[PDF] Corrigé du baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole – La

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat STI2D & STL/SPCL?

Métropole - La Réunion - 8 septembre 2020

Exercice 14 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

1.Le point A a pour affixezA=-1+i?

3 et le point B a pour affixezB=2e-i2π3.

On azB=2?

1 2+i? 3 2?? = -1-i?3 : les points A et B sont symétriques par rapport à l"axe des abscisses du repère.

2.Une forme exponentielle de 2eiπ

6×2i est :

Comme i=eiπ

2, 2eiπ6×2i=2eiπ6×2eiπ2=4ei?π6+π2?

=4ei4π6=4ei2π3.

3.La valeur exacte de l"intégrale?

2

0?ex+1?dxest :

2

4.Soitgla fonction définie surRparg(x)=e-2x+10.

Cette fonctiongest une solution de l"équation différentielle : gest dérivable surRet sur cet intervalle :g?(x)=-2e-2x, donc :

2g(x)+g?(x)=20, quel que soit le réelx:

gest donc solution de l"équation différentielle :y?+2y=20.

Exercice 26 points

Léo envisage l"achat d"un téléphone portable dont la capacité de stockage est de 32 giga- octets (Go).

Selon la notice, la configuration initiale du téléphone nécessite 20% de cette capacité pour le système

d"exploitation. 1. 20

100×32=6,4 gigaoctets sont utilisés par le système d"exploitation.

En raison des différentes mises à jour, Léo estime que le nombre de gigaoctets utilisés par le système

d"exploitation augmente de 0,5% par mois.

2. a.On au1=u0?

1+0,5 100?
=6,4×1,005=6,432 (gigaoctets). Au bout de un mois, le système d"exploitation occupera 6,432gigaoctets de la capacité de stockage. b.Chaque terme de la suite est le produit du terme précédent par1,005 : la suite(un)est donc une suite géométrique de premier termeu0=6,4 et de raison 1,005.

c.On sait que le terme général de la suite géométrique de premier termeu0et de raisonqest

u n=u0×qn.

Iciun=6,4×1,005n, quel que soit le natureln.

d.2 ans correspondent à 24 mois, doncu20=6,4×1,00524≈7,214. e.

6,4×1,005n>28.

Si Léa veut avoir 4 Go libres sur 32 Go il faut que le système n"occupe pas plus de Corrigédu baccalauréat STI2D STLA. P. M. E. P.

32-4=28 Go, d"où l"inéquation à résoudre .

•Méthode1 : avec la calculatrice.

On tape 6,4 Entrée (on au0), puis

×1,005 Entrée : on obtientu1

Entrée : on obtientu2

......jusqu"à obtenir un terme de la suite supérieur à 28.

•Méthode2 :

On a 6,4×1,005n>28?1,005n>28

6,4ou 1,005 n>4,375 et par croissance de la fonction logarithme népériennln1,005>ln4,375 et enfinn>ln4,375 ln1,0045. Or ln4,375 ln1,0045≈295,9. La solution la plus petite est donc 296 mois soit 24 anset 8 mois. f.La place prise par le système d"exploitation dépassera 28 Goau bout de 296 mois soit 24 ans et 8 mois. (Mo) supplémentaires. Il décide de ne rien supprimer.

3.Ainsiv0=6,4.

a.Chaque mois 450 Mo = 0,450 Go de photos seront stockés, donc aubout denmois celles-ci prendront 0,45nGo de mémoire. La place prise par le système d"exploitation plus les photossera donc : v n=un+0,45n=6,4×1,005n+0,45n b.Au bout de 2 ans = 24 mois la place prise sera de : v

24=6,4×1,00524+0,45×20≈18,014 (Go).

c.ndonnera le plus petit nombredemois àpartir desquels le téléphone aura moins de4 Go de capacité de stockage d.On peut comme dans la question précédente utiliser soit la calculatrice (c"est plus rapide qu"avecun) ou on fait tourner l"algorithme : v

40≈27,685 etv41≈28,273.

Le téléphone de Léo n"aura plus suffisamment de capacité de stockage au bout de 40 mois.

4.En supposant que le système d"exploitation nécessite au départ 20% puis chaque mois 0,5% de

plus de capacité de stockage, le nombrewnde gigaoctets pris par le système est égal à : w n=10×0,2×1,005n=2×1,005n.

Il faut donc résoudre l"inéquation :

2×1,005n>64-4, soit 2×1,005n>60 On a donc 1,005n>30 soitnln1,005>ln30 et enfinn>ln30

ln1,005≈681,9.

Léo pourra donc utiliser son téléphone 691 mois soit plus de 2fois plus qu"avec un téléphone de

32 Go.

Exercice 35 points

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10 -3près. Une voie de chemin de fer relie deux gares A et B sur une distance de 360 kilomètres. La gare A est située au kilomètre 0 et la gare B est située au kilomètre 360.

PartieA

1.P(D=50)=0.

2.On aP(10?D?15)=15-10

360=5360=172≈0,0139 soit 0,014 au millième près.

Métropole28 septembre 2020

Corrigédu baccalauréat STI2D STLA. P. M. E. P.

3.On aP(D<100)=100360=1036=518et

P(D<200)=200

360=2036=1018=2×518. La proposition est vraie.

PartieB

Sur une période donnée de quatre semaines complètes, on s"intéresse aux trains de voyageurs sur la

même voie partant de la gare A et arrivant avec un léger retarden gare B, c"est-à-dire avec un retard de

moins de 10 minutes. On suppose que de tels légers retards sont tous indépendants les uns des autres.

La probabilité qu"un train arrive avec un léger retard est estimée à 0,02. DelagareAàlagareB,ilya16trajets parjour dulundiauvendredi,12trajets lesamediet8ledimanche.

1.Par semaine il y a : 5×16+12+8=80+20=100 trains, donc en 4 semaines il y a 400 trains qui

circulent de A vers B.

2.On admet que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale.

a.Xsuit une loi binomiale de paramètresn=400 etp=0,02. b.On sait queP(X=5)=?400

5?×0,025×(1-0,02)400-5=?400

5?×0,025×0,98395≈0,0911, soit

0,091 au millième près.

3.On décide d"approcher la loi binomiale précédente par la loinormale d"espéranceμ=8 et d"écart

typeσ=2,8. a.•L"espérance la loi binomiale estE=n×p=400×0,02=8, d"où l"explication deμ=8;

•L"écart type de la loi binomialeσ(X)=?

np(1-p)=?400×0,02×0,98=20?0,0196=

20×0,14=2,8, d"où le choix de ce nombre pour l"écart type de la loi normale.

b.La calculatrice donneP(4?X?12)≈0,847. c.On aP(X?4)≈0,07656, doncP(X?4)=1-P(X?4)≈1-0,07656, soit environ 0,923.

4.L"intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est :?

0,02-1,96?

0,02(1-0,02)

400; 0,02+1,96?

0,02(1-0,02)

400?
≈[0,0063 ; 0,0337]. Or la fréquence observée est égale à : 11

400=0,0275.

Comme 0,0275?[0,0063 ; 0,0337], on ne peut pas remettre en cause l"estimation de 2%.

Exercice 45 points

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l"unité

32,35+8,7ln(F×D)

La fréquenceFdu signal émis est égale à 2,4 GHz.

1.AvecF=2,4, la formule devient 32,35+8,7ln(2,4×D)=32,35+8,7(ln2,4+lnD)

≈32,35+7,617+8,7lnD, soit environ 40+8,7lnD.

2. a.SiD=10, alorsA≈40+8,7ln10≈60,03≈60 dBm à l"unité près.

b.Il faut résoudre l"équation 80=40+8,7lnD??40=8,7lnD??lnD=40 8,7?? D=e40

8,7≈99,26≈99,3 (m).

3.P=20-A=20-(40+8,7ln(D))=-20-8,7lnD.

f(x)=-20-8,7ln(x) oùxest la distance, en mètre, parcourue par le signal.

Métropole38 septembre 2020

Corrigédu baccalauréat STI2D STLA. P. M. E. P.

4. a.Sur l"intervalle [1; 400],f?(x)=-8,7x

b.1?x>?400?1 Ceci montre que sur [1; 400],f?(x)<0 : la fonctionfest donc strictement décroissante sur cet intervalle def(1)=-20 àf(400)=-20-8,7ln400)≈-72,13.

5. a.Sur [1; 400],f(2x)=-20-8,7ln(2x)=-20-8,7(ln2+lnx)=-20-8,7ln2-8,7lnx=

-20-8,7lnx-8,7ln2=f(x)-8,7ln2.

b.Le résultat précédent montre que si la distance est doublée la puissance du signal est dimi-

nuée de 8,7ln2≈6 dBm.

6. a.PourD=10,laperteestde-20-8,7ln(10)≈-40,03 :laqualité dusignal estdoncexcellente.

b.f(x)= -60?? -20-8,7ln(x)= -60??40=8,7ln(x)??ln(x)=40

8,7??x=e80

8,7≈

99,3≈100.

S={100}.

c.La qualité du signal est bonne à au maximum 100 m.

Métropole48 septembre 2020

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