[PDF] Exercice 1 : interférences entre deux ondes planes

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Cours interférence diffraction Université de Lyon

Licences P et PC 3A Université Jean Monnet

Exercice 1 : Interférences entre deux ondes planes

1- Soient deux ondes planes cohérentes de longueur

d'onde et de même intensité définies par leur vecteur d'onde 1 k et 2 k . Ces vecteurs d'onde appartiennent au plan (yOz) et font entre eux un angle . Ces deux ondes se superposent et interfèrent sur l'écran (plan xOz). z a- Donner l'expression de l'intensité résultante dans la zone de recouvrement en fonction de et . En déduire l'expression de l'intensité en n'im porte quel point du plan (xOz). b- Quelle sont la forme et l'orientation des franges d'interférence sur l'écran ? Faire un schéma. c- Déterminer l'expression de l'interfrange en fonction de et . 2-

On a représenté, sur les schémas ci-dessous, des ondes planes polarisées linéairement par

leur vecteur d'onde et leur champ électrique. Tracez dans chaque cas l'allure des franges d'interférence dans le plan de la feuille. Comment varie l'interfrange lorsque l'angle entre les deux faisceaux augmente ? Comment varie l'interfrange lorsque la longueur d'onde augmente ? Exercice 2 : Fabrication d'un réseau de diffraction par insolation interférométrique 1 E 2 E 2 k 1 k 1 E 2 E 2 k 1 k 1 E 2 E 2 k 1 k 1 E 2 E 2 k 1 k laser Système afocal Lame semi- réfléchissante miroir miroir

Echantillon comportant une

couche photo-sensible x y y

écran

1 k 2 k O Cours interférence diffraction Université de Lyon

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On utilise le montage schématisé ci-dessus pour éclairer un échantillon comportant une couche photo-sensible par un interférogramme. Le montage optique est constitué d'une source laser émettant un faisceau de longueur d'onde = 244 nm, d'un système afocal permettant d'élargir le faisceau laser, d'une lame semi-

réfléchissante qui sépare le faisceau élargi en deux parties de même amplitude, de deux

miroirs identiques qu'on supposera parfaitement réfléchissants et de l'échantillon sur lequel

on souhaite inscrire un réseau de diffraction. 1- Le système afocal permet de multiplier le diamètre du faisceau par 10, donner la relation liant les distances focales des deux lentilles. 2-

La lame semi-réfléchissante est inclinée de 45° par rapport au faisceau incident, l'angle

d'incidence sur chacun des miroirs est de 45° et les deux miroirs sont placés à égale distance

de la lame semi-réfléchissante. L'échantillon intercepte les deux faisceaux dans leur zone de

recouvrement et est positionné de telle sorte que les angles d'incidence de chacun des faisceaux sur l'échantillon sont égaux et opposés. Qu elle est la valeur de l'angle d'incidence de chacun des faisceaux sur l'échantillon ? On notera ces angles respectivement i et -i. 3- Soit et (les grandeurs vectorielles sont notées en gras) les vecteurs d'onde des deux ondes planes incidentes sur l'échantillon. Donner les coordonnées de et dans le repère (x,y) en fonction de i. 4-

On note

011 1 tj eStMS l'amplitude complexe de l'onde de vecteur d'onde

Exprimer S

01 en fonction de l'amplitude S 0 de l'onde en sortie du laser. Donner l'expression de 1 . En déduire l'expression tMS, 2 de l'amplitude complexe de l'onde de vecteur d'onde 5- Justifier le fait que les deux ondes interfèrent dans leur zone de recouvrement. 6- Quelle est l'expression de l'intensité I(x) dans la zone de recouvrement ? 7-

Représenter sur un schéma : l'échantillon, le repère (x,y), les deux faisceaux incidents, la

zone de recouvrement des deux faisceaux et la direction des franges d'interférence. 8- Quelle est l'expression de l'interfrange d en fonction de et de i? On ne fera pas l'approximation des petits angles car i n'est pas petit. 9- En réalité la lame n'est pas 50/50 mais elle réfléchit 40% et transmet 60%. Quelle est l'expression de l'intensité I'(x) du signal d'interférence. 10- En déduire la valeur du contraste du signal d'interférence. 11- Pour inscrire l'interférogramme dans la couche photo-sensible de l'échantillon, ce dernier

doit être exposé durant 5 minutes à l'intensité I'(x). Pendant ce temps il est possible d'induire

une variation de phase entre les deux bras de l'interféromètre. En effet, si quelqu'un parle à

proximité du montage, les ondes acoustiques émis es peuvent induire des variations locales d'indice de réfraction sur le montage et modifi er le trajet optique des faisceaux. Supposons

ainsi que le trajet optique d'un des deux faisceaux soit augmenté de la quantité e(n-1). Quelle

influence cela a-t-il sur l'expression de l'amplitude complexe du signal d'interférence ?

Quelle est alors l'expression I''(x) de l'intensité du signal d'interférence ? Quel commentaire

pouvez-vous faire sur l'expérience d'insolation ?

Exercice 3 : Miroir de Fresnel

Une source ponctuelle S est placée à la distance d = SO de l'arête O entre deux miroirs M 1 et M 2 faisant entre eux un petit angle . M 1 et M 2 ont le même coefficient de réflexion.

Les faisceaux réfléchis par les deux miroirs sont représentés sur la figure ci-dessus. Tout se

passe comme si les faisceaux réfléchis respectivement par M 1 et M 2 provenaient de deux sources secondaires virtuelles S 1 et S 2 Cours interférence diffraction Université de Lyon

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La superposition des ondes lumineuses, ainsi générées, produit des interférences que l'o n

observe sur un écran positionné à une distance D = OO' de l'arête entre les deux miroirs.

O M2 M 1 S O' x

1-Tracer les rayons issus de S et réfléchis par M

1 et M 2 . En déduire que la figure d'interférence observée sur l'écran est celle produite par deux sources ponctuelles S' 1 et S' 2

émettant des ondes sphériques.

2-Soit M un point sur l'écran, donner l'expression complexe des deux fonctions d'onde se

superposant en M.

3-Déterminer l'intensité de

l'onde résultante au point M en fonction de D, d = SO et , en faisant l'hypothèse suivante : OO' >> O'M et S' 1 S' 2

4-Quelle est la forme des franges d'interférence ? quelle est l'expression de l'interfrange i en

fonction de D, d, et ?

Exercice 4 : Trous d'Young

1- Considérons l'expérience des trous d'Young suivante où les trous, supposés très petits, sont

éclairés par une onde plane monochromatique de longueur d'onde en incidence normale sur

le plan des trous. Les deux trous sont distants de a. On observe les interférences sur un écran

(plan xOz) situé à une distance D du plan des trous. z T 1 a- Quel type d'onde émerge des trous ? b- Donner l'expression de l'intensité en M en fonction de r 1 , r 2 et . c- On suppose à partir de maintenant que D >> a et D >> OM. Déterminer l'expression de l'intensité en M en fonction des coordonnées du point M, de a, D et de en détaillant votre démarche.

d- Tracer les franges d'interférence dans le plan de l'écran en indiquant bien sur votre schéma

l'orientation des différents axes.

2-On reprend l'expérience de la question précédente mais cette fois l'onde plane qui éclaire le

plan des trous n'est plus en incidence normale. Elle fait un angle avec l'axe y. a- Déterminer le déphasage entre les deux ondes qui interfèrent en M en fonction de y, a, D, et de b- Comment le diagramme d'interférence est-il modifié par rapport à la question 5 ? 3-

On remplace l'onde plane monochromatique par une onde plane polychromatique. Expliquer les changements observés sur l'écran en les justifiant succinctement.

T 2 M r 1 y O r 2 Cours interférence diffraction Université de Lyon

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Exercice 5 : Fentes d'Young

Considérons l'expérience des fentes d'Young. Observerait-on un diagramme d'interférence en

remplaçant la fente S par une lampe à long filament ? Que se passerait-il si on remplaçait les

fentes S 1 et S 2 par deux lampes à filament ? Exercice 6 : Ordres de grandeur de longueur de cohérence pour différentes sources. a) Déterminer la longueur et le temps de cohérence d'une lampe à vapeur de mercure de largeur spectrale ǻȜ 1/2 = 10 nm autour de Ȝ 0 = 546 nm. Quelle est l'effet de la pression de la vapeur de mercure sur le temps de cohérence?

b) Déterminer la longueur et le temps de cohérence d'un laser hélium-néon émettant une

radiation dans le rouge à Ȝ 0 =632.8 nm et de largeur spectrale ǻȞ 1/2 = 1.4 GHz.

Exercice 7 : Raie spectrale à profil Gaussien

On considère un dispositif interférentiel donnant d'une source lumineuse ponctuelle S deux images S 1 et S 2 , telles que S 1 S 2 = s, se comportant comme deux sources lumineuses vibrant en phas e. . On observe les interférences su r un écran E parallèle au segment S 1 S 2 et situé à la distance D de celui-ci, telle que D >> s. 1- La source émettant une radiation monochromatique de longueur d'onde 0 , décrire

brièvement les phénomènes observés sur E. Donner l'expression de l'intensité au point M de

E d'abscisse x en fonction de la différence de marche (x) en M et du nombre d'onde = 1/. 2- Du fait de l'agitation thermique, le flux énergétique émis par la source est réparti continûment dans un intervalle de nombres d'onde centré autour d'une valeur 0 . On admettra que pour une bande infinitésimale de nombres d'onde compris entre et + d, la source se comporte comme si elle était monochromatique, de nombre d'onde et d'intensité de la forme dI = I 0 () d I 0 (),densité spectrale d'intensité, est telle que : 2 0 00

IIexpa

pour > 0 I 0 () = 0 pour < 0.

Calculer

l'intensité produite au point M par la source.

On sera amené à évaluer des inté

grales entre les bornes 0 et +

On admettra que la fonction I

0 () décroît de façon suffisamment rapide (raie " fine ») pour qu'on puisse les assimiler aux intégr ales analogues entre les bornes - et +.

On donne :

2 x edx 22
x4 ecosxdx e 2 x esinxdx 0, 3- Retrouver les résultats obtenus pour une radiation monochromatique. 4- Indiquer l'allure des courbes représentatives I 0 () et V(), visibilité, pour différentes valeurs de a. donner une définition de la largeur de la raie. Calculer la finesse F = 0 5-

On donne

0 = 2. 10 6 m -1 , soit 0 = 0,5 µm. Quelle doit être la finesse de la raie pour qu'on puisse observer 10 franges de part et d'autre de la frange centrale avec un contraste égal

à 1 à 10

-3 près ? Exercice 8 : Mesure de la distance angulaire des composantes d'une étoile double Une lunette astronomique est constituée d'un objectif L 1 , assimilable à une lentille mince de distance focale f = 1 m, et d'un oculaire L 2 mis au point sur le plan focal de L 1 . Par une nuit Cours interférence diffraction Université de Lyon

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claire on la dirige vers un groupe de deux étoiles très voisines S 1 et S 2 qu'on supposera ponctuelles étant donné leur éloignement ; elles émettent une même lumière monochromatique de longueur d'onde et leurs intensités sont respectivement I 0 et I 0 La face d'entrée de l'objectif est masqué par un écran E percé de deux fentes fines et parallèles F 1 et F 2 dont on peut faire varier la distance e. 1- Montrer que, pour une valeur donnée de e, on observe en général des franges d'interférence rectilignes dans le plan focal image P de L 1 . Déterminer l'interfrange. On prendra e = 6 mm et = 0,6 µm. 2-

On suppose S

1 et S 2 de même intensité. Montrer que les franges d'interférence disparaissent pour cert aines valeurs de e. 3-

La plus petite distance entre F

1 et F 2 pour laquelle les franges disparaissent est e m = 52 mm. Quelle est la distance angulaire entre les deux étoiles ? 4-

On ne suppose plus que S

1 et S 2 ont même intensité. Montrer que le contraste du système de franges observé passe malgré tout par des minima pour les valeurs de e trouvées à la question 2.

Exercice 9 : Frange achromatique

Deux fentes d'Young F

1 et F 2 percées dans un plan opaque P et séparées d'une distance a

sont éclairées à l'aide d'une source ponctuelle placée au foyer d'une lentille convergente L. la

source est une source de lumière blanche et la distance focale de la lentille est indépendante de la longueur d'onde de la lumière. 1- Décrire l'aspect d'un écran E placé après P, à une distance D (D>>a) de ce dernier. L'indice de l'air où se déroule l'expérience est n 0 = 1. 2-

On place devant F

1 une lame à face parallèle d'épaisseur e = 0,1 mm et d'indice n = 1,5

indépendant de la longueur d'onde de la lumière. Décrire le phénomène observé sur l'écran.

On prendra D = 1 m e a = 1 mm.

3- L'indice de la lame dépend en fait de la longueur d'onde la lumière suivant la loi : 2 BnA, A et B étant des constantes. L'observation montre alors sur l'écran une

frange qui paraît blanche ; c'est la frange " achromatique ». dans ce cas en effet la différence

de marche relative à chaque point de E dépend de la longueur d'onde ainsi que l'ordre

d'interférence et il n'y a plus a priori de frange blanche. L'ordre d'interférence peut être

stationnaire en un certain point de l'écran si la longueur d'onde est voisine d'une valeur donnée ; une petite variation de longueur d'onde à partir de cette valeur ne fait alors pratiquement pas varier l'ordre d'interférence au point considéré. Si la longueur d'onde en question est = 0,56 µm, pour laquelle l'efficacité visuelle passe par un maximum très marqué, on observe la frange achromatique. Quelle est la position de la frange achromatique .

On a n = 1,5 pour = 0,56 µm et B = 10

-2

µm²

4- Pour déterminer l'épaisseur e d'une lame à faces parallèles d'indice n on mesure en

lumière blanche sur l'écran E le déplacement de la frange blanche (ou qui paraît telle) produit

par l'introduction de la lame devant F 1 . quelle erreur relative commet-on sur la mesure de e en considérant que n ne dépend pas de la longueur d'onde ?

Exercice 10 : Interféromètre de Mach-Zender

Un interféromètre est représenté en coupe sur la figure ci-dessous. B et D sont deux miroirs plans. A et C sont deux lames semi-réfléchissantes d'épaisseur négligeable. Une source ponctuelle S de lumière monochromatique est placée au foyer de l'objectif L 1 . La longueur d'onde de la radiation émise est = 0,5 µm. Les séparatrices A et C sont identiques et sont parallèles aux miroirs B et D. L'angle d'incidence des rayons lumineux est de 45° sur chacune de ces quatre pièces optiques. AB = DC = BC = AD. Cours interférence diffraction Université de Lyon

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1- Sur le trajet BC, normalement aux rayons lumineux, est interposée une lame N d'épaisseur

e et d'indice n, à faces planes et parallèles. a- Montrer qu'à la sortie de l'interféromètre, on obtient deux ondes planes cohérentes. b- Calculer la différence de phase 0 qui existe entre ces deux ondes en fonction de e et de n.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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