et technologies de laboratoire

spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P. M. E. P.

a.Puisque la variable suit une loi binomialeB(100,0,92) l"espérance deXvautnpet l"écart type deXvaut?

np(1-p

E(X)=100×92=92σ(X)=?

100×0,92×0,08≈2,71.

b.La variable aléatoireXpeut être approchée par la variable aléatoireYqui suit la loi normale d"espérance 92

et d"écart type 2,7.

En utilisant la variable aléatoireY, calculons la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes

résistantes soit compris entre 89 et 94, c"est-à-dire calculonsP(89?Y?94). À l"aide d"une calculatriceP(89?Y?94)≈0,64.

EXERCICE35 points

L"iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. IIpeut cependant être dangereux lorsqu"on le reçoit en grande

quantité.

Onconsidèreun échantillon d"unepopulation denoyauxd"iode131 comportant 106noyauxaudébutdel"observation.

On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3%. On noteunle nombre de noyaux de cet échantillon au bout denjours. On a doncu0=106.

1.Calculonsu1puisu2.

À un taux d"évolution de-8,3%, correspond un coefficient multiplicateur de 1-0,083 soit 0,917. u

2.un+1=0,917un.Passant d"untermeausuivantenle multipliant par unmême nombre,lasuite(un)estunesuite

géométrique de premier terme 10

6et de raison 0,917 .

3.Le terme général d"une suite géométrique de premier termeu0et de raisonqestun=u0qn.

Par conséquentun=106×(0,917)n.

4.Déterminons à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.

Pour ce faire, résolvonsun?106

2 u n?106 2 0,917 n×106?106 2 0,917 n?1

2ln0,917

n?ln1 2 nln0,917?-ln2 car ln1 b=-lnb n?-ln2 ln0,917car ln0,917<0 -ln2 ln0,917≈7,99959 Au bout de huit jours, la population de noyaux aura diminué aumoins de moitié. Cette durée s"appelle la demi-vie de l"iode 131.

5.On considère l"algorithme suivant :

1Variables :netusont des nombres

2Initialisation :Affecter la valeur 0 àn

3Affecter la valeur 106àu

4Traitement :Tant queu>10625nprend la valeurn+1

6uprend la valeuru×0,917

7Fin tant que

8Sortie :Affichern

a.La valeurnen sortie de cet algorithme correspond à la demi-vie.ucorrespond au nombre de noyaux etnau

nombre de boucles qu"il faut effectuer pour avoir la moitié du nombre de noyaux. b.Si on programme cet algorithme, il affiche 8, la réponse trouvée à la question 4.

Nouvelle-Calédonie correction27 mars 2014

Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

Sciences et technologies de laboratoire

spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P. M. E. P. c.Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3%.

Quelles modifications faut-il apporter à l"algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sa-

chant que la population au départ est de 10

8noyaux?

Dans la ligne "affecter àula valeur 106» nous allons remplacer 106par 108et dans le traitement deunous

allons remplacer 0,917 par 0,977, coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2,3%.

Remarquela demi-vie est indépendante du nombre de noyaux. Dans le calcul à la question 4, nous avons pu simplifier paru0.

EXERCICE47 points

Dans tout l"exercice, on désigne parRl"ensemble des nombres réels.

Ondonneci-dessousunepetite partiedelacourbereprésentativeCd"unefonctionfdéfinieetdérivablesurR,dansunrepèreorthonormé duplan.

On notef?la fonction dérivée def.

La courbeCpasse par le point A (0; 5) et par le point B d"abscisse2.

La tangenteTAà la courbe au point A passe par le point C(1; 1) et la tangenteTBau point B est horizontale.

123456

1 2 3 4-1+++

A B C T AT BC O D

PARTIEA :

Une bonne réponse rapporte0,5point.

Une mauvaise réponse ou l"absence de réponses n"enlève ni nerapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse

choisie.

1.La valeur def(0) est :

a. -4b.4c.1,2d.????autre réponse

A(0 , 5)

2.La valeur def?(0) est :

a.? ???-4b.4c.1,2d.autre réponse m=yA-yC xA-xC=5-10-1

3.La valeur def?(2) est :

a.? ???0b.2,1c.3d.autre réponse la tangenteTBau point B est horizontale.

4.Un encadrement de?

2 0 f(x)dxpar des entiers naturels est : a. 3?? 2 0 f(x)dx?4b.? 5?? 2 0 f(x)dx?7c.2?? 2 0 f(x)dx?5d.0?? 2 0 f(x)dx?2 le rectangle dont une diagonale est [O; B] a déjà une aire supérieure à 4

Nouvelle-Calédonie correction37 mars 2014

Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

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spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P. M. E. P.

PARTIEB

La fonctionfreprésentée dans la PARTIE A est définie surRpar :f(x)=?-x2-2x+2?e-x+3.

1.On admet que la limite de la fonctionfen+∞est 3. Déterminons la limite defen-∞.

lim

2.On désigne parf?la fonction dérivée de la fonctionfet on admet que pour tout nombre réelxappartenant à

R,f?(x)=?x2-4?e-x.

a.Étudions le signe def?(x) suivant les valeurs dex. Puisque pour toutxappartenant àR, e-xest strictement

positif, le signe def?(x) est celui dex2-4.x2-4=(x-2)(x+2). x+2>0 si et seulement six>-2,x-2>0 si et seulement six>2. x-∞ -2 2+∞ x+2-0 ++ x-2--0 + x2-4+ 0-0 + Nous avons donc pourx?]-∞;-2[ ou pourx?]2 ;+∞[,f?(x)>0 et pourx?]-2 ; 2[,f?(x)<0. b.Étudions le sens de variation def.

Si pour toutx?I,f?(x)<0 alors la fonctionfest strictement décroissante surI. Pourx?]-2 ; 2[,f?(x)<0

par conséquentfest strictement décroissante sur cet intervalle. Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI. Pour toutx?]-∞;-2[ ou pour tout x?]2 ;+∞[,f?(x)>0, par conséquent,fest strictement croissante sur chacun de ces intervalles.

Dressons le tableau de variation de la fonctionf.

x-∞-2 2+∞ f ?(x)+0-0+

Variation

def -∞2e 2+3

3-6e-23

3.On considère la fonctionFdéfinie surRpar

F(x)=?x2+4x+2?e-x+3x.

La fonctionFest une primitive de la fonctionfsurRlorsqueF?=f. F

F est une primitive defsurR.

4.On considère le domaineDdu plan limité par la courbeCl"axe des abscisses et les droites d"équationsx=0 et

x=2.

a.Calculons la valeur exacte de l"aireA, exprimée en unités d"aire, du domaineD. Pour tout x appartenant

à[0; 2],f(x) est positive, par conséquent l"aire du domaine planDen unités d"aire est? 2 0 f(x)dx. A=? 2 0

Avaut 14e-2+4 unités d"aire.

b.Une valeur approchée deAau centième est alors 5,89 unités d"aire.

Nouvelle-Calédonie correction47 mars 2014

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