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Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frCorrigé

Interférences - Notion de cohérence

OOO

ExerciceI Notion de coh´erence temporelleFigure1.1 - Dispositif des trous d"Young. La diérence de marches, à l"infini, est lue

comme l"écart entre les plans de phase (pointillés rouges) contenant S

2et S1.

1.

Les deux fentes S

1et S2sont des sources secondaires, issues de la source S, et ont

donc une relation de phase parfaitement déterminée. De plus, S

1et S2sont à égale

distance de S, donc le déphasage entre S

1et S2est nul. On notesila vibration issue

de la source S i.RappelApproximations usuelles Approximation scalaire : on néglige le caractère v ectorielde l"onde lumineuse (cf.TP polarisation), Interférences à grande distance : l;Da;;x;X. Les deux fentes sont identiques, doncs1(S1)=s0=s2(S2), avecsi(M)= s

0eiki(M). On a introduiti(m)=SiM. En M, les deux ondes se superposent selon

Première méthode1=S1M,2=S2M etk=2=. On a

S 1M=r xa2

2+D2+y2;

S 2M=r x+a2

2+D2+y2:

Ensuite, en faisant un développement limité au second ordre enx=D,y=Deta=D, on obtient

S1MS2M=aD

x: L"intensité est donnée parI=jsj2. En notantI0=2js0j2, l"intensité sur l"écran en l"absence d"interférence s"écrit I=I0 1+cos 2axD =I0"

1+cos 2

!#:(I.1) La figure d"interférence présente un interfrangei=D=a. Deuxième méthodeAvec O le point de l"axe optique situé entre S1et S2, on a

2i=!SiM2=!SiO+!OM

2=a24 +OM2+2!SiO·!OM:

Puisque OMDa,

iD0BBBBBB@1+!SiO·!OM+a2=8+x2=2D 21

CCCCCCAet21=!S2S1·!OMD

:Dernière modification : 17 septembre 20201/16

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frLa diérence de marche entre les deux rayons parvenant au point M correspond donc

au segment(S1S2) sur la figure 1.1. On pourrait retrouver ce résultat par un raison- nement qualitatif. Puisqu"on place l"écran à grande distance, les ondes émises par les sources secondaires S

1et S2sont, au niveau de l"écran, des ondes planes. Les surfaces

de phase à considérer étant alors des plans, le chemin entre le point S

1et le point M

est égal à celui qui relie le point M au projeté de S

1sur S2M. La diérence de chemin

optique entre les deux chemins correspond bien seulement au segment(S1S2), soit =21=asinatan=axD Pour avoir des interférences constructives, il faut avoir =p;p2Z!x=Da |{z} =ip: RemarqueDans le cas de deux trous sources, le lieu des interférences constructives est donné par l"équation S

1MS2M=p;p2Z:

C"est l"équation d"hyperboloïdes de révolutionde foyers S1et S2, tels que représentés figure 1.2. RemarqueOn a ici fait comme si les deux fentes sources étaient en fait ponctuelles. secondaires alignées le long des fentes secondaires. Cela revient en fait à calculer la ce calcul pour le TD suivant. 2. Si l"on a deux composantes spectrales de fréquences 1=c=1et2=c=2,1, les ondes correspondant à ces deux composantes n"interfèrent pas entre elles. On dit qu"elles sontincohérentes entre elles. Dans ce cas, on additionne les figures d"inter- férence obtenues pour chaque longueur d"onde, et non pas les amplitudes. En eet, si on notesla superposition en un point~xde deux vibrations de pulsation

1et!2,

Figure1.2 - Hyperboloïdes de révolution, lieux des interférences constructives de deux points sources. Observés sur l"écran E", ils correspondent aux franges d"Young. Source : alors

I(~x)/ jsj2=js0j2+js00j2+2Res

0s00exphi(!1!2)t+i(~k1~k2)·~xi:

On suppose, pour simplifier, mais sans perte de généralité ques0;s002R2. On peut alors écrire | {z } si!1,!2!battements de période 2=(!1!2): Le terme oscillant est nul en valeur moyenne quandTbattements, période temporelle des battements, etTdétecteur, temps de réponse du détecteur, vérifient T battementsnTdétecteur: Pour deux sources optiques distinctes, on a typiquementTbattement1015s,i.e.un temps beaucoup plus court que les temps de réponse des détecteurs les plus rapides (1010s). L"éclairement observé est donc simplement la somme des deux éclai- rementsjs0j2etjs00j2.Les deux vibrations lumineuses, de fréquences diérentes, n"interférent pas entre elles.

Dernière modification : 17 septembre 20202/16

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frEn revenant au cas des bifentes, avec deux fréquences1et2, l"intensité de la

figure d"interférences s"écrit I=I02 0

BBBBBBBBBBBBBBBBB@2+cos

2axcD 1 +cos 2axcD 2 | {z }

2cos2axcD

1+22 cos2axcD 212
1

CCCCCCCCCCCCCCCCCA:

On a ici supposé que la même intensitéI0=2 est contenue dans chaque composante spectrale. On pose=21et ¯=1+22 , alors I=I00

BBBBBBBBBBBB@1+cos

axcD | {z } contrasteCcos 2axcD | {z } interférences à ¯1

CCCCCCCCCCCCA:

On retrouve la figure d"interférence pour une onde de fréquence ¯, dont le contraste est modulé périodiquement par la fonction contraste

C(x)=cos

axcD =cos(); où l"on a introduit le temps=c , la diérence de temps de parcours des chemins S

1M et S2M par la lumière.

RemarqueLe contraste est de façon usuelle définie parC=ImaxIminI max+Imin. C"est cette même définition que l"on utilise ici, la valeurC(x) étant la valeurlocaledu contraste, correspondant aux oscillations d"intensité autour du pointx. Il n"est en fait bien défini 3. 3.1 On décompose la source en composantes spectrales élémentaires. L "intensité émise dans un intervalle de fréquenceautour deest donné parI(). Les composantes spectrales élémentaires étant incohérentes entre elles, pour obtenir

la figure d"interférenceI, on somme les éclairements élémentaires,i.e.les figuresλ3-2-10123

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x/(cD/(2aΔ)) I/I

0Figure1.3 - Figure d"interférence observée pour deux composantes spectrales.

d"interférence dI() correspondant à chaque intervalle de fréquence: dI()=I() 1+cos 2axcD d; soitI=Z dI=Z I()d | {z } =I0+Z

I()cos

2axcD d | {z }

ReRI()e2iaxcD

d: On suppose ici queI() ne prend des valeurs notables que pour0à la largeur de raie près, supposée petite devant0, donc Z +1 0

I()e2iacD

xdZ +1 1

I()e2iaxcD

d; =e2iaxcD 0 Z+1 1

I(+0)e2iaxcD

d! On introduit finalementJ()=I(+0)=I0la densité spectrale normalisée

centréeen0=0,quinecontientdoncplusd"informationsurlafréquencecentraleDernière modification : 17 septembre 20203/16

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.fr

0, mais qui conserve l"information surle profil de raie. On obtient alors

I=I02

6666666666666641+Re0

BBBBBBBBBBBBBB@e

2iaxcD

0| {z }

interférences à0 Z+1 1

J()e2iaxcD

d! | {z } contrasteC1

CCCCCCCCCCCCCCA3

777777777777775:(I.2)

Pour simplifier, on suppose que la raie est symétrique autour de0,i.e.que le profil de raieJ() est symétrique/est une fonction paire. Dans ce cas, l"intégrale dans l"équation précédente est réelle, et l"on obtient finalement I=I0

1+C(x)cos

2axcD 0 où le contrastCs"écrit

C(x)=Z

+1 1

J()e2iaxcD

d: On peut récrire le contrasteC(x) de façon plus générale sous la forme d"une fonc- tion, non plus de l"abscissex, mais plutôt du temps caractéristique==c, dié- rence de " temps de parcours » entre les deux chemins S

1M et S2M :

C(==c)=Z

+1 1

J()e2id:(I.3)

La fonction de contraste s"écrit alors simplement comme latransformée de Fou- rier du profil de raie.

3.2Cas d"une fonction porteLe profil de raie s"écrit dans ce cas

I()=I01

(;0;); où(;0;)estnon nulle,égaleà1,sur l"intervalle[0=2;0+=2]seulement.On a alors I=Z +1 0

I()d+Z

+1 0

I()cos

2axcD d; =I0+I0 Z 0+2 02 cos 2axcD d; =I08 >>>>>>>><>>>>>>>>:1+1 cD2ax" sin 2axcD 0+2 sin 2axcD 02

| {z }

2sin(axcD

)cos(2axcD 0)9 Soit I=I0

1+sinc

axcD cos 2axcD 0: On retrouve bien le fait que le contrasteC(x) est la transformé du profil de raie :

C(x)=sinc

axcD =Z 2 2 1 e2iaxcD d:

3.3Cas d"une lorentzienneOn a cette fois

J()=2 11+4 2; et donc

C(x)=2

Z +1 111+4

2e2iaxcD

soit, d"après le formulaire,

C(x)=eajxjcD:

Le contraste est maintenant exponentiellement décroissant, comme il se doit : la transformée de Fourier d"une lorentzienne est une exponentielle décroissante.

Dernière modification : 17 septembre 20204/16

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frNotion de cohérence temporelle, longueur de cohérenceOn a vu que l"on pouvait toujours exprimer le contraste des interférences s"exprime simplement en fonction de la diérence de marche=ax=Dentre les deux rayons issus des deux trous d"Young ou du " temps de parcours » associé==c. Dans les trois cas précédents, par exemple, on peut écrire indiéremment C deux raies(x)=cos c=! =cos() C porte(x)=sinc c=! =sinc()(I.4) C lorentzienne(x)=exp jjc=! =exp(jj): appelétemps de cohérence, c=1:(I.5) C"est le temps caractéristique sur lequel la source garde ses propriétés de cohé- rence. Quand la diérence de " temps de parcours » entre les deux chemins,, devient grande devant de temps de cohérence, le contraste des interférences de- vient faible. C"est ce qui donne son nom à cette propriété de cohérence d"une source lumineuse,i.e.lacohérence temporelle. À noter que, dans le modèle des trains d"onde (voir exercice suivant),ccorrespond à la durée d"une impulsion lumineuse. Dans l"écriture de gauche des équations (I.4), on voit également apparaître la grandeur appeléelongueur de cohérence l c=c:(I.6) Le contraste des interférences décroît maintenant quand la diérence de marche entre les deux ondes émises par les deux trous d"Young devient grande par rapport

à cette longueur.

On peut comprendre qualitativement pourquoi il y a brouillage des franges à grande diérence de marche (ou à grande diérence de " temps de parcours »). En

eet, la diérence de phase entre les deux rayons, émis par les deux trous d"Young,dépend deselon'=2=c. Ainsi, siest faible, une faible variation de

induit une faible variation de'et la figure d"interférence n"est pour ainsi dire pas aectée par une largeur de raie non nulle. À grande diérence de marche, au contraire, une variation faible depeut induire une forte variation de'et une frange qui était brillante peut alors devenir sombre. Ce cas extrême se produit pour la première fois quand '=2c (+)2c =soitc Pour une raie de largeur spectrale= , il y a donc bien brouillage des franges d"interférence quanddevient de l"ordre delc. La longueur de cohérence de la source est d"autant plus faible que sa largeur de raie grande. En particulier, une source monochromatique ( =0) a une longueur de cohérence infinie : il n"y a pas de brouillages des interférences. La mesure de cette longueur de cohérence est donc une indication directe sur la largeur du profil de raie. Plus généralement, la mesure de la variation du contrasteCavecpermet de reconstruire le profil de raie. Cette relation de transformée de Fourier entreCet Jaura un direct analogue dans l"étude de la cohérence spatiale de la source.

Ordres de grandeurs

-Lumière blanche:1015Hz (400nm), soitlc1m etc1015s, -Lampe spectrale:1GHz à 100GHz (lampe basse ou haute pression) soit l cqq mm à qq 100mm etc109s à 1011s, -Laser: les valeurs sont très variables, d"un type de laser à l"autre, avec une longueur de cohérence variant typiquement delc1 m à plusieurs km. Les lasers les plus stables, actuellement, sont des horloges optiques présentant une stabilité impressionnante de=01018. La longueur de cohérence de ces lasers est de plusieurs 10

8km, soit plusieurs unités astronomiques!

ExerciceII Mod`ele des trains d"onde et coh´erence temporelle 1. On peut modéliser une source de lumière comme une assemblée d"atomes qui se désexcitent en émettant un train d"onde. Cela correspond au processus de désexci- tation d"un niveau d"énergieE1vers un niveauE0, accompagné de l"émission d"une

onde lumineuse de fréquence0tel queh0=E1E0. En pratique, cette émissionDernière modification : 17 septembre 20205/16

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frse fait avec une certaine largeur spectrale, liée notamment à la durée de vie finie des

niveaux d"énergie. On considère donc des trains d"ondeU0(t) de durée finie. Soit ˆU0() le spectre en fréquences d"un train d"onde.

U0()=TF(U0(t))=Z

+1 1

U(t)e2itdt;

Z +=2 =2e2i(0)tdt;

12i(0)2isin

2(0)2

D"où,

U0()=sinc[(0)]:

Ce modèle simple permet donc qualitativement de reproduire une largeur de raie, ici une raie en forme de sinus cardinal. La première annulation du sinus cardinal a lieu en

0=2, avec=2=, largeur du spectre d"un train d"onde.

2. La source émet une succession de Ntrains d"ondeUk(t), tous identiques, mais de phases relatives aléatoires,i.e.une onde

U(t)=X

k U k(t);avec(Uk(t)=ei'ke2i0t;jttkj< =2; U k(t)=0;jttkj> =2; oùtk=k;k2Zet où'kest une phase aléatoire. On choisit le train d"ondek=0 comme référence de phase,i.e.on pose'0=0. Le spectre de cet ensemble de trains d"onde est alors U()=Z +1 1X k U k(t)e2itdt=X k e i'kZ +1 1 U

0(ttk)e2itdt:

X k e i'ke2itkZ +1 1 U

0(t)e2itdt;

ˆU0()X

k e i'ke2itk:

On a finalement

I()=jˆU()j2=

X k e i'ke2ik2 | {z } =Ncar'kest aléatoirej

ˆU0()j2;soit

I()=I0sinc2[(0)]:

Le spectre de l"assemblée de trains d"onde est le même que celui d"un train d"onde unique. 3.

On trouv eune raie a vecun lar geurtelle que

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