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Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques, économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie),Skander Belhaj est docteur en mathématiques

appliquées et spécialiste d'algèbre matricielle rapide. Chercheur à l'université de Tunis El Manar

(ENIT-LAMSIN) et à l'université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l'institut

supérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l'université libre de Tunis.Sommaire

I. Analyse

1. Fonctions d'une variable réelle

2. Développements limités

3. Fonctions réelles à deux variables

4. Optimisation et recherche d'extremums

de deux variables

5. IntégrationII. Algèbre1. Polynômes et fractions rationnelles2. Espaces vectoriels3. Applications linéaires, matrices4. Systèmes d'équations linéaires,

déterminant

5. Diagonalisation d'une matrice carrée

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ii belhaj 2011/10/20 16:16 page III #1 ii i ii iTable des matières

Introduction VII

Analyse 1

1 Les fonctions numériques d'une variable réelle3

1.1 Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Diérentielle et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Développements limités29

2.1 Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Fonctions équivalentes, dénition et opérations . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Fonctions réelles à deux variables43

3.1 Généralités et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Fonctions réelles à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Optimisation et recherche d'extremums de deux variables53

4.1 Cas de recherche sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Cas de recherche sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page IV #2 ii i ii iIVTable des matières

5 Intégration59

5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Algèbre67

6 Polynômes et fractions rationnelles69

6.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Espaces vectoriels81

7.1 L'espace vectorielRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Applications linéaires, matrices91

8.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 Systèmes d'équations linéaires, déterminant111

9.1 Systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.2 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10 Diagonalisation d'une matrice carrée125

10.1 Élément propre d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.2 Diagonalisation d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Corrigés133

Corrigés du chapitre 1135

Corrigés du chapitre 2147

Corrigés du chapitre 3153

Corrigés du chapitre 4161

Corrigés du chapitre 5169

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page V #3 ii i ii iTable des matièresV

Corrigés du chapitre 6173

Corrigés du chapitre 7175

Corrigés du chapitre 8179

Corrigés du chapitre 9187

Corrigés du chapitre 10191

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VI #4 ii i iiquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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